casa → Tecnica Le formule trigonometriche sono casi speciali. Risoluzione di equazioni trigonometriche. Equazioni trigonometriche omogenee

Le formule trigonometriche sono casi speciali. Risoluzione di equazioni trigonometriche. Equazioni trigonometriche omogenee

Esempi:

\(2\peccato(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sen⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Come risolvere le equazioni trigonometriche:

Qualsiasi equazione trigonometrica dovrebbe essere ridotta a uno dei seguenti tipi:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

dove \(t\) è un'espressione con una x, \(a\) è un numero. Tali equazioni trigonometriche sono chiamate il più semplice. Possono essere facilmente risolti utilizzando () o formule speciali:

Vedi le infografiche sulla risoluzione di semplici equazioni trigonometriche qui:, e.

Esempio . Risolvi l'equazione trigonometrica \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Soluzione:

Risposta: \(\left[ \begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(gathered)\right.\) \(k,n∈Z\)

Cosa significa ciascun simbolo nella formula per le radici delle equazioni trigonometriche, vedi.

Attenzione! Le equazioni \(\sin⁡x=a\) e \(\cos⁡x=a\) non hanno soluzioni se \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Poiché seno e coseno per qualsiasi x sono maggiori o uguali a \(-1\) e minori o uguali a \(1\):

\(-1≤\sen x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Esempio . Risolvi l'equazione \(\cos⁡x=-1,1\).
Soluzione: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Risposta : nessuna soluzione.

Esempio . Risolvi l'equazione trigonometrica tg\(⁡x=1\).
Soluzione:

Risolviamo l'equazione utilizzando il cerchio numerico. Per questo:
1) Costruisci un cerchio)
2) Costruire gli assi \(x\) e \(y\) e l'asse tangente (passa per il punto \((0;1)\) parallelo all'asse \(y\)).
3) Sull'asse tangente, segnare il punto \(1\).
4) Collega questo punto e l'origine delle coordinate: una linea retta.
5) Segna i punti di intersezione di questa linea e il cerchio numerico.
6) Segniamo i valori di questi punti: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\)
7) Annotare tutti i valori di questi punti. Poiché si trovano a una distanza esatta di \(π\) l'uno dall'altro, tutti i valori possono essere scritti in un'unica formula:

Risposta: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Esempio . Risolvi l'equazione trigonometrica \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Soluzione:

Usiamo di nuovo il cerchio numerico.
1) Costruisci un cerchio, assi \(x\) e \(y\).
2) Sull'asse del coseno (asse \(x\)), segnare \(0\).
3) Disegna una perpendicolare all'asse del coseno passante per questo punto.
4) Segna i punti di intersezione della perpendicolare e del cerchio.
5) Segniamo i valori di questi punti: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\).
6) Scriviamo l'intero valore di questi punti e li equiparamo al coseno (a ciò che è all'interno del coseno).

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)

8) Come al solito, esprimeremo \(x\) in equazioni.
Non dimenticare di trattare i numeri con \(π\), così come \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), ecc. Questi sono gli stessi numeri di tutti gli altri. Nessuna discriminazione numerica!

\(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)
\(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\)
\(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Risposta: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Ridurre le equazioni trigonometriche al più semplice è un compito creativo; qui è necessario utilizzare entrambi e metodi speciali per risolvere le equazioni:
- Metodo (il più diffuso nell'Esame di Stato Unificato).
- Metodo.
- Metodo degli argomenti ausiliari.

Consideriamo un esempio di risoluzione dell'equazione trigonometrica quadratica

Esempio . Risolvi l'equazione trigonometrica \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Soluzione:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Facciamo la sostituzione \(t=\cos⁡x\).

	La nostra equazione è diventata tipica. Puoi risolverlo usando .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Effettuiamo una sostituzione inversa.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Risolviamo la prima equazione utilizzando il cerchio numerico. La seconda equazione non ha soluzioni perché \(\cos⁡x∈[-1;1]\) e non può essere uguale a due per qualsiasi x.
	Annotiamo tutti i numeri che si trovano in questi punti.

Risposta: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Un esempio di risoluzione di un'equazione trigonometrica con lo studio di ODZ:

Esempio (USO) . Risolvi l'equazione trigonometrica \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	C'è una frazione e c'è una cotangente: significa che dobbiamo scriverlo. Lascia che ti ricordi che una cotangente è in realtà una frazione: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Pertanto, l'ODZ per ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\peccato⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Segniamo le “non soluzioni” sul cerchio numerico.

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Eliminiamo il denominatore nell'equazione moltiplicandolo per ctg\(x\). Possiamo farlo, poiché abbiamo scritto sopra ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Applichiamo la formula del doppio angolo per il seno: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Se le tue mani si allungano per dividere per il coseno, tirale indietro! Puoi dividere per un'espressione con una variabile se sicuramente non è uguale a zero (ad esempio, questi: \(x^2+1,5^x\)). Invece, togliamo \(\cos⁡x\) tra parentesi.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	"Dividiamo" l'equazione in due.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sen⁡x=0\)	Risolviamo la prima equazione utilizzando il cerchio numerico. Dividiamo la seconda equazione per \(2\) e spostiamo \(\sin⁡x\) a destra.

\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Le radici risultanti non sono incluse nell'ODZ. Pertanto, non li scriveremo in risposta. La seconda equazione è tipica. Dividiamolo per \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) non può essere una soluzione dell'equazione perché in questo caso \(\cos⁡x=1\) o \(\cos⁡ x=-1\)).
	Usiamo di nuovo un cerchio.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Queste radici non sono escluse da ODZ, quindi puoi scriverle nella risposta.

Risposta: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Equazioni trigonometriche .

Le più semplici equazioni trigonometriche .

Metodi per risolvere equazioni trigonometriche.

Equazioni trigonometriche. Un'equazione contenente un'incognita sotto viene chiamato il segno della funzione trigonometrica trigonometrico.

Le più semplici equazioni trigonometriche.

Metodi per risolvere equazioni trigonometriche. La risoluzione di un'equazione trigonometrica consiste di due fasi: trasformazione dell'equazione per renderlo più semplice tipo (vedi sopra) e soluzioneil risultato più semplice equazione trigonometrica. Ce ne sono sette metodi di base per la risoluzione di equazioni trigonometriche.

1. Metodo algebrico. Questo metodo ci è ben noto dall'algebra.

(metodo di sostituzione e sostituzione variabile).

2. Fattorizzazione. Diamo un'occhiata a questo metodo con esempi.

Esempio 1. Risolvi l'equazione: peccato X+cos X = 1 .

Soluzione Spostiamo tutti i termini dell'equazione a sinistra:

Peccato X+cos X – 1 = 0 ,

Trasformiamo e fattorizziamo l'espressione in

Lato sinistro dell'equazione:

Esempio 2. Risolvi l'equazione: cos 2 X+ peccato X cos X = 1.

Soluzione: cos2 X+ peccato X cos X– peccato 2 X– cos2 X = 0 ,

Peccato X cos X– peccato 2 X = 0 ,

Peccato X· (cos X– peccato X ) = 0 ,

Esempio 3. Risolvi l'equazione: cos2 X–cos 8 X+ cos 6 X = 1.

Soluzione: cos2 X+ cos 6 X= 1 + cos8 X,

2 cos 4 X cos2 X= 2cos²4 X ,

Cos4 X · (cos2 X–cos 4 X) = 0 ,

Cos4 X · 2 peccato 3 X peccato X = 0 ,

1). cos 4 X= 0, 2). peccato 3 X= 0, 3). peccato X = 0 ,

Portando a equazione omogenea. L'equazione chiamato omogeneo da per quanto riguarda peccato E cos , Se tutto iscritti dello stesso grado rispetto a peccato E cos stesso angolo. Per risolvere un'equazione omogenea è necessario:

UN) sposta tutti i suoi membri sul lato sinistro;

B) mettete tutti i fattori comuni tra parentesi;

V) equiparare tutti i fattori e le parentesi a zero;

G) parentesi uguali a zero danno equazione omogenea di grado minore, in cui dovrebbe essere divisa

cos(O peccato) nel grado senior;

D) risolvere l'equazione algebrica risultante rispetto aabbronzatura .

ESEMPIO Risolvere l'equazione: 3 peccato 2 X+4 peccato X cos X+ 5 cos 2 X = 2.

Soluzione: 3peccato 2 X+4 peccato X cos X+5cos2 X= 2peccato 2 X+2cos2 X ,

Peccato 2 X+4 peccato X cos X+3cos2 X = 0 ,

Abbronzatura 2 X+ 4 abbronzatura X + 3 = 0 , da qui sì 2 + 4sì +3 = 0 ,

Le radici di questa equazione sono:sì 1 = - 1, sì 2 = - 3, quindi

1) abbronzatura X= –1, 2) marrone chiaro X = –3,

4. Transizione al semiangolo. Diamo un'occhiata a questo metodo utilizzando un esempio:

ESEMPIO Risolvere l'equazione: 3 peccato X– 5 cos X = 7.

Soluzione: 6 peccati ( X/ 2) cos ( X/ 2) – 5 cos² ( X/ 2) + 5 peccato² ( X/ 2) =

7 peccato² ( X/ 2) + 7 cos² ( X/ 2) ,

2 peccato² ( X/ 2) – 6 peccato ( X/ 2) cos ( X/ 2) + 12 cos² ( X/ 2) = 0 ,

tan²( X/ 2) – 3 marrone chiaro ( X/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Introduzione di un angolo ausiliario. Consideriamo un'equazione della forma:

UN peccato X + B cos X = C ,

Dove UN, B, C– coefficienti;X- sconosciuto.

Ora i coefficienti dell'equazione hanno le proprietà di seno e coseno, vale a dire: modulo (valore assoluto) di ciascuno

Le equazioni trigonometriche più semplici vengono risolte, di regola, utilizzando le formule. Permettimi di ricordarti che le equazioni trigonometriche più semplici sono:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x è l'angolo da trovare,
a è un numero qualsiasi.

Ed ecco le formule con cui potrai scrivere subito le soluzioni di queste equazioni più semplici.

Per il seno:

Per coseno:

x = ± arcocos a + 2π n, n ∈ Z

Per la tangente:

x = arcotan a + π n, n ∈ Z

Per cotangente:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

In realtà, questa è la parte teorica della risoluzione delle equazioni trigonometriche più semplici. Inoltre, tutto!) Niente di niente. Tuttavia, il numero di errori su questo argomento è semplicemente fuori scala. Soprattutto se l'esempio si discosta leggermente dal modello. Perché?

Sì, perché molte persone scrivono queste lettere, senza comprenderne minimamente il significato! Scrive con cautela, per timore che succeda qualcosa...) Questo deve essere risolto. Trigonometria per le persone, o persone per la trigonometria, dopo tutto!?)

Scopriamolo?

Un angolo sarà uguale a arccos a, secondo: -arccos a.

E funzionerà sempre così. Per ogni UN.

Se non mi credi, passa il mouse sull'immagine o tocca l'immagine sul tablet.) Ho cambiato il numero UN a qualcosa di negativo. Comunque, abbiamo un angolo arccos a, secondo: -arccos a.

Pertanto, la risposta può sempre essere scritta come due serie di radici:

x 1 = arcocos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Uniamo queste due serie in una:

x= ± arcocos a + 2π n, n ∈ Z

E questo è tutto. Abbiamo ottenuto una formula generale per risolvere la più semplice equazione trigonometrica con coseno.

Se capisci che questa non è una sorta di saggezza superscientifica, ma solo una versione abbreviata di due serie di risposte, Sarai anche in grado di gestire le attività “C”. Con le disuguaglianze, con la scelta delle radici da un dato intervallo... Lì la risposta con più/meno non funziona. Ma se tratti la risposta in modo professionale e la dividi in due risposte separate, tutto sarà risolto.) In realtà, è per questo che stiamo esaminando la questione. Cosa, come e dove.

Nella più semplice equazione trigonometrica

sinx = a

otteniamo anche due serie di radici. Sempre. E queste due serie possono anche essere registrate in una riga. Solo questa riga sarà più complicata:

x = (-1) n arcoseno a + π n, n ∈ Z

Ma l'essenza rimane la stessa. I matematici hanno semplicemente progettato una formula per creare una voce invece di due per le serie di radici. È tutto!

Controlliamo i matematici? E non si sa mai...)

Nella lezione precedente è stata discussa in dettaglio la soluzione (senza alcuna formula) di un'equazione trigonometrica con seno:

La risposta ha prodotto due serie di radici:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Se risolviamo la stessa equazione utilizzando la formula, otteniamo la risposta:

x = (-1) n arcoseno 0,5 + π n, n ∈ Z

In realtà, questa è una risposta incompleta.) Lo studente deve saperlo arcoseno 0,5 = π /6. La risposta completa sarebbe:

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

Ciò solleva una domanda interessante. Rispondi tramite x1; x2 (questa è la risposta corretta!) e attraverso la solitudine X (e questa è la risposta corretta!) - sono la stessa cosa oppure no? Lo scopriremo ora.)

Sostituiamo nella risposta con x1 valori N =0; 1; 2; ecc., contiamo, otteniamo una serie di radici:

x1 = π/6; 13π/6; 25π/6 e così via.

Con la stessa sostituzione in risposta con x2 , noi abbiamo:

x2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 e così via.

Ora sostituiamo i valori N (0; 1; 2; 3; 4...) nella formula generale del singolo X . Cioè eleviamo il meno uno alla potenza zero, poi alla prima, alla seconda, ecc. Bene, ovviamente sostituiamo 0 nel secondo termine; 1; 2 3; 4, ecc. E contiamo. Otteniamo la serie:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 e così via.

Questo è tutto ciò che puoi vedere.) La formula generale ci dà esattamente gli stessi risultati così come le due risposte separatamente. Tutto in una volta, in ordine. I matematici non si sono lasciati ingannare.)

È inoltre possibile verificare le formule per risolvere equazioni trigonometriche con tangente e cotangente. Ma non lo faremo.) Sono già semplici.

Ho scritto tutta questa sostituzione e verifica in modo specifico. Qui è importante capire una cosa semplice: esistono formule per risolvere equazioni trigonometriche elementari, solo un breve riassunto delle risposte. Per questa brevità, abbiamo dovuto inserire più/meno nella soluzione del coseno e (-1) n nella soluzione del seno.

Questi inserti non interferiscono in alcun modo nei compiti in cui è sufficiente scrivere la risposta a un'equazione elementare. Ma se devi risolvere una disuguaglianza, o se devi fare qualcosa con la risposta: selezionare le radici su un intervallo, verificare la presenza di ODZ, ecc., questi inserimenti possono facilmente turbare una persona.

Quindi cosa dovrei fare? Sì, o scrivi la risposta in due serie, oppure risolvi l'equazione/disuguaglianza utilizzando il cerchio trigonometrico. Poi questi inserimenti scompaiono e la vita diventa più facile.)

Possiamo riassumere.

Per risolvere le equazioni trigonometriche più semplici, esistono formule di risposta già pronte. Quattro pezzi. Sono utili per scrivere istantaneamente la soluzione di un'equazione. Ad esempio, devi risolvere le equazioni:

sinx = 0,3

Facilmente: x = (-1) n arcoseno 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Nessun problema: x = ± arccos 0.2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1.2

Facilmente: x = arcotan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Uno rimasto: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cosx = 1,8

Se tu, splendente di conoscenza, scrivi immediatamente la risposta:

x= ± arcocos 1.8 + 2π n, n ∈ Z

allora stai già splendendo, questo... quello... da una pozzanghera.) Risposta corretta: non ci sono soluzioni. Non capisci perché? Leggi cos'è l'arcocoseno. Inoltre, se sul lato destro dell'equazione originale sono presenti i valori tabulari di seno, coseno, tangente, cotangente, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 e così via. - la risposta attraverso gli archi sarà incompiuta. Gli archi devono essere convertiti in radianti.

E se ti imbatti nella disuguaglianza, tipo

allora la risposta è:

xπn, n ∈ Z

ci sono rare sciocchezze, sì...) Qui devi risolvere usando il cerchio trigonometrico. Cosa faremo nell'argomento corrispondente.

Per chi legge eroicamente queste righe. Semplicemente non posso fare a meno di apprezzare i tuoi sforzi titanici. Bonus per te.)

Bonus:

Quando si scrivono formule in una situazione di combattimento allarmante, anche i nerd esperti spesso si confondono su dove πn, E dove 2πn. Ecco un semplice trucco per te. In tutti valore delle formule πn. Fatta eccezione per l'unica formula con arcocoseno. Sta lì 2πn. Due penna. Parola chiave - due. In questa stessa formula ci sono due firmare all'inizio. Più e meno. Qui e li - due.

Quindi se hai scritto due segno prima dell’arcocoseno, è più facile ricordare cosa accadrà alla fine due penna. E succede anche il contrario. La persona mancherà il segno ± , arriva alla fine, scrive correttamente due Pien, e tornerà in sé. C'è qualcosa più avanti due cartello! La persona tornerà all'inizio e correggerà l'errore! Come questo.)

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Cosa studieremo:
1. Cosa sono le equazioni trigonometriche?

3. Due metodi principali per risolvere equazioni trigonometriche.
4. Equazioni trigonometriche omogenee.
5. Esempi.

Cosa sono le equazioni trigonometriche?

Ragazzi, abbiamo già studiato arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcotangente. Consideriamo ora le equazioni trigonometriche in generale.

Le equazioni trigonometriche sono equazioni in cui una variabile è contenuta sotto il segno di una funzione trigonometrica.

Ripetiamo la forma di risoluzione delle equazioni trigonometriche più semplici:

1)Se |a|≤ 1, allora l'equazione cos(x) = a ha soluzione:

X= ± arcocos(a) + 2πk

2) Se |a|≤ 1, allora l'equazione sin(x) = a ha soluzione:

3) Se |a| > 1, allora l'equazione sin(x) = a e cos(x) = a non hanno soluzioni 4) L'equazione tg(x)=a ha una soluzione: x=arctg(a)+ πk

5) L'equazione ctg(x)=a ha soluzione: x=arcctg(a)+ πk

Per tutte le formule k è un numero intero

Le equazioni trigonometriche più semplici hanno la forma: T(kx+m)=a, T è una funzione trigonometrica.

Esempio.

Risolvi le equazioni: a) sin(3x)= √3/2

Soluzione:

A) Indichiamo 3x=t, quindi riscriviamo la nostra equazione nella forma:

La soluzione di questa equazione sarà: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Dalla tabella dei valori otteniamo: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Torniamo alla nostra variabile: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Allora x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Risposta: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, dove n è un numero intero. (-1)^n – meno uno elevato a n.

Altri esempi di equazioni trigonometriche.

Risolvi le equazioni: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Soluzione:

A) Questa volta passiamo direttamente al calcolo delle radici dell'equazione:

X/5= ± arcocos(1) + 2πk. Allora x/5= πk => x=5πk

Risposta: x=5πk, dove k è un numero intero.

B) Lo scriviamo nella forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Sappiamo che: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Risposta: x=2π/9 + πk/3, dove k è un numero intero.

Risolvi le equazioni: cos(4x)= √2/2. E trova tutte le radici sul segmento.

Soluzione:

Risolviamo la nostra equazione in forma generale: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ±π/4 + 2πk;

X=±π/16+πk/2;

Vediamo ora quali radici ricadono sul nostro segmento. A k A k=0, x= π/16, siamo nel segmento dato.
Con k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, colpiamo di nuovo.
Per k=2, x= π/16+ π=17π/16, ma qui non abbiamo colpito, il che significa che anche per k grandi ovviamente non colpiremo.

Risposta: x= π/16, x= 9π/16

Due metodi risolutivi principali.

Abbiamo esaminato le equazioni trigonometriche più semplici, ma ce ne sono anche di più complesse. Per risolverli vengono utilizzati il metodo di introduzione di una nuova variabile e il metodo di fattorizzazione. Diamo un'occhiata agli esempi.

Risolviamo l'equazione:

Soluzione:
Per risolvere la nostra equazione, utilizzeremo il metodo di introduzione di una nuova variabile, che denota: t=tg(x).

Come risultato della sostituzione otteniamo: t 2 + 2t -1 = 0

Troviamo le radici dell'equazione quadratica: t=-1 e t=1/3

Quindi tg(x)=-1 e tg(x)=1/3, otteniamo l'equazione trigonometrica più semplice, troviamo le sue radici.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Risposta: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Un esempio di risoluzione di un'equazione

Risolvi le equazioni: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Soluzione:

Usiamo l'identità: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

La nostra equazione assumerà la forma: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Introduciamo la sostituzione t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

La soluzione della nostra equazione quadratica sono le radici: t=2 e t=-1/2

Allora cos(x)=2 e cos(x)=-1/2.

Perché il coseno non può assumere valori maggiori di uno, allora cos(x)=2 non ha radici.

Per cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x=±2π/3 + 2πk

Risposta: x= ±2π/3 + 2πk

Equazioni trigonometriche omogenee.

Definizione: Le equazioni della forma a sin(x)+b cos(x) sono chiamate equazioni trigonometriche omogenee di primo grado.

Equazioni della forma

equazioni trigonometriche omogenee di secondo grado.

Per risolvere un'equazione trigonometrica omogenea di primo grado, dividila per cos(x): Non puoi dividere per il coseno se è uguale a zero, assicuriamoci che non sia così:
Sia cos(x)=0, quindi asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ma seno e coseno non sono uguali a zero allo stesso tempo, otteniamo una contraddizione, quindi possiamo tranquillamente dividere per zero.

Risolvi l'equazione:
Esempio: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Soluzione:

Togliamo il fattore comune: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Quindi dobbiamo risolvere due equazioni:

Cos(x)=0 e cos(x)+sen(x)=0

Cos(x)=0 in x= π/2 + πk;

Considera l'equazione cos(x)+sin(x)=0 Dividi la nostra equazione per cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Risposta: x= π/2 + πk e x= -π/4+πk

Come risolvere equazioni trigonometriche omogenee di secondo grado?
Ragazzi, rispettate sempre queste regole!

1. Guarda a quanto equivale il coefficiente a, se a=0 allora la nostra equazione assumerà la forma cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), un esempio della cui soluzione si trova nella diapositiva precedente

2. Se a≠0, allora devi dividere entrambi i lati dell'equazione per il coseno al quadrato, otteniamo:

Cambiamo la variabile t=tg(x) e otteniamo l'equazione: