→ Sistema di equazioni algebriche lineari e loro soluzione. Sistemi di equazioni lineari: concetti di base. Soluzione di sistemi con il metodo di Gauss

Sistema di equazioni algebriche lineari e loro soluzione. Sistemi di equazioni lineari: concetti di base. Soluzione di sistemi con il metodo di Gauss

Sistema di equazioni algebriche lineari. Termini di base. Notazione matriciale.

Definizione di un sistema di equazioni algebriche lineari. Soluzione di sistema. Classificazione dei sistemi.

Sotto sistema di equazioni algebriche lineari(SLAE) implica un sistema

Vengono chiamati i parametri aij coefficienti, e bi membri liberi SLAU. A volte, per enfatizzare il numero di equazioni e incognite, si dice "m × n sistema di equazioni lineari", indicando così che lo SLAE contiene m equazioni e n incognite.

Se tutti i termini liberi bi=0 viene chiamato SLAE omogeneo. Se tra i membri liberi ce n'è almeno uno diverso da zero, viene chiamato lo SLAE eterogeneo.

Decisione SLAU(1) qualsiasi raccolta ordinata di numeri è chiamata (α1,α2,…,αn) se gli elementi di questa raccolta, sostituiti in un dato ordine alle incognite x1,x2,…,xn, trasformano ciascuna equazione SLAE in un'identità.

Ogni SLAE omogeneo ha almeno una soluzione: zero(in una terminologia diversa - banale), cioè x1=x2=…=xn=0.

Se SLAE (1) ha almeno una soluzione, viene chiamata giunto se non ci sono soluzioni, incompatibile. Se uno SLAE congiunto ha esattamente una soluzione, viene chiamato certo, se ci sono un numero infinito di soluzioni - incerto.

Forma matriciale di sistemi di scrittura di equazioni algebriche lineari.

Ad ogni SLAE possono essere associate più matrici; inoltre, lo SLAE stesso può essere scritto come un'equazione matriciale. Per SLAE (1), considerare le seguenti matrici:

Si chiama la matrice A matrice di sistema. Gli elementi di questa matrice sono i coefficienti dello SLAE dato.

Si chiama la matrice A˜ sistema a matrice espansa. Si ottiene sommando alla matrice di sistema una colonna contenente i membri liberi b1,b2,...,bm. Di solito questa colonna è separata da una linea verticale, per chiarezza.

Viene chiamata la matrice di colonne B matrice di termini liberi, e la matrice di colonne X è matrice di incognite.

Usando la notazione introdotta sopra, SLAE (1) può essere scritto sotto forma di un'equazione matriciale: A⋅X=B.

Nota

Le matrici associate al sistema possono essere scritte in vari modi: tutto dipende dall'ordine delle variabili e delle equazioni dello SLAE considerato. Ma in ogni caso, l'ordine delle incognite in ciascuna equazione di un dato SLAE deve essere lo stesso

Il teorema di Kronecker-Capelli. Studio di sistemi di equazioni lineari per compatibilità.

Teorema di Kronecker-Capelli

Un sistema di equazioni algebriche lineari è consistente se e solo se il rango della matrice del sistema è uguale al rango della matrice estesa del sistema, cioè rangoA=gradoA˜.

Un sistema si dice consistente se ha almeno una soluzione. Il teorema di Kronecker-Capelli dice questo: se rangA=rangA˜, allora c'è una soluzione; se rangA≠rangA˜, allora questo SLAE non ha soluzioni (incoerente). La risposta alla domanda sul numero di queste soluzioni è data da un corollario del teorema di Kronecker-Capelli. Nella formulazione del corollario viene utilizzata la lettera n che è uguale al numero di variabili dello SLAE dato.

Corollario del teorema di Kronecker-Capelli

    Se rangA≠rangA˜, lo SLAE è incoerente (non ha soluzioni).

    Se rangoA=gradoA˜

    Se rangA=rangA˜=n, allora SLAE è definito (ha esattamente una soluzione).

Si noti che il teorema formulato e il suo corollario non indicano come trovare la soluzione allo SLAE. Con il loro aiuto, puoi solo scoprire se queste soluzioni esistono o meno e, se esistono, quante.

Metodi per risolvere SLAE

    Metodo Cramer

Il metodo di Cramer è inteso a risolvere quei sistemi di equazioni algebriche lineari (SLAE) per i quali il determinante della matrice del sistema è diverso da zero. Naturalmente ciò implica che la matrice del sistema è quadrata (il concetto di determinante esiste solo per matrici quadrate). L'essenza del metodo di Cramer può essere espressa in tre punti:

    Componi il determinante della matrice del sistema (è anche chiamato determinante del sistema) e assicurati che non sia uguale a zero, cioè ∆≠0.

    Per ogni variabile xi è necessario comporre il determinante Δ X i ottenuto dal determinante Δ sostituendo l'i-esima colonna con la colonna dei membri liberi dello SLAE dato.

    Trova i valori delle incognite con la formula xi= Δ X i /Δ

Risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari utilizzando una matrice inversa.

La risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari (SLAE) utilizzando una matrice inversa (a volte questo metodo è anche chiamato metodo della matrice o metodo della matrice inversa) richiede una previa familiarizzazione con un concetto come la forma matriciale dello SLAE. Il metodo della matrice inversa è inteso per risolvere quei sistemi di equazioni algebriche lineari per i quali il determinante della matrice del sistema è diverso da zero. Naturalmente ciò implica che la matrice del sistema è quadrata (il concetto di determinante esiste solo per matrici quadrate). L'essenza del metodo della matrice inversa può essere espressa in tre punti:

    Scrivi tre matrici: la matrice del sistema A, la matrice delle incognite X, la matrice dei membri liberi B.

    Trova la matrice inversa A -1 .

    Usando l'uguaglianza X=A -1 ⋅B ottieni la soluzione dello SLAE dato.

Metodo Gauss. Esempi di risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari con il metodo di Gauss.

Il metodo gaussiano è uno dei modi più semplici e visivi per risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari(SLOW): sia omogeneo che eterogeneo. In breve, l'essenza di questo metodo è l'eliminazione sequenziale delle incognite.

Trasformazioni consentite nel metodo di Gauss:

    Cambiare posto di due linee;

    Moltiplicando tutti gli elementi di una stringa per un numero diverso da zero.

    Sommando agli elementi di una riga gli elementi corrispondenti di un'altra riga, moltiplicati per qualsiasi fattore.

    Cancellare una linea i cui elementi sono tutti uguali a zero.

    Cancellare le righe duplicate.

Per quanto riguarda gli ultimi due punti: le righe ripetute possono essere cancellate in qualsiasi fase della soluzione con il metodo di Gauss, ovviamente lasciandone una. Ad esempio, se le righe n. 2, n. 5, n. 6 vengono ripetute, è possibile lasciarne una, ad esempio la riga n. 5. In questo caso, le righe #2 e #6 verranno eliminate.

Zero righe vengono rimosse dalla matrice espansa del sistema così come appaiono.

Un sistema di equazioni lineari è un'unione di n equazioni lineari, ciascuna contenente k variabili. Si scrive così:

Molti, quando si trovano per la prima volta di fronte all'algebra superiore, credono erroneamente che il numero delle equazioni debba necessariamente coincidere con il numero delle variabili. Nell'algebra scolastica questo è solitamente il caso, ma per l'algebra superiore questo, in generale, non è vero.

La soluzione di un sistema di equazioni è una sequenza di numeri (k 1 , k 2 , ..., k n ), che è la soluzione di ciascuna equazione del sistema, cioè quando si sostituisce in questa equazione invece di variabili x 1 , x 2 , ..., x n fornisce l'uguaglianza numerica corretta.

Di conseguenza, risolvere un sistema di equazioni significa trovare l'insieme di tutte le sue soluzioni o dimostrare che questo insieme è vuoto. Poiché il numero di equazioni e il numero di incognite potrebbero non essere gli stessi, sono possibili tre casi:

  1. Il sistema è incoerente, cioè l'insieme di tutte le soluzioni è vuoto. Un caso abbastanza raro che si rileva facilmente indipendentemente dal metodo per risolvere il sistema.
  2. Il sistema è coerente e definito, cioè ha esattamente una soluzione. La versione classica, ben nota fin dai tempi della scuola.
  3. Il sistema è coerente e indefinito, cioè ha infinite soluzioni. Questa è l'opzione più difficile. Non è sufficiente affermare che "il sistema ha un insieme infinito di soluzioni" - è necessario descrivere come è organizzato questo insieme.

La variabile x i si dice ammessa se è inclusa in una sola equazione del sistema, e con coefficiente 1. In altre parole, nelle restanti equazioni, il coefficiente della variabile x i deve essere zero.

Se selezioniamo una variabile consentita in ciascuna equazione, otteniamo un insieme di variabili consentite per l'intero sistema di equazioni. Anche il sistema stesso, scritto in questo modulo, sarà chiamato consentito. In generale, uno stesso sistema iniziale può essere ridotto a diversi sistemi consentiti, ma questo non ci riguarda ora. Ecco alcuni esempi di sistemi consentiti:

Entrambi i sistemi sono ammessi rispetto alle variabili x 1 , x 3 e x 4 . Tuttavia, con lo stesso successo si può sostenere che il secondo sistema è consentito rispetto a x 1 , x 3 e x 5 . È sufficiente riscrivere l'ultima equazione nella forma x 5 = x 4 .

Consideriamo ora un caso più generale. Supponiamo di avere k variabili in totale, di cui r sono consentite. Allora sono possibili due casi:

  1. Il numero di variabili consentite r è uguale al numero totale di variabili k : r = k . Otteniamo un sistema di k equazioni in cui r = k variabili consentite. Un tale sistema è collaborativo e definito, perché x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
  2. Il numero di variabili consentite r è inferiore al numero totale di variabili k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Quindi, nei sistemi precedenti, le variabili x 2 , x 5 , x 6 (per il primo sistema) e x 2 , x 5 (per il secondo) sono libere. Il caso in cui ci sono variabili libere è meglio formulato come teorema:

Nota: questo è un punto molto importante! A seconda di come si scrive il sistema finale, la stessa variabile può essere sia consentita che libera. I tutor di matematica più avanzati consigliano di scrivere le variabili in ordine lessicografico, ad es. indice ascendente. Tuttavia, non devi assolutamente seguire questo consiglio.

Teorema. Se in un sistema di n equazioni sono ammesse le variabili x 1 , x 2 , ..., x r e x r + 1 , x r + 2 , ..., x k sono libere, allora:

  1. Se assegniamo valori a variabili libere (xr + 1 = tr + 1 , xr + 2 = tr + 2 , ..., xk = tk ) e poi troviamo i valori x 1 , x 2 , ... , xr , otteniamo una delle soluzioni.
  2. Se i valori delle variabili libere in due soluzioni sono gli stessi, anche i valori delle variabili consentite sono gli stessi, ad es. le soluzioni sono uguali.

Qual è il significato di questo teorema? Per ottenere tutte le soluzioni del sistema di equazioni consentito, è sufficiente individuare le variabili libere. Quindi, assegnando valori diversi alle variabili libere, otterremo soluzioni già pronte. Questo è tutto: in questo modo puoi ottenere tutte le soluzioni del sistema. Non ci sono altre soluzioni.

Conclusione: il sistema di equazioni consentito è sempre compatibile. Se il numero di equazioni nel sistema consentito è uguale al numero di variabili, il sistema sarà definito, se minore sarà indefinito.

E tutto andrebbe bene, ma sorge la domanda: come ottenere quella risolta dal sistema di equazioni originale? Per questo c'è

Anche a scuola, ognuno di noi ha studiato equazioni e, sicuramente, sistemi di equazioni. Ma non molte persone sanno che ci sono diversi modi per risolverli. Oggi analizzeremo in dettaglio tutti i metodi per risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari, che consistono in più di due uguaglianze.

Storia

Oggi è noto che l'arte di risolvere le equazioni e i loro sistemi ebbe origine nell'antica Babilonia e in Egitto. Tuttavia, le uguaglianze nella loro forma abituale sono apparse dopo la comparsa del segno di uguale "=", introdotto nel 1556 dal matematico inglese Record. A proposito, questo segno è stato scelto per un motivo: significa due segmenti uguali paralleli. In effetti, non c'è esempio migliore di uguaglianza.

Il fondatore delle moderne designazioni di lettere di incognite e segni di laurea è un matematico francese, ma le sue designazioni differivano notevolmente da quelle odierne. Ad esempio, ha indicato il quadrato di un numero sconosciuto con la lettera Q (lat. "quadratus") e il cubo con la lettera C (lat. "cubus"). Queste notazioni sembrano imbarazzanti ora, ma allora era il modo più comprensibile per scrivere sistemi di equazioni algebriche lineari.

Tuttavia, uno svantaggio dei metodi di soluzione di allora era che i matematici consideravano solo radici positive. Forse questo è dovuto al fatto che i valori negativi non avevano alcuna utilità pratica. In un modo o nell'altro, furono i matematici italiani Niccolò Tartaglia, Gerolamo Cardano e Rafael Bombelli i primi a considerare le radici negative nel XVI secolo. E la visione moderna, il metodo di soluzione principale (attraverso il discriminante) è stato creato solo nel XVII secolo grazie al lavoro di Cartesio e Newton.

A metà del 18° secolo, il matematico svizzero Gabriel Cramer trovò un nuovo modo per semplificare la risoluzione di sistemi di equazioni lineari. Questo metodo è stato successivamente intitolato a lui e ancora oggi lo usiamo. Ma parleremo del metodo di Cramer un po 'più tardi, ma per ora discuteremo di equazioni lineari e metodi per risolverle separatamente dal sistema.

Equazioni lineari

Le equazioni lineari sono le uguaglianze più semplici con le variabili. Sono classificati come algebrici. scrivi in ​​forma generale come segue: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... e n * x n \u003d b. Avremo bisogno della loro rappresentazione in questa forma quando compileremo ulteriormente sistemi e matrici.

Sistemi di equazioni algebriche lineari

La definizione di questo termine è la seguente: è un insieme di equazioni che hanno incognite comuni e una soluzione comune. Di norma, a scuola, tutto veniva risolto da sistemi con due o anche tre equazioni. Ma ci sono sistemi con quattro o più componenti. Scopriamo prima come scriverli in modo che sia conveniente risolverli in seguito. In primo luogo, i sistemi di equazioni algebriche lineari avranno un aspetto migliore se tutte le variabili sono scritte come x con l'indice appropriato: 1,2,3 e così via. In secondo luogo, tutte le equazioni dovrebbero essere portate alla forma canonica: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.

Dopo tutte queste azioni, possiamo iniziare a parlare di come trovare una soluzione ai sistemi di equazioni lineari. Le matrici sono molto utili per questo.

matrici

Una matrice è una tabella composta da righe e colonne e alla loro intersezione ci sono i suoi elementi. Questi possono essere valori o variabili specifici. Molto spesso, per designare elementi, gli indici vengono inseriti sotto di essi (ad esempio, un 11 o un 23). Il primo indice indica il numero di riga e il secondo il numero di colonna. Sulle matrici, così come su qualsiasi altro elemento matematico, è possibile eseguire diverse operazioni. Pertanto, puoi:

2) Moltiplica una matrice per un numero o un vettore.

3) Trasponi: trasforma le righe della matrice in colonne e le colonne in righe.

4) Moltiplicare le matrici se il numero di righe di una di esse è uguale al numero di colonne dell'altra.

Discuteremo tutte queste tecniche in modo più dettagliato, poiché ci saranno utili in futuro. La sottrazione e l'aggiunta di matrici è molto semplice. Poiché prendiamo matrici della stessa dimensione, ogni elemento di una tabella corrisponde a ogni elemento di un'altra. Quindi, aggiungiamo (sottriamo) questi due elementi (è importante che si trovino negli stessi posti nelle loro matrici). Quando si moltiplica una matrice per un numero o un vettore, è sufficiente moltiplicare ogni elemento della matrice per quel numero (o vettore). La trasposizione è un processo molto interessante. A volte è molto interessante vederlo nella vita reale, ad esempio quando si cambia l'orientamento di un tablet o di un telefono. Le icone sul desktop sono una matrice e quando si cambia la posizione, si traspone e si allarga, ma diminuisce in altezza.

Analizziamo un tale processo come Anche se non ci sarà utile, sarà comunque utile conoscerlo. Puoi moltiplicare due matrici solo se il numero di colonne in una tabella è uguale al numero di righe nell'altra. Prendiamo ora gli elementi di una riga di una matrice e gli elementi della colonna corrispondente di un'altra. Moltiplichiamoli tra loro e poi li aggiungiamo (ovvero, ad esempio, il prodotto degli elementi a 11 e a 12 per b 12 e b 22 sarà uguale a: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Pertanto, si ottiene un elemento della tabella che viene ulteriormente riempito con un metodo simile.

Ora possiamo iniziare a considerare come si risolve il sistema di equazioni lineari.

Metodo Gauss

Questo argomento inizia a scuola. Conosciamo bene il concetto di "sistema di due equazioni lineari" e sappiamo come risolverlo. Ma cosa succede se il numero di equazioni è maggiore di due? Questo ci aiuterà

Naturalmente, questo metodo è comodo da usare se si crea una matrice dal sistema. Ma non puoi trasformarlo e risolverlo nella sua forma pura.

Quindi, come viene risolto il sistema di equazioni gaussiane lineari con questo metodo? A proposito, anche se questo metodo prende il suo nome, è stato scoperto nei tempi antichi. Gauss propone quanto segue: eseguire operazioni con equazioni al fine di ridurre eventualmente l'intero insieme a una forma a gradini. Cioè, è necessario che dall'alto verso il basso (se posizionato correttamente) dalla prima all'ultima equazione diminuisca un'incognita. In altre parole, dobbiamo assicurarci di ottenere, diciamo, tre equazioni: nella prima - tre incognite, nella seconda - due, nella terza - una. Quindi dall'ultima equazione troviamo la prima incognita, sostituiamo il suo valore nella seconda o prima equazione, quindi troviamo le restanti due variabili.

Metodo Cramer

Per padroneggiare questo metodo, è fondamentale padroneggiare le abilità di addizione, sottrazione di matrici e devi anche essere in grado di trovare determinanti. Pertanto, se fai tutto questo male o non sai affatto come, dovrai imparare e praticare.

Qual è l'essenza di questo metodo e come farlo in modo da ottenere un sistema di equazioni di Cramer lineari? Tutto è molto semplice. Dobbiamo costruire una matrice dai coefficienti numerici (quasi sempre) di un sistema di equazioni algebriche lineari. Per fare ciò, prendiamo semplicemente i numeri davanti alle incognite e li mettiamo nella tabella nell'ordine in cui sono scritti nel sistema. Se il numero è preceduto da un segno "-", scriviamo un coefficiente negativo. Quindi, abbiamo compilato la prima matrice dai coefficienti delle incognite, escludendo i numeri dopo i segni di uguale (naturalmente, l'equazione dovrebbe essere ridotta alla forma canonica, quando solo il numero è a destra, e tutte le incognite con coefficienti a sinistra). Quindi devi creare molte altre matrici, una per ogni variabile. Per fare ciò, nella prima matrice, a turno, sostituiamo ogni colonna con coefficienti con una colonna di numeri dopo il segno di uguale. Quindi, otteniamo diverse matrici e poi troviamo i loro determinanti.

Dopo aver trovato i determinanti, la questione è piccola. Abbiamo una matrice iniziale e ci sono diverse matrici risultanti che corrispondono a diverse variabili. Per ottenere le soluzioni del sistema, dividiamo il determinante della tabella risultante per il determinante della tabella iniziale. Il numero risultante è il valore di una delle variabili. Allo stesso modo, troviamo tutte le incognite.

Altri metodi

Esistono molti altri metodi per ottenere una soluzione ai sistemi di equazioni lineari. Ad esempio, il cosiddetto metodo di Gauss-Jordan, che viene utilizzato per trovare soluzioni a un sistema di equazioni quadratiche ed è anche associato all'uso di matrici. Esiste anche un metodo Jacobi per risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari. È il più facile da adattare a un computer e viene utilizzato nella tecnologia informatica.

Casi difficili

La complessità di solito sorge quando il numero di equazioni è inferiore al numero di variabili. Allora possiamo dire con certezza che o il sistema è incoerente (cioè non ha radici), oppure il numero delle sue soluzioni tende all'infinito. Se abbiamo il secondo caso, allora dobbiamo scrivere la soluzione generale del sistema di equazioni lineari. Conterrà almeno una variabile.

Conclusione

Eccoci arrivati ​​alla fine. Riassumiamo: abbiamo analizzato cosa sono un sistema e una matrice, abbiamo imparato a trovare una soluzione generale per un sistema di equazioni lineari. Inoltre, sono state prese in considerazione altre opzioni. Abbiamo scoperto come si risolve un sistema di equazioni lineari: il metodo di Gauss e abbiamo parlato di casi difficili e di altri modi per trovare soluzioni.

In effetti, questo argomento è molto più ampio e, se vuoi capirlo meglio, ti consigliamo di leggere una letteratura più specializzata.

Argomento 2 Risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari con metodi diretti.

I sistemi di equazioni algebriche lineari (abbreviati in SLAE) sono sistemi di equazioni della forma

oppure, in forma matriciale,

UN × X = B , (2.2)

UN - matrice di coefficienti del sistema di dimensioni n ´ n

X - vettore di incognite, costituito da n componente

B - il vettore delle parti destre del sistema, costituito da n componente.

UN = X = B = (2.3)

La soluzione SLAE è un tale insieme di n numeri, che, essendo sostituiti da valori X 1 , X 2 , … , x n nel sistema (2.1) assicura che i membri di sinistra siano uguali a quelli di destra in tutte le equazioni.

Ogni SLAE a seconda dei valori delle matrici UN e B potrebbe avere

Una soluzione

Infinite soluzioni

Non un'unica soluzione.

In questo corso considereremo solo gli SAE che hanno una soluzione unica. Condizione necessaria e sufficiente per questo è che il determinante della matrice UN .

Per cercare soluzioni su sistemi di equazioni algebriche lineari, possono essere eseguite alcune trasformazioni che non ne cambiano le soluzioni. Trasformazioni equivalenti i sistemi di equazioni lineari sono detti tali trasformazioni che non ne cambiano la soluzione. Questi includono:

Permutazione di due equazioni qualsiasi del sistema (va notato che in alcuni casi, considerati di seguito, questa trasformazione non può essere utilizzata);

Moltiplicazione (o divisione) di qualsiasi equazione del sistema per un numero diverso da zero;

L'addizione a un'equazione di un sistema dell'altra sua equazione, moltiplicata (o divisa) per un numero diverso da zero.

I metodi per risolvere SLAE sono divisi in due grandi gruppi, chiamati - metodi diretti e metodi iterativi. C'è anche un modo per ridurre il problema della soluzione dello SLAE al problema di trovare l'estremo di una funzione di più variabili, seguito dalla sua soluzione con metodi per trovare l'estremo (ulteriori informazioni su questo quando si esamina l'argomento corrispondente). I metodi diretti forniscono la soluzione esatta del sistema (se esiste) in un solo passaggio. I metodi iterativi (se nel contempo è assicurata la loro convergenza) consentono di migliorare ripetutamente qualche prima approssimazione alla soluzione desiderata dello SLAE e, in generale, non daranno mai una soluzione esatta. Tuttavia, tenendo conto del fatto che i metodi di soluzione diretta forniscono anche soluzioni non idealmente accurate a causa di inevitabili errori di arrotondamento nelle fasi intermedie dei calcoli, anche i metodi iterativi possono fornire approssimativamente lo stesso risultato.

Metodi diretti per risolvere SLAE. I metodi diretti più comunemente usati per risolvere gli SAE sono:

metodo Kramer,

Metodo Gauss (e sua modifica - Metodo Gauss-Jordan)

Metodo Matrix (usando l'inversione di matrice UN ).

Metodo Cramer in base al calcolo del determinante della matrice principale UN e determinanti di matrice UN 1 , UN 2 , …, Un , che si ottengono dalla matrice UN sostituendone uno ( io esima) colonna ( io= 1, 2,…, n) in una colonna contenente elementi vettoriali B . Successivamente, le soluzioni dello SLAE vengono determinate come quoziente dei valori di questi determinanti. Più precisamente, le formule di calcolo si presentano così

(2.4)

Esempio 1. Troviamo con il metodo Cramer la soluzione dello SLAE per cui

UN = , B = .

abbiamo

A 1 = , A2 = , A 3 = , A4 = .

Calcoliamo i valori dei determinanti di tutte e cinque le matrici (usando la funzione MOPRED dell'ambiente eccellere). Ottenere

Dal momento che il determinante della matrice UN non è uguale a zero - il sistema ha una soluzione unica. Quindi lo definiamo con la formula (2.4). Ottenere

Metodo Gauss. La soluzione di SLAE con questo metodo prevede la compilazione di una matrice estesa del sistema UN * . La matrice aumentata del sistema è una matrice di dimensioni n linee e n+1 colonne, inclusa la matrice originale UN con una colonna attaccata a destra contenente il vettore B .

UN* = (2.4)

Qui a in+1 = b io (io = 1, 2, …, n ).

L'essenza del metodo di Gauss è ridurre (mediante trasformazioni equivalenti) della matrice estesa del sistema in una forma triangolare (in modo che solo zero elementi siano al di sotto della sua diagonale principale).

UN * =

Quindi, partendo dall'ultima riga e salendo, possiamo determinare in sequenza i valori di tutti i componenti della soluzione.

L'inizio delle trasformazioni della matrice espansa del sistema nella forma richiesta consiste nel visualizzare i valori dei coefficienti a X 1 e scegliendo la riga in cui ha il massimo valore assoluto (questo è necessario per ridurre l'entità dell'errore di calcolo nei calcoli successivi). Questa riga della matrice aumentata deve essere scambiata con la sua prima riga (o, che è meglio, aggiungere (o sottrarre) alla prima riga e mettere il risultato al posto della prima riga). Dopodiché, tutti gli elementi di questa nuova prima riga (compresi quelli nell'ultima colonna) devono essere divisi per questo fattore. Successivamente, il coefficiente appena ottenuto un 11 diventa uguale a uno. Più lontano da ciascuna delle restanti righe della matrice, è necessario sottrarre la sua prima riga, moltiplicata per il valore del coefficiente a X 1 in questa riga (cioè dall'importo un io 1 , dove io =2, 3, … n ). Dopodiché, in tutte le righe, a partire dalla seconda, i coefficienti a X 1 (cioè tutti i coefficienti un io 1 (io =2, …, n ) sarà zero. Poiché abbiamo eseguito solo trasformazioni equivalenti, la soluzione dello SLAE appena ottenuto non differirà dal sistema originale.

Inoltre, lasciando invariata la prima riga della matrice, eseguiremo tutte le azioni precedenti con le righe rimanenti della matrice e, di conseguenza, il coefficiente appena ottenuto un 22 diventa uguale a uno e tutti i coefficienti un io 2 (io =3, 4, …, n ) diventerà zero. Continuando azioni simili, alla fine porteremo la nostra matrice in una forma in cui tutti i coefficienti un ii = 1 (io =1, 2, …, n), e tutti i coefficienti aij = 0 (io =2, 3, …, n, J< io). Se, a un certo punto, durante la ricerca del valore assoluto più grande del coefficiente a xj non saremo in grado di trovare un coefficiente che non sia uguale a zero: ciò significa che il sistema originale non ha una soluzione univoca. In questo caso, il processo decisionale deve essere terminato.

Se il processo di trasformazioni equivalenti si è concluso con successo, la matrice estesa "triangolare" risultante corrisponderà al seguente sistema di equazioni lineari:

Dall'ultima equazione di questo sistema troviamo il valore x n . Inoltre, sostituendo questo valore nella penultima equazione, troviamo il valore x n -1 . Dopodiché, sostituendo entrambi questi valori trovati nella terza equazione dal fondo del sistema, troviamo il valore x n -2 . Continuando così e muovendoci lungo l'equazione di questo sistema dal basso verso l'alto, troveremo successivamente i valori di altre radici. E infine, sostituendo i valori trovati x n , x n -1 , x n -2 , X 3 e X 2 nella prima equazione del sistema troviamo il valore x 1. Viene chiamata una tale procedura per la ricerca dei valori delle radici dalla matrice triangolare trovata indietro. Viene chiamato il processo di portare la matrice estesa originale mediante trasformazioni equivalenti a una forma triangolare in linea retta Metodo Gauss..

Un algoritmo abbastanza dettagliato per risolvere SLAE con il metodo di Gauss è mostrato in Fig. .2.1 e fig. 2.1a.

Esempio 2. Trova la soluzione dello stesso SLAE con il metodo gaussiano, che abbiamo già risolto con il metodo Cramer. Componiamo prima la sua matrice aumentata. Ottenere

UN * = .

Innanzitutto, scambiamo la prima e la terza riga di questa matrice (poiché la sua prima colonna contiene l'elemento più grande in valore assoluto), quindi dividiamo tutti gli elementi di questa nuova prima riga per il valore 3. Otteniamo

UN * = .

UN * =

Quindi scambiamo la seconda e la terza riga di questa matrice, dividiamo la seconda riga della matrice permutata per 2,3333 e, analogamente a quanto sopra, impostiamo a zero i coefficienti nella seconda colonna della terza e della quarta riga della matrice. Ottenere

UN * = .

Dopo aver eseguito azioni simili sulla terza e quarta riga della matrice, otteniamo

UN * = .

Dividendo ora la quarta riga per -5,3076, finiamo di disegnare la matrice estesa del sistema in una forma diagonale. Ottenere




Riso. 2.1. Algoritmo per la risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari con il metodo di Gauss



Riso. 2.1a. Macroblocco“Calcolo dei valori di soluzione”.

UN * = .

Dall'ultima riga arriviamo subito X 4 = 0.7536. Salendo ora le righe della matrice ed eseguendo calcoli, otteniamo successivamente X 3 = 0.7971, X 2 =- 0.1015 e X 1 = 0.3333. Confrontando la soluzione ottenuta con questo metodo con la soluzione ottenuta con il metodo Cramer, è facile verificare che coincidano.

Metodo Gauss-Giordania. Questo metodo per risolvere SLAE è simile in molti modi al metodo di Gauss. La differenza principale è che utilizzando trasformazioni equivalenti, la matrice estesa del sistema di equazioni viene ridotta non a una forma triangolare, ma a una forma diagonale, sulla diagonale principale di cui ci sono unità, e al di fuori di essa (tranne l'ultimo n +1 colonne) - zeri. Dopo il completamento di tale trasformazione, l'ultima colonna della matrice espansa conterrà la soluzione dello SLAE originale (cioè . x io = un io n +1 (io = 1, 2, … , n ) nella matrice risultante). Non è necessaria la mossa inversa (come nel metodo di Gauss) per i calcoli finali dei valori dei componenti della soluzione.

La riduzione della matrice a una forma diagonale viene eseguita, sostanzialmente, così come nel metodo di Gauss. Se in linea io coefficiente a x io (io = 1, 2, … , n ) è piccolo in valore assoluto, quindi la stringa viene cercata J , in cui il coefficiente a x io sarà il più grande in valore assoluto questo ( J -i) la stringa viene aggiunta elemento per elemento a io - esima riga. Poi tutti gli elementi io - la riga è divisa per il valore dell'elemento x io Ma, a differenza del metodo di Gauss, dopo c'è una sottrazione da ogni riga con un numero J righe con numero io moltiplicato per un ji , ma la condizione J > io sostituito da un altroIl metodo Gauss-Jordan sottrae da ogni riga un numero J , e J # io , righe con numero io moltiplicato per un ji . Quelli. i coefficienti vengono ripristinati sia al di sotto che al di sopra della diagonale principale.

Un algoritmo abbastanza dettagliato per risolvere SLAE con il metodo Gauss-Jordan è mostrato in Fig. 2.2.

Esempio 3. Trova la soluzione dello stesso SLAE con il metodo di Gauss-Jordan, che abbiamo già risolto con i metodi di Cramer e Gauss.

Completamente simile al metodo di Gauss, comporremo la matrice estesa del sistema. Quindi scambiamo la prima e la terza riga di questa matrice (poiché la sua prima colonna contiene l'elemento di valore assoluto più grande), quindi dividiamo tutti gli elementi di questa nuova prima riga per il valore 3. Quindi, sottraiamo da ogni riga del matrice (tranne la prima) gli elementi della prima riga moltiplicati per il coefficiente nella prima colonna di quella riga. Otteniamo lo stesso del metodo di Gauss

UN * = .

Quindi scambiamo la seconda e la terza riga di questa matrice, dividiamo la seconda riga della matrice riorganizzata per 2,3333 e ( già in contrasto con il metodo di Gauss) imposta a zero i coefficienti nella seconda colonna della prima, terza e quarta riga della matrice. Ottenere

 

 
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