casa → Film Risolvere il problema del commesso viaggiatore. Risolvere un problema di trasporto Fondamenti di matematica superiore Passaporto per la matematica avanzata

Risolvere il problema del commesso viaggiatore. Risolvere un problema di trasporto Fondamenti di matematica superiore Passaporto per la matematica avanzata

Il SAT Math Test copre una gamma di metodi matematici, con particolare attenzione alla risoluzione dei problemi, ai modelli matematici e all'uso strategico delle conoscenze matematiche.

SAT Math Test: proprio come nel mondo reale

Invece di metterti alla prova su ogni argomento di matematica, il nuovo SAT mette alla prova la tua capacità di utilizzare la matematica su cui farai affidamento la maggior parte delle volte e in molte situazioni diverse. Le domande del test di matematica sono progettate per riflettere la risoluzione dei problemi e i modelli con cui avrai a che fare

Studi universitari, studiando direttamente matematica, nonché scienze naturali e sociali;
- Le tue attività professionali quotidiane;
- La tua vita quotidiana.

Ad esempio, per rispondere ad alcune domande, dovrai utilizzare diversi passaggi, perché nel mondo reale le situazioni in cui è sufficiente un semplice passaggio per trovare una soluzione sono estremamente rare.

Formato matematica SAT

Test di matematica SAT: nozioni di base

La sezione SAT Math si concentra su tre aree della matematica che svolgono un ruolo di primo piano nella maggior parte delle materie accademiche nell'istruzione superiore e nelle carriere professionali:
- Cuore dell'algebra: Fondamenti di algebra, che si concentra sulla risoluzione di equazioni e sistemi lineari;
- Risoluzione dei problemi e analisi dei dati: Risoluzione di problemi e analisi dei dati essenziali per la competenza matematica generale;
- Passaporto per la matematica avanzata: Fondamenti di matematica avanzata, che pone domande che richiedono la manipolazione di equazioni complesse.
La prova di matematica si basa anche su argomenti aggiuntivi di matematica, tra cui geometria e trigonometria, che sono molto importanti per gli studi universitari e la carriera professionale.

Test di matematica SAT: video

Nozioni di base di algebra
Cuore dell'algebra

Questa sezione di SAT Math si concentra sull'algebra e sui concetti chiave più importanti per il successo all'università e nella carriera. Valuta la capacità degli studenti di analizzare, risolvere e costruire liberamente equazioni e disuguaglianze lineari. Agli studenti verrà inoltre richiesto di analizzare e risolvere fluentemente equazioni e sistemi di equazioni utilizzando molteplici metodi. Per valutare appieno la conoscenza di questo materiale, i problemi varieranno significativamente per tipologia e contenuto. Possono essere piuttosto semplici o richiedere pensiero e comprensione strategici, come interpretare l'interazione tra espressioni grafiche e algebriche o presentare una soluzione come processo di ragionamento. I partecipanti al test devono dimostrare non solo la conoscenza delle tecniche di soluzione, ma anche una comprensione più profonda dei concetti che sono alla base delle equazioni e delle funzioni lineari. Il punteggio SAT Math Fundamentals of Algebra viene assegnato su una scala da 1 a 15.

Questa sezione conterrà compiti per i quali la risposta è presentata a scelta multipla o calcolata autonomamente dallo studente. L'uso della calcolatrice è talvolta consentito, ma non sempre necessario o consigliato.

1. Costruire, risolvere o interpretare un'espressione lineare o un'equazione con una variabile, nel contesto di alcune condizioni specifiche. Un'espressione o un'equazione può avere coefficienti razionali e potrebbero essere necessari diversi passaggi per semplificare l'espressione o risolvere l'equazione.

2. Costruire, risolvere o interpretare disuguaglianze lineari con una variabile, nel contesto di alcune condizioni specifiche. Una disuguaglianza può avere coefficienti razionali e può richiedere diversi passaggi per semplificarla o risolverla.

3. Costruisci una funzione lineare che modelli una relazione lineare tra due quantità. Il candidato deve descrivere una relazione lineare che esprime determinate condizioni utilizzando un'equazione con due variabili o una funzione. L'equazione o la funzione avrà coefficienti razionali e potrebbero essere necessari diversi passaggi per costruire e semplificare l'equazione o la funzione.

4. Costruire, risolvere e interpretare sistemi di disequazioni lineari a due variabili. Il candidato analizzerà una o più condizioni esistenti tra due variabili costruendo, risolvendo o interpretando una disuguaglianza a due variabili o un sistema di disuguaglianze a due variabili, entro determinate condizioni specificate. La costruzione di una disuguaglianza o di un sistema di disuguaglianze può richiedere diversi passaggi o definizioni.

5. Costruire, risolvere e interpretare sistemi di due equazioni lineari in due variabili. Il candidato analizzerà una o più condizioni che esistono tra due variabili costruendo, risolvendo o analizzando un sistema di equazioni lineari, entro determinate condizioni specificate. Le equazioni avranno coefficienti razionali e potrebbero essere necessari diversi passaggi per semplificare o risolvere il sistema.

6. Risolvi equazioni lineari (o disuguaglianze) con una variabile. L'equazione (o la disuguaglianza) avrà coefficienti razionali e potrebbe richiedere diversi passaggi per essere risolta. Le equazioni possono non avere soluzione, una soluzione o un numero infinito di soluzioni. Al candidato può anche essere chiesto di determinare il valore o il coefficiente di un'equazione che non ha soluzione o ha un numero infinito di soluzioni.

7. Risolvere sistemi di due equazioni lineari con due variabili. Le equazioni avranno coefficienti razionali e il sistema potrebbe non avere alcuna soluzione, una soluzione o un numero infinito di soluzioni. Al candidato può anche essere chiesto di determinare il valore o il coefficiente di un'equazione in cui il sistema può non avere alcuna soluzione, una soluzione o un numero infinito di soluzioni.

8. Spiegare la relazione tra espressioni algebriche e grafiche. Individuare il grafico descritto da una data equazione lineare o l'equazione lineare che descrive un dato grafico, determinare l'equazione di una retta data descrivendone verbalmente il grafico, identificare le caratteristiche chiave del grafico di una funzione lineare dalla sua equazione, determinare come funziona un grafico potrebbe essere influenzato modificando la sua equazione.

Risoluzione dei problemi e analisi dei dati
Risoluzione dei problemi e analisi dei dati

Questa sezione di SAT Math riflette la ricerca che ha identificato ciò che è importante per il successo al college o all'università. I test richiedono la risoluzione di problemi e l'analisi dei dati: la capacità di descrivere matematicamente una determinata situazione, tenendo conto degli elementi coinvolti, di conoscere e utilizzare varie proprietà delle operazioni e dei numeri matematici. I problemi in questa categoria richiederanno una significativa esperienza nel ragionamento logico.

Gli esaminandi dovranno conoscere il calcolo dei valori medi degli indicatori, i modelli generali e le deviazioni dal quadro generale e la distribuzione in serie.

Tutte le domande sulla risoluzione dei problemi e sull'analisi dei dati mettono alla prova la capacità dei candidati di utilizzare la loro comprensione e abilità matematiche per risolvere i problemi che potrebbero incontrare nel mondo reale. Molte di queste questioni vengono poste in contesti accademici e professionali e sono probabilmente legate alla scienza e alla sociologia.

Risoluzione dei problemi e analisi dei dati è una delle tre sottosezioni di SAT Math a cui viene assegnato un punteggio da 1 a 15.

Questa sezione conterrà domande con risposte a scelta multipla o autocalcolate. L'uso della calcolatrice qui è sempre consentito, ma non sempre necessario o consigliato.

In questa parte di SAT Math, potresti incontrare le seguenti domande:

1. Utilizzare rapporti, velocità, proporzioni e disegni in scala per risolvere problemi a passaggio singolo e multiplo. I partecipanti al test utilizzeranno una relazione proporzionale tra due variabili per risolvere un problema in più fasi per determinare un rapporto o una velocità; Calcola il rapporto o la velocità e quindi risolvi il problema a più passaggi utilizzando il rapporto o il rapporto indicato per risolvere il problema a più passaggi.

2. Risolvi problemi a passaggio singolo e multiplo con le percentuali. Il candidato risolverà un problema a più livelli per determinare la percentuale. Calcola la percentuale di un numero e poi risolvi un problema a più livelli. Utilizzando una determinata percentuale, risolvi un problema a più livelli.

3. Risolvere problemi di calcolo a passaggio singolo e multiplo. Il candidato risolverà un problema a più livelli per determinare l'unità tariffaria; Calcolare un'unità di misura e quindi risolvere un problema a più passaggi; Risolvi un problema a più livelli per completare la conversione delle unità; Risolvere un problema di calcolo della densità a più stadi; Oppure usa il concetto di densità per risolvere un problema in più fasi.

4. Utilizzando i diagrammi di dispersione, risolvere modelli lineari, quadratici o esponenziali per descrivere la relazione tra le variabili. Dato il grafico a dispersione, seleziona l'equazione della linea o curva di adattamento; Interpretare la riga nel contesto della situazione; Oppure utilizza la linea o la curva che meglio si adatta alla previsione.

5. Utilizzando la relazione tra due variabili, esplora le funzioni chiave del grafico. Il candidato effettuerà collegamenti tra l'espressione grafica dei dati e le proprietà del grafico selezionando un grafico che rappresenta le proprietà descritte o utilizzando un grafico per determinare valori o insiemi di valori.

6. Confronta la crescita lineare con la crescita esponenziale. Il candidato dovrà abbinare due variabili per determinare quale tipo di modello è ottimale.

7. Utilizzando le tabelle, calcolare i dati per varie categorie di quantità, frequenze relative e probabilità condizionali. Il candidato utilizza dati di varie categorie per calcolare frequenze condizionali, probabilità condizionali, associazione di variabili o indipendenza di eventi.

8. Trarre conclusioni sui parametri della popolazione sulla base di dati campione. Il candidato stima il parametro della popolazione, tenendo conto dei risultati di un campione casuale della popolazione. Le statistiche campione possono fornire intervalli di confidenza ed errori di misurazione che lo studente deve comprendere e utilizzare senza doverli calcolare.

9. Utilizzare metodi statistici per calcolare medie e distribuzioni. I partecipanti al test calcoleranno la media e/o la distribuzione per un dato insieme di dati o utilizzeranno le statistiche per confrontare due insiemi di dati separati.

10. Valutare i rapporti, trarre conclusioni, giustificare le conclusioni e determinare l'adeguatezza dei metodi di raccolta dei dati. I report possono essere costituiti da tabelle, grafici o riepiloghi di testo.

Fondamenti di matematica superiore
Passaporto per la matematica avanzata

Questa sezione di SAT Math include argomenti particolarmente importanti da padroneggiare per gli studenti prima di passare alla matematica avanzata. La chiave qui è comprendere la struttura delle espressioni e la capacità di analizzare, manipolare e semplificare tali espressioni. Ciò include anche la capacità di analizzare equazioni e funzioni più complesse.

Come le due sezioni precedenti di SAT Math, le domande qui hanno un punteggio da 1 a 15.

Questa sezione conterrà domande a scelta multipla o con risposta autocalcolata. L'uso della calcolatrice è talvolta consentito, ma non sempre è necessario o consigliato.

In questa parte di SAT Math, potresti incontrare le seguenti domande:

1. Creare una funzione o equazione quadratica o esponenziale che modelli le condizioni date. L'equazione avrà coefficienti razionali e potrebbe richiedere diversi passaggi per semplificarla o risolverla.

2. Determinare la forma di espressione o equazione più appropriata per identificare un particolare attributo, date le condizioni date.

3. Costruire espressioni equivalenti che coinvolgano esponenti razionali e radicali, inclusa la semplificazione o la conversione in un'altra forma.

4. Costruisci una forma equivalente dell'espressione algebrica.

5. Risolvi un'equazione quadratica con coefficienti razionali. L'equazione può essere rappresentata in un'ampia gamma di forme.

6. Aggiungi, sottrai e moltiplica i polinomi e semplifica il risultato. Le espressioni avranno coefficienti razionali.

7. Risolvi un'equazione in una variabile che contiene radicali o contiene una variabile nel denominatore della frazione. L'equazione avrà coefficienti razionali.

8. Risolvere un sistema di equazioni lineari o quadratiche. Le equazioni avranno coefficienti razionali.

9. Semplifica semplici espressioni razionali. I partecipanti al test aggiungeranno, sottrarranno, moltiplicheranno o divideranno due espressioni razionali o divideranno due polinomi e li semplificheranno. Le espressioni avranno coefficienti razionali.

10. Interpretare parti di espressioni non lineari in termini dei loro termini. I partecipanti al test devono mettere in relazione determinate condizioni con un'equazione non lineare che modella tali condizioni.

11. Comprendere la relazione tra zeri e fattori nei polinomi e utilizzare questa conoscenza per costruire grafici. I partecipanti al test utilizzeranno le proprietà dei polinomi per risolvere problemi che coinvolgono gli zeri, come determinare se un'espressione è un fattore di un polinomio, date le informazioni fornite.

12. Comprendere la relazione tra due variabili stabilendo connessioni tra le loro espressioni algebriche e grafiche. Il candidato deve essere in grado di selezionare un grafico corrispondente ad una data equazione non lineare; interpretare i grafici nel contesto della risoluzione di sistemi di equazioni; seleziona un'equazione non lineare corrispondente al grafico dato; determinare l'equazione della curva tenendo conto della descrizione verbale del grafico; identificare le caratteristiche chiave del grafico di una funzione lineare dalla sua equazione; determinare l'effetto sul grafico della modifica dell'equazione governante.

Cosa verifica la sezione di matematica SAT?

Padronanza generale della disciplina

Un test di matematica è un'opportunità per dimostrare che:

Eseguire compiti matematici in modo flessibile, accurato, efficiente e utilizzando strategie di soluzione;
- Risolvere rapidamente i problemi identificando e utilizzando gli approcci più efficaci alla soluzione. Ciò può includere la risoluzione dei problemi tramite
eseguire sostituzioni, scorciatoie o riorganizzare le informazioni fornite;

Comprensione concettuale

Dimostrerai la tua comprensione di concetti, operazioni e relazioni matematiche. Ad esempio, ti potrebbe essere chiesto di creare collegamenti tra le proprietà delle equazioni lineari, i loro grafici e i termini che esprimono.

Applicazione della conoscenza della materia

Molte domande SAT Math sono tratte da problemi della vita reale e ti chiedono di analizzare il problema, identificare gli elementi di base necessari per risolverlo, esprimere matematicamente il problema e trovare una soluzione.

Utilizzando la calcolatrice

Le calcolatrici sono strumenti importanti per eseguire calcoli matematici. Per studiare con successo in un'università, devi sapere come e quando usarli. Nella parte del test Calcolatrice del test di matematica, potrai concentrarti sulla ricerca della soluzione e sull'analisi stessa, perché la tua calcolatrice ti aiuterà a risparmiare tempo.

Tuttavia, una calcolatrice, come qualsiasi strumento, è intelligente tanto quanto la persona che la utilizza. Ci sono alcune domande del test di matematica per le quali è meglio non usare la calcolatrice, anche se ti è consentito farlo. In queste situazioni, i partecipanti al test che sanno pensare e ragionare probabilmente arriveranno alla risposta prima di quelli che usano ciecamente una calcolatrice.

La sezione Test di matematica senza calcolatrice semplifica la valutazione della tua conoscenza generale dell'argomento e della comprensione di determinati concetti matematici. Verifica inoltre la familiarità con le tecniche computazionali e la comprensione dei concetti numerici.

Domande con risposte inserite in una tabella

Sebbene la maggior parte delle domande del test di matematica siano a scelta multipla, il 22% sono domande in cui le risposte sono il risultato dei calcoli del candidato, chiamati grid-in. Invece di scegliere la risposta corretta da un elenco, devi risolvere i problemi e inserire le risposte nelle griglie fornite sul foglio delle risposte.

Risposte inserite in una tabella

Segna non più di un cerchio in ogni colonna;
- Verranno conteggiate solo le risposte indicate completando il cerchio (Non riceverai punti per tutto ciò che è scritto nei campi situati sopra
cerchi).
- Non importa in quale colonna inizi a inserire le tue risposte; È importante che le risposte siano scritte all'interno della griglia, così riceverai punti;
- La griglia può contenere solo quattro cifre decimali e può accettare solo numeri positivi e zero.
- Se non diversamente specificato nell'attività, le risposte possono essere inserite nella griglia come decimali o frazionarie;
- Frazioni come 3/24 non necessitano di essere ridotte a valori minimi;
- Tutti i numeri misti devono essere convertiti in frazioni improprie prima di essere scritti nella griglia;
- Se la risposta è un numero decimale periodico, gli studenti devono determinare i valori più accurati che lo faranno
prendere in considerazione.

Di seguito è riportato un esempio delle istruzioni che i partecipanti al test vedranno durante l'esame SAT di matematica:

Istruzioni. Per ottenere online la soluzione ad un problema di trasporto, seleziona la dimensione della matrice tariffaria (numero di fornitori e numero di negozi).

Con questa calcolatrice vengono utilizzati anche i seguenti:
Metodo grafico per risolvere ZLP
Metodo del simplesso per risolvere ZLP
Risolvere un gioco di matrici
Utilizzando il servizio online, è possibile determinare il prezzo di un gioco a matrice (limiti inferiore e superiore), verificare la presenza di un punto di sella, trovare una soluzione a una strategia mista utilizzando i seguenti metodi: minimax, metodo del simplesso, grafico (geometrico) ), metodo di Brown.

Estremo di una funzione di due variabili
Problemi di programmazione dinamica

La prima fase per risolvere il problema dei trasportiè determinarne la tipologia (aperto o chiuso, o comunque bilanciato o sbilanciato). Metodi approssimativi ( metodi per trovare un piano di riferimento) permettere seconda fase della soluzione in un numero limitato di passaggi ottenere una soluzione accettabile, ma non sempre ottimale, al problema. Questo gruppo di metodi include i seguenti metodi:

cancellazione (metodo della doppia preferenza);
angolo nord-ovest;
elemento minimo;
Approssimazioni di Vogel.

Soluzione di riferimento al problema dei trasporti

La soluzione di riferimento al problema dei trasportiè una qualsiasi soluzione ammissibile per la quale i vettori di condizione corrispondenti alle coordinate positive sono linearmente indipendenti. Per verificare l'indipendenza lineare dei vettori delle condizioni corrispondenti alle coordinate di una soluzione ammissibile, vengono utilizzati i cicli.
Ciclo Viene chiamata una sequenza di celle in una tabella delle attività di trasporto in cui due e sole celle adiacenti si trovano nella stessa riga o colonna e anche la prima e l'ultima si trovano nella stessa riga o colonna. Un sistema di vettori di condizioni problematiche di trasporto è linearmente indipendente se e solo se dalle celle corrispondenti della tabella non è possibile formare alcun ciclo. Pertanto, una soluzione ammissibile del problema del trasporto, i=1,2,...,m; j=1,2,...,n è un riferimento solo se dalle celle della tabella da esso occupate non si può formare alcun ciclo.

Metodi approssimati per la soluzione del problema dei trasporti.
Metodo di cancellazione (metodo della doppia preferenza). Se c'è una cella occupata in una riga o colonna di una tabella, non può essere inclusa in nessun ciclo, poiché un ciclo ha due e solo due celle in ciascuna colonna. Pertanto, puoi cancellare tutte le righe della tabella che contengono una cella occupata, quindi cancellare tutte le colonne che contengono una cella occupata, quindi tornare alle righe e continuare a cancellare righe e colonne. Se, a seguito dell'eliminazione, tutte le righe e le colonne vengono cancellate, significa che dalle celle occupate della tabella è impossibile selezionare una parte che forma un ciclo e il sistema dei corrispondenti vettori di condizioni è linearmente indipendente, e la soluzione è di riferimento. Se, dopo l'eliminazione, rimangono alcune celle, queste celle formano un ciclo, il sistema dei corrispondenti vettori di condizioni è linearmente dipendente e la soluzione non è di riferimento.
Metodo dell'angolo nord-ovest consiste nel percorrere in sequenza le righe e le colonne della tabella dei trasporti, partendo dalla colonna di sinistra e dalla riga superiore, e scrivere il numero massimo di spedizioni possibili nelle celle corrispondenti della tabella in modo che le capacità del fornitore o le esigenze del consumatore indicate nella tabella compito non vengono superati. In questo metodo non viene prestata attenzione ai prezzi di consegna, poiché si presuppone un'ulteriore ottimizzazione delle spedizioni.
Metodo degli elementi minimi. Nonostante la sua semplicità, questo metodo è ancora più efficace rispetto, ad esempio, al metodo dell'angolo nord-ovest. Inoltre, il metodo dell’elemento minimo è chiaro e logico. La sua essenza è che nella tabella dei trasporti vengono riempite prima le celle con le tariffe più basse, quindi quelle con le tariffe più elevate. Cioè, scegliamo il trasporto con il costo minimo di consegna del carico. Questa è una mossa ovvia e logica. È vero, non sempre porta al piano ottimale.
Metodo di approssimazione di Vogel. Con il metodo di approssimazione di Vogel, ad ogni iterazione, si trova la differenza tra le due tariffe minime in esse scritte per tutte le colonne e per tutte le righe. Queste differenze sono registrate in una riga e colonna appositamente designate nella tabella delle condizioni problematiche. Tra le differenze indicate viene scelto il minimo. Nella riga (o colonna) a cui corrisponde questa differenza viene determinata la tariffa minima. La cella in cui è scritto viene riempita in questa iterazione.

Esempio n. 1. Matrice tariffaria (qui il numero di fornitori è 4, il numero di negozi è 6):

	1	2	3	4	5	6	Riserve
1	3	20	8	13	4	100	80
2	4	4	18	14	3	0	60
3	10	4	18	8	6	0	30
4	7	19	17	10	1	100	60
Esigenze	10	30	40	50	70	30

Soluzione. Fase preliminare la soluzione di un problema di trasporto si riduce a determinarne la tipologia, se è aperto o chiuso. Verifichiamo le condizioni necessarie e sufficienti per la risolubilità del problema.
∑a = 80 + 60 + 30 + 60 = 230
∑b = 10 + 30 + 40 + 50 + 70 + 30 = 230
La condizione di equilibrio è soddisfatta. Fornisce bisogni uguali. Quindi il modello del problema dei trasporti è chiuso. Se il modello fosse aperto, sarebbe necessario introdurre ulteriori fornitori o consumatori.
SU seconda fase La ricerca del piano di riferimento viene effettuata utilizzando le modalità sopra riportate (la più comune è quella a minor costo).
Per dimostrare l'algoritmo, presentiamo solo poche iterazioni.
Iterazione n. 1. L'elemento minimo della matrice è zero. Per questo elemento le scorte sono 60 e i fabbisogni sono 30. Selezioniamo da loro il numero minimo 30 e lo sottraiamo (vedi tabella). Allo stesso tempo, cancelliamo la sesta colonna dalla tabella (i suoi fabbisogni sono pari a 0).

3	20	8	13	4	X	80
4	4	18	14	3	0	60 - 30 = 30
10	4	18	8	6	X	30
7	19	17	0	1	X	60
10	30	40	50	70	30 - 30 = 0	0

Iterazione n. 2. Ancora una volta cerchiamo il minimo (0). Dalla coppia (60;50) selezioniamo il numero minimo 50. Cancella la quinta colonna.

3	20	8	X	4	X	80
4	4	18	X	3	0	30
10	4	18	X	6	X	30
7	19	17	0	1	X	60 - 50 = 10
10	30	40	50 - 50 = 0	70	0	0

Iterazione n. 3. Continuiamo il processo finché non selezioniamo tutte le esigenze e le forniture.
Iterazione n. N. L'elemento che stai cercando è 8. Per questo elemento, le scorte sono pari al fabbisogno (40).

3	X	8	X	4	X	40 - 40 = 0
X	X	X	X	3	0	0
X	4	X	X	X	X	0
X	X	X	0	1	X	0
0	0	40 - 40 = 0	0	0	0	0

	1	2	3	4	5	6	Riserve
1	3	20	8	13	4	100	80
2	4	4	18	14	3	0	60
3	10	4	18	8	6	0	30
4	7	19	17	0	1	100	60
Esigenze	10	30	40	50	70	30

Contiamo il numero di celle occupate della tabella, sono 8, ma dovrebbe essere m + n - 1 = 9. Pertanto il piano di appoggio è degenere. Stiamo facendo un nuovo piano. A volte è necessario costruire diversi piani di riferimento prima di trovarne uno non degenerato.

	1	2	3	4	5	6	Riserve
1	3	20	8	13	4	100	80
2	4	4	18	14	3	0	60
3	10	4	18	8	6	0	30
4	7	19	17	0	1	100	60
Esigenze	10	30	40	50	70	30

Di conseguenza, si ottiene il primo piano di appoggio, che è valido, poiché il numero di celle occupate della tabella è 9 e corrisponde alla formula m + n - 1 = 6 + 4 - 1 = 9, cioè il piano di riferimento è non degenerato.
Terza fase consiste nel migliorare il piano di riferimento trovato. Qui usano il metodo potenziale o il metodo di distribuzione. A questo punto, la correttezza della soluzione può essere monitorata attraverso la funzione di costo F(x) . Se diminuisce (a condizione di ridurre al minimo i costi), la soluzione è corretta.

Esempio n.2. Utilizzando il metodo della tariffa minima, presentare un piano iniziale per risolvere un problema di trasporto. Verificare l'ottimalità utilizzando il metodo potenziale.

	30	50	70	10	30	10
40	2	4	6	1	1	2
80	3	4	5	9	9	6
60	4	3	2	7	8	7
20	5	1	3	5	7	9

Esempio n.3. Quattro fabbriche di dolciumi possono produrre tre tipi di prodotti dolciari. Nella tabella sono indicati i costi di produzione di un quintale (quintale) di prodotti dolciari per ciascuna fabbrica, la capacità produttiva delle fabbriche (quintale al mese) e il fabbisogno giornaliero di prodotti dolciari (quintale al mese). Elaborare un piano di produzione dolciaria che riduca al minimo i costi di produzione totali.

Nota. Qui è possibile prima trasporre la tabella dei costi, poiché nella formulazione classica del problema dei trasporti vengono prima le capacità (produzione) e poi i consumatori.

Esempio n.4. Per la costruzione degli impianti, i mattoni vengono forniti da tre stabilimenti (I, II, III). Le fabbriche hanno rispettivamente 50, 100 e 50mila unità nei magazzini. mattoni Gli oggetti richiedono rispettivamente 50, 70, 40 e 40mila pezzi. mattoni Le tariffe (unità den./migliaia di unità) sono riportate nella tabella. Creare un piano di trasporto che riduca al minimo i costi di trasporto totali.

verrà chiuso se:
A) a=40, b=45
B) a=45, b=40
B) a=11, b=12
Condizione del problema del trasporto chiuso: ∑a = ∑b
Troviamo ∑a = 35+20+b = 55+b; ∑b = 60+a
Otteniamo: 55+b = 60+a
L'uguaglianza sarà osservata solo quando a=40, b=45

Lezioni di matematica elementare (1898) è la prima traduzione inglese di Joseph Louis Lagrange"pubblicazione del 1795, Lezioni elementari sulla matematica, contenente un ciclo di lezioni tenute nello stesso anno all'Ecole Normale. L'opera fu tradotta e curata da Thomas J. McCormack e una seconda edizione, da cui sono tratte le citazioni seguenti, apparve nel 1901.

Contenuti

Citazioni [ modificare ]

Lezione III. Sull'algebra, in particolare sulla risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado[ modificare ]

L'algebra è una scienza quasi interamente dovuta ai moderni... poiché abbiamo un trattato dei Greci, quello di Diofanto... l'unico che dobbiamo agli antichi in questo ramo della matematica. ... Parlo solo dei Greci, perché i Romani non hanno lasciato nulla nelle scienze e, a quanto pare, non hanno fatto nulla.

La sua opera contiene i primi elementi di questa scienza. Egli impiegò per esprimere l'incognita una lettera greca che corrisponde alla nostra st e che è stato sostituito nelle traduzioni da N. Per esprimere le quantità conosciute impiegò esclusivamente numeri, poiché l'algebra era da tempo destinata a limitarsi interamente alla soluzione di problemi numerici.

[H] e usa allo stesso modo le quantità note e quelle sconosciute. E qui consiste praticamente l'essenza dell'algebra, che consiste nell'utilizzare quantità incognite, calcolare con esse come si fa con le quantità note, e formare da esse una o più equazioni da cui si può determinare il valore delle quantità incognite.

Sebbene il lavoro di Diofanto contiene quasi esclusivamente problemi indeterminati, la cui soluzione cerca nei numeri razionali, problemi che dopo di lui sono stati chiamati problemi diofantei, troviamo tuttavia nella sua opera la soluzione di numerosi problemi determinati di primo grado, e anche di che coinvolgono diverse quantità sconosciute. In quest'ultimo caso, però, l'autore ricorre invariabilmente a... ridurre il problema ad un'unica incognita, il che non è difficile.

Fornisce, inoltre, la soluzione di equazioni di secondo grado, ma sta attento a disporli in modo che non assumano mai la forma affetta contenente il quadrato e la prima potenza dell'incognita. ...arriva sempre ad un'equazione dalla quale basta estrarre una radice quadrata per arrivare alla soluzione...

Diofanto... non procede oltre le equazioni di secondo grado, e non sappiamo se lui o qualcuno dei suoi successori... si sia mai spinto... oltre questo punto.

Diofanto non era conosciuto in Europa fino alla fine del XVI secolo, essendo stata la prima traduzione miserabile di Xylander, fatta nel 1575. Bachet de Méziriac ... un matematico abbastanza buono per il suo tempo, pubblicò successivamente (1621) una nuova traduzione ...accompagnato da lunghi commenti, ormai superflui. La traduzione di Bachet venne successivamente ristampata con le osservazioni e le note di Fermato.

Prima della scoperta e della pubblicazione di Diofanto... l'algebra aveva già trovato la sua strada in Europa. Verso la fine del Quattrocento apparve a Venezia un'opera di... Luca Paciolus di aritmetica e geometria in cui venivano enunciate le regole elementari dell'algebra.

[Gli] europei, avendo ricevuto l'algebra dagli arabi, la possedevano cento anni prima dell'opera di Diofanto era loro noto. Tuttavia non fecero alcun progresso oltre le equazioni di primo e secondo grado.

Nel lavoro di Paciolo...la risoluzione generale delle equazioni di secondo grado...non è stata data. Troviamo in quest'opera semplicemente delle regole, espresse in cattivi versi latini, per risolvere ogni caso particolare secondo le diverse combinazioni dei segni dei termini dell'equazione, e anche queste regole si applicavano solo al caso in cui le radici erano reali e positive. Le radici negative erano ancora considerate prive di significato e superflue.

È stata proprio la geometria a suggerirci l’uso delle quantità negative, e in questo consiste uno dei maggiori vantaggi risultanti dall’applicazione dell’algebra alla geometria, un passo che dobbiamo a Cartesio.

Nel periodo successivo fu studiata la risoluzione delle equazioni di terzo grado e la scoperta di un caso particolare fu infine fatta da... Scipione Ferreo (1515). ...Tartaglia e Cardanico successivamente perfezionò la soluzione di Ferreo e la rese generale per tutte le equazioni del terzo grado.

In questo periodo l’Italia, che fu la culla dell’algebra in Europa, era ancora quasi l’unica coltivatrice di questa scienza, e solo verso la metà del XVI secolo cominciarono ad apparire trattati di algebra in Francia, Germania e Francia. altri paesi.

Le opere di Peletier e di Buteo furono le prime che la Francia produsse in questa scienza...

Tartaglia espose la sua soluzione in pessimi versi italiani in un'opera che tratta di diverse questioni e invenzioni stampata nel 1546, opera che gode del primato di essere una delle prime a trattare delle moderne fortificazioni mediante bastioni.

Cardanico pubblicò il suo trattato Ars Magna, O Algebra... Cardano fu il primo a percepire che le equazioni avevano più radici e a distinguerle in positive e negative. Ma è particolarmente noto per aver per primo rimarcato il cosiddetto caso irriducibile in cui l'espressione delle radici reali appare in forma immaginaria. Cardano si convinse da diversi casi particolari in cui l'equazione aveva divisori razionali che la forma immaginaria non impediva alle radici di avere un valore reale. Ma restava da dimostrare che non solo le radici erano reali nel caso irriducibile, ma che era impossibile che tutte e tre insieme fossero reali se non in quel caso. Questa prova è stata successivamente fornita da Vita, e particolarmente da Albert Girard, da considerazioni riguardanti la trisezione di un angolo.

[IL caso irriducibile di equazioni di terzo grado... presenta una nuova forma di espressioni algebriche che hanno trovato ampia applicazione nell'analisi... dà costantemente luogo a ricerche inutili allo scopo di ridurre la forma immaginaria a una forma reale e... presenta così in algebra un problema che può essere posto sullo stesso piano dei famosi problemi della duplicazione del cubo e della quadratura del cerchio in geometria.

I matematici del periodo in questione erano soliti proporsi l'un l'altro problemi da risolvere. Queste... erano... sfide pubbliche e servivano a stimolare e a mantenere quella fermentazione necessaria per il perseguimento della scienza. Le sfide... continuarono fino all'inizio del Settecento in Europa, e in realtà non cessarono fino al sorgere delle Accademie che perseguirono lo stesso scopo... in parte per l'unione delle conoscenze dei diversi membri, in parte per i rapporti che mantennero... e... con la pubblicazione delle loro memorie, che servirono a diffondere le nuove scoperte e osservazioni...

IL Algebra di Bombelli contiene non solo la scoperta di Ferrari ma anche diverse altre importanti osservazioni sulle equazioni di secondo e terzo grado e particolarmente sulla teoria dei radicali per mezzo della quale l'autore riuscì in diversi casi a estrarre le immaginarie radici cubiche dei due binomi della formula di terzo grado nel caso irriducibile, trovando così un risultato perfettamente reale... la prova più diretta possibile della realtà di questa specie di espressioni.

La soluzione delle equazioni del terzo e quarto grado fu rapidamente compiuta. Ma gli sforzi riusciti dei matematici da oltre due secoli non sono riusciti a superare le difficoltà dell’equazione di quinto grado.

Eppure questi sforzi sono lungi dall’essere stati vani. Hanno dato origine a tanti bei teoremi... sulla formazione delle equazioni, sul carattere e i segni delle radici, sulla trasformazione di una data equazione in altre di cui le radici si possono formare a piacimento dalle radici delle data equazione, ed infine alle belle considerazioni riguardanti la metafisica della risoluzione delle equazioni, da cui è derivato il metodo più diretto per arrivare, quando possibile, alla loro soluzione.

Vita E Cartesio... Harriot ... e Hudde ... furono i primi dopo gli italiani... a perfezionare la teoria delle equazioni, e da allora non c'è quasi un matematico degno di nota che non si sia applicato...

Lezione V. Sull'impiego delle curve nella soluzione dei problemi[ modificare ]

Finché algebra e geometria percorsero strade separate, il loro progresso fu lento e le loro applicazioni limitate. Ma quando queste due scienze si unirono, trassero l'una dall'altra nuova vitalità e poi marciarono a passo spedito verso la perfezione. È quello Cartesio che dobbiamo l'applicazione dell'algebra alla geometria, applicazione che ha fornito la chiave delle più grandi scoperte in tutti i rami della matematica.

Il metodo... per trovare e dimostrare diverse proprietà generali delle equazioni considerando le curve che le rappresentano, è una specie di applicazione della geometria all'algebra... [T]il suo metodo ha applicazioni estese ed è in grado di risolvere prontamente problemi la cui soluzione diretta sarebbe estremamente difficile o addirittura impossibile... [Il] suo argomento... non si trova normalmente nelle opere elementari di algebra.

[Una]n equazione di qualsiasi grado può essere risolta mediante una curva, di cui le ascisse rappresentano l'incognita dell'equazione, e le ordinate i valori che assume la parte di sinistra per ogni valore dell'incognita . ...[Il]suo metodo può essere applicato in generale a tutte le equazioni, qualunque sia la loro forma, e... richiede solo che siano sviluppate e sistemate secondo le diverse potenze della quantità sconosciuta.

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Lezioni di matematica elementare 2a ed. (1901) @GoogleLibri

Un programma di matematica elementare per la scuola supplementare o a domicilio dovrebbe insegnare molto di più del “come fare” della semplice aritmetica. Un buon curriculum di matematica dovrebbe contenere attività matematiche elementari che costruiscano una solida base che sia profonda e ampia, concettuale e “come fare”.

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Insegnare strategie di matematica elementare

I bambini dovrebbero acquisire abilità matematiche utilizzando attività matematiche elementari che insegnano un programma in una sequenza adeguata progettata per costruire solide basi per il successo. Cominciamo con quello che sembra essere un semplice fatto matematico: 3 + 5 = 8

Questo fatto sembra una buona lezione di matematica da insegnare, una volta che un bambino sa contare. Ma la capacità di apprezzare il concetto “3 + 5 = 8” richiede la comprensione di questi concetti matematici elementari:

Quantità– rendersi conto che è possibile contare il numero di elementi. La quantità è un concetto comune sia che si contino le dita, i cani o gli alberi.
Riconoscimento del numero– conoscere i numeri per nome, cifra, rappresentazione pittorica o quantità degli articoli.
Significato del numero– risolvere la confusione tra numeri riferiti ad una quantità o alla posizione in una sequenza (numeri cardinali vs numeri ordinali).
Operazioni– Comprendere che le quantità possono essere aggiunte e che questo processo può essere rappresentato con immagini, parole o numeri.

Per dipingere un quadro più estremo, cercare di insegnare l’addizione con il “riporto” prima di avere una solida comprensione del valore posizionale è una ricetta per la confusione. Solo dopo aver padroneggiato i concetti matematici di base un bambino dovrebbe provare attività matematiche elementari più avanzate, come l'addizione. Cercare di insegnare strategie matematiche elementari prima di padroneggiare i concetti matematici di base provoca confusione, creando la sensazione di perdersi o di essere deboli in matematica. Un bambino può finire per sviluppare una cattiva immagine di sé o una visione negativa della matematica, tutto a causa di un curriculum di matematica inadeguato.

È importante implementare un programma di matematica elementare che insegni la matematica in sequenza, utilizzando attività di matematica elementare che consentano ai bambini di sviluppare progressivamente comprensione, abilità e sicurezza. L’insegnamento e il curriculum di qualità seguono una sequenza di qualità.

Time4Learning insegna un programma di matematica elementare personalizzato adattato all'attuale livello di abilità di tuo figlio. Ciò aiuta a garantire che tuo figlio abbia solide basi matematiche prima di introdurre strategie matematiche elementari più difficili e complesse. , incluso nel curriculum, fornisce pratica nelle aree di competenza di base necessarie per il successo durante la scuola elementare. Porta tuo figlio sulla strada giusta, sulle strategie di Time4Learning per insegnare la matematica elementare.

Curriculum di matematica elementare di Time4Learning

Il curriculum di matematica di Time4Learning contiene un'ampia gamma di attività matematiche elementari, che vanno oltre la semplice aritmetica, fatti matematici e operazioni. Il nostro curriculum di matematica elementare insegna questi cinque filoni matematici.*

Senso dei numeri e operazioni– Sapere come rappresentare i numeri, riconoscere “quanti” ci sono in un gruppo e usare i numeri per confrontare e rappresentare apre la strada alla comprensione della teoria dei numeri, del valore posizionale e del significato delle operazioni e del modo in cui si relazionano tra loro.
Algebra– La capacità di ordinare e ordinare oggetti o numeri e di riconoscere e costruire schemi semplici sono esempi di modi in cui i bambini iniziano a sperimentare l’algebra. Questo concetto matematico elementare pone le basi per lavorare con le variabili algebriche man mano che l’esperienza matematica di un bambino cresce.
Geometria e senso spaziale– I bambini sviluppano la loro conoscenza delle forme di base per identificare forme 2D e 3D più complesse disegnando e ordinando. Quindi imparano a ragionare spazialmente, leggere mappe, visualizzare oggetti nello spazio e utilizzare la modellazione geometrica per risolvere problemi. i bambini saranno in grado di utilizzare la geometria delle coordinate per specificare eventualmente posizioni, dare indicazioni e descrivere relazioni spaziali.
Misurazione– Imparare a misurare e confrontare implica concetti di lunghezza, peso, temperatura, capacità e denaro. Leggere l'ora e usare il denaro è legato alla comprensione del sistema numerico e rappresenta un'importante abilità di vita.
Analisi dei dati e probabilità– Man mano che i bambini raccolgono informazioni sul mondo che li circonda, troveranno utile mostrare e rappresentare la loro conoscenza. L'utilizzo di grafici, tabelle e grafici li aiuterà a imparare a condividere e organizzare i dati.

I programmi di matematica elementare che coprono solo uno o due di questi cinque filoni matematici sono ristretti e portano a una scarsa comprensione della matematica. Aiuta tuo figlio a costruire basi matematiche solide e ampie.