Metodi per risolvere funzioni trigonometriche. Equazioni trigonometriche: formule, soluzioni, esempi. Equazioni trigonometriche omogenee
Quando ne risolvi molti problemi matematici, soprattutto quelli che si verificano prima del decimo anno, l'ordine delle azioni eseguite che porteranno all'obiettivo è chiaramente definito. Tali problemi includono, ad esempio, equazioni lineari e quadratiche, disuguaglianze lineari e quadratiche, equazioni frazionarie ed equazioni che si riducono a quadratiche. Il principio per risolvere con successo ciascuno dei problemi citati è il seguente: devi stabilire che tipo di problema stai risolvendo, ricordare la sequenza necessaria di azioni che porteranno al risultato desiderato, ad es. rispondi e segui questi passaggi.
È ovvio che il successo o il fallimento nella risoluzione di un particolare problema dipende principalmente da quanto correttamente viene determinato il tipo di equazione da risolvere, da quanto correttamente viene riprodotta la sequenza di tutte le fasi della sua soluzione. Naturalmente in questo caso è necessario avere le competenze per eseguire trasformazioni e calcoli identici.
La situazione è diversa con equazioni trigonometriche. Non è affatto difficile stabilire il fatto che l'equazione è trigonometrica. Le difficoltà sorgono quando si determina la sequenza di azioni che porterebbero alla risposta corretta.
A volte è difficile determinarne il tipo in base all'aspetto di un'equazione. E senza conoscere il tipo di equazione, è quasi impossibile scegliere quella giusta tra diverse dozzine di formule trigonometriche.
Per risolvere un'equazione trigonometrica, devi provare:
1. portare tutte le funzioni incluse nell'equazione agli “stessi angoli”;
2. portare l'equazione a “funzioni identiche”;
3. fattorizzare il lato sinistro dell'equazione, ecc.
Consideriamo metodi di base per la risoluzione di equazioni trigonometriche.
I. Riduzione alle più semplici equazioni trigonometriche
Diagramma della soluzione
Passo 1. Esprimere una funzione trigonometrica in termini di componenti note.
Passo 2. Trova l'argomento della funzione utilizzando le formule:
cos x = a; x = ±arcos a + 2πn, n ЄZ.
peccato x = a; x = (-1) n arcoseno a + πn, n Ä Z.
marrone chiaro x = a; x = arcotan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Á Z.
Passaggio 3. Trova la variabile sconosciuta.
Esempio.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Soluzione.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n À Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n À Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n À Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n À Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n À Z.
Risposta: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n À Z.
II. Sostituzione variabile
Diagramma della soluzione
Passo 1. Riduci l'equazione alla forma algebrica rispetto ad una delle funzioni trigonometriche.
Passo 2. Denotare la funzione risultante con la variabile t (se necessario, introdurre restrizioni su t).
Passaggio 3. Scrivi e risolvi l'equazione algebrica risultante.
Passaggio 4. Effettuare una sostituzione inversa.
Passaggio 5. Risolvi l'equazione trigonometrica più semplice.
Esempio.
2cos 2 (x/2) – 5sen (x/2) – 5 = 0.
Soluzione.
1) 2(1 – peccato 2 (x/2)) – 5 peccato (x/2) – 5 = 0;
2peccato 2 (x/2) + 5peccato (x/2) + 3 = 0.
2) Sia sin (x/2) = t, dove |t| ≤ 1.
3) 2t2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 o e = -3/2, non soddisfa la condizione |t| ≤ 1.
4) peccato(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n À Z;
x = π + 4πn, n À Z.
Risposta: x = π + 4πn, n À Z.
III. Metodo di riduzione dell'ordine delle equazioni
Diagramma della soluzione
Passo 1. Sostituisci questa equazione con una lineare, utilizzando la formula per ridurre il grado:
peccato 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos2x = 1/2 · (1 + cos2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Passo 2. Risolvi l'equazione risultante utilizzando i metodi I e II.
Esempio.
cos2x + cos2x = 5/4.
Soluzione.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n À Z;
x = ±π/6 + πn, n À Z.
Risposta: x = ±π/6 + πn, n Á Z.
IV. Equazioni omogenee
Diagramma della soluzione
Passo 1. Riduci questa equazione alla forma
a) a sin x + b cos x = 0 (equazione omogenea di primo grado)
o alla vista
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (equazione omogenea di secondo grado).
Passo 2. Dividi entrambi i membri dell'equazione per
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
e ottieni l'equazione per tan x:
a) a tan x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.
Passaggio 3. Risolvi l'equazione utilizzando metodi noti.
Esempio.
5sen 2 x + 3sen x cos x – 4 = 0.
Soluzione.
1) 5sen 2 x + 3sen x · cos x – 4(sen 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3 sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg2x + 3tgx – 4 = 0.
3) Sia tg x = t, allora
t2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 o t = -4, il che significa
tgx = 1 o tgx = -4.
Dalla prima equazione x = π/4 + πn, n Є Z; dalla seconda equazione x = -arctg 4 + πk, k À Z.
Risposta: x = π/4 + πn, n À Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Metodo per trasformare un'equazione utilizzando formule trigonometriche
Diagramma della soluzione
Passo 1. Utilizzando tutte le possibili formule trigonometriche, riduci questa equazione a un'equazione risolta con i metodi I, II, III, IV.
Passo 2. Risolvi l'equazione risultante utilizzando metodi noti.
Esempio.
peccato x + peccato 2x + peccato 3x = 0.
Soluzione.
1) (peccato x + peccato 3x) + peccato 2x = 0;
2sen 2x cos x + sin 2x = 0.
2) peccato 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 oppure 2cos x + 1 = 0;
Dalla prima equazione 2x = π/2 + πn, n Є Z; dalla seconda equazione cos x = -1/2.
Abbiamo x = π/4 + πn/2, n À Z; dalla seconda equazione x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Di conseguenza, x = π/4 + πn/2, n À Z; x = ±2π/3 + 2πk, k À Z.
Risposta: x = π/4 + πn/2, n À Z; x = ±2π/3 + 2πk, k À Z.
La capacità e l'abilità di risolvere equazioni trigonometriche è molto 
importante, il loro sviluppo richiede uno sforzo notevole, sia da parte dello studente che da parte dell'insegnante.
Alla soluzione delle equazioni trigonometriche sono associati molti problemi di stereometria, fisica, ecc .. Il processo di risoluzione di tali problemi incorpora molte delle conoscenze e delle abilità acquisite studiando gli elementi della trigonometria.
Le equazioni trigonometriche occupano un posto importante nel processo di apprendimento della matematica e dello sviluppo personale in generale.
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Vengono fornite le relazioni tra le funzioni trigonometriche di base: seno, coseno, tangente e cotangente formule trigonometriche. E poiché ci sono molte connessioni tra le funzioni trigonometriche, questo spiega l'abbondanza di formule trigonometriche. Alcune formule collegano funzioni trigonometriche dello stesso angolo, altre - funzioni di un angolo multiplo, altre - consentono di ridurre il grado, la quarta - esprime tutte le funzioni attraverso la tangente di un semiangolo, ecc.
In questo articolo elencheremo in ordine tutte le formule trigonometriche di base, sufficienti a risolvere la stragrande maggioranza dei problemi di trigonometria. Per facilità di memorizzazione e utilizzo, li raggrupperemo per scopo e li inseriremo in tabelle.
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Identità trigonometriche di base
Identità trigonometriche di base definire la relazione tra seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo. Derivano dalla definizione di seno, coseno, tangente e cotangente, nonché dal concetto di circonferenza unitaria. Permettono di esprimere una funzione trigonometrica in termini di qualsiasi altra.
Per una descrizione dettagliata di queste formule trigonometriche, la loro derivazione ed esempi di applicazione, vedere l'articolo.
Formule di riduzione
Formule di riduzione derivano dalle proprietà di seno, coseno, tangente e cotangente, cioè riflettono la proprietà della periodicità delle funzioni trigonometriche, la proprietà della simmetria, nonché la proprietà dello spostamento di un dato angolo. Queste formule trigonometriche ti consentono di passare dal lavorare con angoli arbitrari al lavorare con angoli compresi tra zero e 90 gradi.
La logica di queste formule, una regola mnemonica per memorizzarle ed esempi della loro applicazione possono essere studiate nell'articolo.
Formule di addizione
Formule di addizione trigonometriche mostrare come le funzioni trigonometriche della somma o della differenza di due angoli sono espresse in termini di funzioni trigonometriche di quegli angoli. Queste formule servono come base per derivare le seguenti formule trigonometriche.
Formule per doppio, triplo, ecc. angolo
Formule per doppio, triplo, ecc. angolo (sono anche chiamate formule di angoli multipli) mostrano come le funzioni trigonometriche di doppio, triplo, ecc. gli angoli () sono espressi in termini di funzioni trigonometriche di un singolo angolo. La loro derivazione si basa su formule di addizione.
Informazioni più dettagliate sono raccolte nell'articolo formule doppie, triple, ecc. angolo
Formule del mezzo angolo
Formule del mezzo angolo mostrare come le funzioni trigonometriche di un semiangolo sono espresse in termini di coseno di un angolo intero. Queste formule trigonometriche derivano dalle formule del doppio angolo.
La loro conclusione ed esempi di applicazione possono essere trovati nell'articolo.
Formule di riduzione dei gradi
Formule trigonometriche per ridurre i gradi sono progettati per facilitare il passaggio dalle potenze naturali delle funzioni trigonometriche ai seni e coseni di primo grado, ma ad angoli multipli. In altre parole, permettono di ridurre le potenze delle funzioni trigonometriche alla prima.
Formule per la somma e la differenza delle funzioni trigonometriche
Lo scopo principale formule per la somma e la differenza delle funzioni trigonometriche consiste nel passare al prodotto di funzioni, cosa molto utile per semplificare le espressioni trigonometriche. Queste formule sono ampiamente utilizzate anche per risolvere equazioni trigonometriche, poiché consentono di fattorizzare la somma e la differenza di seni e coseni.
Formule per il prodotto di seni, coseni e seno per coseno
La transizione dal prodotto di funzioni trigonometriche a una somma o differenza viene effettuata utilizzando le formule per il prodotto di seni, coseni e seno per coseno.
Sostituzione trigonometrica universale
Completiamo la nostra rassegna delle formule di base della trigonometria con formule che esprimono le funzioni trigonometriche in termini di tangente di un semiangolo. Questa sostituzione è stata chiamata sostituzione trigonometrica universale. La sua comodità sta nel fatto che tutte le funzioni trigonometriche sono espresse in termini di tangente di un semiangolo razionalmente senza radici.
Bibliografia.
- Algebra: Manuale per la 9a elementare. media scuola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 pp.: illustrato - ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Algebra e gli inizi dell'analisi: libro di testo. per le classi 10-11. media scuola - 3a ed. - M.: Educazione, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra e l'inizio dell'analisi: Proc. per le classi 10-11. educazione generale istituzioni / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn e altri; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14a edizione - M.: Education, 2004. - 384 pagine: illustrato - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematica (manuale per chi accede alle scuole tecniche): Proc. indennità.- M.; Più alto scuola, 1984.-351 p., ill.
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Richiede la conoscenza delle formule di base della trigonometria: la somma dei quadrati di seno e coseno, l'espressione della tangente attraverso seno e coseno e altre. Per chi li ha dimenticati o non li conosce, consigliamo la lettura dell'articolo "".
Quindi, conosciamo le formule trigonometriche di base, è ora di usarle nella pratica. Risoluzione di equazioni trigonometriche con il giusto approccio, diventa un’attività piuttosto entusiasmante, come, ad esempio, risolvere il cubo di Rubik.
In base al nome stesso, è chiaro che un'equazione trigonometrica è un'equazione in cui l'incognita è sotto il segno della funzione trigonometrica.
Esistono le cosiddette equazioni trigonometriche più semplici. Ecco come appaiono: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Consideriamo come risolvere tali equazioni trigonometriche, per chiarezza utilizzeremo il già familiare cerchio trigonometrico.
sinx = a
cosx = a
abbronzatura x = a
lettino x = a
Qualsiasi equazione trigonometrica viene risolta in due fasi: riduciamo l'equazione alla sua forma più semplice e poi la risolviamo come una semplice equazione trigonometrica.
Esistono 7 metodi principali con cui vengono risolte le equazioni trigonometriche.
Sostituzione delle variabili e metodo di sostituzione
Risoluzione di equazioni trigonometriche mediante fattorizzazione
Riduzione ad un'equazione omogenea
Risoluzione di equazioni attraverso la transizione a semiangolo
Introduzione dell'angolo ausiliario
Risolvi l'equazione 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Usando le formule di riduzione otteniamo:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Sostituisci cos(x + /6) con y per semplificare e ottenere la solita equazione quadratica:
2 anni 2 – 3 anni + 1 + 0
Le cui radici sono y 1 = 1, y 2 = 1/2
Ora andiamo in ordine inverso
Sostituiamo i valori trovati di y e otteniamo due opzioni di risposta:
Come risolvere l'equazione sin x + cos x = 1?
Spostiamo tutto a sinistra in modo che a destra rimanga 0:
peccato x + cos x – 1 = 0
Usiamo le identità discusse sopra per semplificare l'equazione:
peccato x - 2 peccato 2 (x/2) = 0
Fattorizziamo:
2sen(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sen(x/2) * = 0
Otteniamo due equazioni
Un'equazione è omogenea rispetto al seno e al coseno se tutti i suoi termini sono relativi al seno e al coseno della stessa potenza dello stesso angolo. Per risolvere un'equazione omogenea, procedere come segue:
a) trasferire tutti i suoi membri sul lato sinistro;
b) togliere tutti i fattori comuni tra parentesi;
c) equiparare tutti i fattori e le parentesi a 0;
d) tra parentesi si ottiene un'equazione omogenea di grado inferiore, che a sua volta viene divisa in un seno o coseno di grado superiore;
e) risolvere l'equazione risultante per tg.
Risolvi l'equazione 3sen 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Usiamo la formula sin 2 x + cos 2 x = 1 ed eliminiamo i due aperti a destra:
3sen 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sen 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Dividi per cos x:
tg2x+4tgx+3 = 0
Sostituisci tan x con y e ottieni un'equazione quadratica:
y 2 + 4y +3 = 0, le cui radici sono y 1 =1, y 2 = 3
Da qui troviamo due soluzioni all'equazione originale:
x 2 = arcotan 3 + k
Risolvi l'equazione 3sen x – 5cos x = 7
Passiamo a x/2:
6sen(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sen 2 (x/2) = 7sen 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Spostiamo tutto a sinistra:
2sen 2 (x/2) – 6sen(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Dividere per cos(x/2):
tg2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
A titolo informativo, prendiamo un'equazione della forma: a sin x + b cos x = c,
dove a, b, c sono alcuni coefficienti arbitrari e x è un'incognita.
Dividiamo entrambi i membri dell'equazione per:
Ora i coefficienti dell'equazione, secondo le formule trigonometriche, hanno le proprietà sin e cos, vale a dire: il loro modulo non è superiore a 1 e la somma dei quadrati = 1. Indichiamoli rispettivamente come cos e sin, dove - questo è il cosiddetto angolo ausiliario. Quindi l’equazione assumerà la forma:
cos * sin x + sin * cos x = C
oppure sin(x + ) = C
La soluzione di questa semplice equazione trigonometrica è
x = (-1) k * arcosen C - + k, dove
Va notato che le notazioni cos e sin sono intercambiabili.
Risolvi l'equazione sin 3x – cos 3x = 1
I coefficienti di questa equazione sono:
a = , b = -1, quindi dividi entrambi i lati per = 2
Le equazioni trigonometriche non sono un argomento facile. Sono troppo diversi.) Ad esempio, questi:
peccato 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = lettino(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Eccetera...
Ma questi (e tutti gli altri) mostri trigonometrici hanno due caratteristiche comuni e obbligatorie. Primo - non ci crederai - ci sono funzioni trigonometriche nelle equazioni.) Secondo: si trovano tutte le espressioni con x all'interno di queste stesse funzioni. E solo lì! Se X appare da qualche parte al di fuori, Per esempio, sin2x + 3x = 3, questa sarà già un'equazione di tipo misto. Tali equazioni richiedono un approccio individuale. Non li considereremo qui.
Non risolveremo le equazioni malvagie neanche in questa lezione.) Qui ci occuperemo di le più semplici equazioni trigonometriche. Perché? Sì perché la soluzione Qualunque equazioni trigonometriche consiste di due fasi. Nella prima fase, l'equazione del male si riduce a una semplice attraverso una varietà di trasformazioni. Nel secondo, questa equazione più semplice viene risolta. Nessun altro modo.
Quindi, se hai problemi nella seconda fase, la prima fase non ha molto senso.)
Come sono le equazioni trigonometriche elementari?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Qui UN sta per qualsiasi numero. Qualunque.
A proposito, all'interno di una funzione potrebbe non esserci una X pura, ma qualche tipo di espressione, come:
cos(3x+π /3) = 1/2
eccetera. Ciò complica la vita, ma non influisce sul metodo di risoluzione di un'equazione trigonometrica.
Come risolvere le equazioni trigonometriche?
Le equazioni trigonometriche possono essere risolte in due modi. Il primo modo: usare la logica e il cerchio trigonometrico. Considereremo questo percorso qui. Il secondo modo, utilizzando la memoria e le formule, verrà discusso nella prossima lezione.
Il primo modo è chiaro, affidabile e difficile da dimenticare.) È utile per risolvere equazioni trigonometriche, disuguaglianze e tutti i tipi di complicati esempi non standard. La logica è più forte della memoria!)
Risolvere equazioni utilizzando un cerchio trigonometrico.
Includiamo la logica elementare e la capacità di utilizzare il cerchio trigonometrico. Non sai come? Però... Farai fatica in trigonometria...) Ma non importa. Dai un'occhiata alle lezioni "Cerchio trigonometrico...... Che cos'è?" e "Misurare gli angoli su un cerchio trigonometrico". Tutto è semplice lì. A differenza dei libri di testo...)
Oh lo sai!? E hai persino imparato il "Lavoro pratico con il cerchio trigonometrico"!? Congratulazioni. Questo argomento ti sarà vicino e comprensibile.) Ciò che è particolarmente piacevole è che al cerchio trigonometrico non interessa quale equazione risolvi. Seno, coseno, tangente, cotangente: per lui è tutto uguale. Esiste un solo principio risolutivo.
Quindi prendiamo qualsiasi equazione trigonometrica elementare. Almeno questo:
cosx = 0,5
Dobbiamo trovare X. Parlare in linguaggio umano, è necessario trova l'angolo (x) il cui coseno è 0,5.
Come utilizzavamo in precedenza il cerchio? Abbiamo disegnato un angolo su di esso. In gradi o radianti. E subito sega funzioni trigonometriche di questo angolo. Ora facciamo il contrario. Disegniamo un coseno sul cerchio pari a 0,5 e immediatamente vedremo angolo. Non resta che scrivere la risposta.) Sì, sì!
Disegna un cerchio e segna il coseno pari a 0,5. Sull'asse del coseno, ovviamente. Come questo:
Ora disegniamo l'angolo che ci dà questo coseno. Passa il mouse sull'immagine (o tocca l'immagine sul tablet) e vedrai proprio questo angolo X.
Il coseno di quale angolo è 0,5?
x = π /3
cos 60°= cos( π/3) = 0,5
Alcuni ridaccheranno scettici, sì... Ad esempio, valeva la pena fare un cerchio quando tutto è già chiaro... Naturalmente puoi ridere...) Ma il fatto è che questa è una risposta errata. O meglio, insufficiente. Gli intenditori dei cerchi capiscono che qui ci sono un sacco di altri angoli che danno anch'essi un coseno di 0,5.
Se giri il lato mobile OA giro completo, il punto A tornerà nella sua posizione originale. Con lo stesso coseno pari a 0,5. Quelli. l'angolo cambierà di 360° o 2π radianti, e coseno - no. Anche il nuovo angolo 60° + 360° = 420° sarà una soluzione alla nostra equazione, perché
Si può fare un numero infinito di rivoluzioni così complete... E tutti questi nuovi angoli saranno soluzioni alla nostra equazione trigonometrica. E tutti devono essere scritti in qualche modo in risposta. Tutto. Altrimenti la decisione non conta, sì...)
La matematica può farlo in modo semplice ed elegante. Scrivi in una breve risposta insieme infinito decisioni. Ecco come appare la nostra equazione:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Lo decifrerò. Scrivi ancora significativamenteÈ più piacevole che disegnare stupidamente delle lettere misteriose, vero?)
π/3 - questo è lo stesso angolo in cui ci troviamo noi sega sul cerchio e determinato secondo la tabella del coseno.
2π è una rivoluzione completa in radianti.
N - questo è il numero di quelli completi, cioè Totale giri/min È chiaro che N può essere uguale a 0, ±1, ±2, ±3.... e così via. Come indicato dalla breve voce:
n∈ Z
N appartiene ( ∈ ) insieme di numeri interi ( Z ). A proposito, invece della lettera N si possono benissimo usare le lettere k, m, t eccetera.
Questa notazione significa che puoi prendere qualsiasi numero intero N . Almeno -3, almeno 0, almeno +55. Quello che vuoi. Se sostituisci questo numero nella risposta, otterrai un angolo specifico, che sarà sicuramente la soluzione alla nostra dura equazione.)
O, in altre parole, x = π /3 è l'unica radice di un insieme infinito. Per ottenere tutte le altre radici è sufficiente aggiungere un numero qualsiasi di rivoluzioni complete a π /3 ( N ) in radianti. Quelli. 2πn radiante.
Tutto? NO. Prolungo deliberatamente il piacere. Per ricordare meglio.) Abbiamo ricevuto solo una parte delle risposte alla nostra equazione. Scriverò questa prima parte della soluzione in questo modo:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x1 - non solo una radice, ma tutta una serie di radici, scritte in forma breve.
Ma ci sono anche angoli che danno un coseno pari a 0,5!
Torniamo alla nostra immagine da cui abbiamo scritto la risposta. Eccola qui:
Passa il mouse sull'immagine e vediamo un altro angolo quello dà anche un coseno di 0,5. A cosa pensi che sia uguale? I triangoli sono uguali... Sì! È uguale all'angolo X , ritardato solo in senso negativo. Questo è l'angolo -X. Ma abbiamo già calcolato x. π /3 o 60°. Pertanto possiamo tranquillamente scrivere:
x2 = -π /3
Bene, ovviamente, aggiungiamo tutti gli angoli che si ottengono attraverso rivoluzioni complete:
x2 = -π /3 + 2π n, n ∈ Z
Questo è tutto adesso.) Sul cerchio trigonometrico noi sega(chi capisce, ovviamente)) Tutto angoli che danno un coseno di 0,5. E abbiamo scritto questi angoli in una breve forma matematica. La risposta ha prodotto due serie infinite di radici:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x2 = -π /3 + 2π n, n ∈ Z
Questa è la risposta corretta.
Speranza, principio generale per la risoluzione delle equazioni trigonometriche usare un cerchio è chiaro. Contrassegniamo il coseno (seno, tangente, cotangente) dell'equazione data su un cerchio, disegniamo gli angoli corrispondenti e annotiamo la risposta. Naturalmente dobbiamo capire in quali angoli ci troviamo sega sul cerchio. A volte non è così ovvio. Bene, ho detto che qui è necessaria la logica.)
Ad esempio, diamo un'occhiata a un'altra equazione trigonometrica:
Tieni presente che il numero 0,5 non è l'unico numero possibile nelle equazioni!) È solo più conveniente per me scriverlo rispetto a radici e frazioni.
Lavoriamo secondo il principio generale. Disegniamo un cerchio, segniamo (sull'asse del seno, ovviamente!) 0.5. Disegniamo tutti gli angoli corrispondenti a questo seno contemporaneamente. Otteniamo questa immagine:
Affrontiamo prima l'angolo X nel primo trimestre. Ricordiamo la tabella dei seni e determiniamo il valore di questo angolo. È una cosa semplice:
x = π /6
Ricordiamo i turni completi e, con la coscienza pulita, annotiamo la prima serie di risposte:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Metà del lavoro è fatto. Ma ora bisogna stabilirlo seconda curva...È più complicato che usare i coseni, sì... Ma la logica ci salverà! Come determinare il secondo angolo attraverso x? Sì facile! I triangoli nella foto sono gli stessi e l'angolo rosso X uguale all'angolo X . Solo che viene contato dall'angolo π nella direzione negativa. Ecco perché è rosso.) E per la risposta abbiamo bisogno di un angolo, misurato correttamente, dal semiasse positivo OX, cioè da un angolo di 0 gradi.
Passiamo il cursore sul disegno e vediamo tutto. Ho eliminato il primo angolo per non complicare l'immagine. L’angolo che ci interessa (disegnato in verde) sarà pari a:
π-x
X lo sappiamo π /6 . Pertanto il secondo angolo sarà:
π - π /6 = 5π /6
Ancora una volta ricordiamo di aggiungere rivoluzioni complete e annotiamo la seconda serie di risposte:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
È tutto. Una risposta completa è composta da due serie di radici:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Le equazioni tangente e cotangente possono essere facilmente risolte utilizzando lo stesso principio generale per risolvere le equazioni trigonometriche. Se, ovviamente, sai come disegnare la tangente e la cotangente su un cerchio trigonometrico.
Negli esempi precedenti, ho utilizzato i valori della tabella seno e coseno: 0,5. Quelli. uno di quei significati che lo studente conosce dovere. Ora espandiamo le nostre capacità a tutti gli altri valori. Decidi, quindi decidi!)
Quindi, diciamo che dobbiamo risolvere questa equazione trigonometrica:
Nelle tabelle brevi non esiste un valore del coseno simile. Ignoriamo freddamente questo fatto terribile. Disegna un cerchio, segna 2/3 sull'asse del coseno e disegna gli angoli corrispondenti. Otteniamo questa immagine.
Diamo un'occhiata innanzitutto all'angolo nel primo quarto. Se solo sapessimo a cosa è uguale x, annoteremmo immediatamente la risposta! Non lo sappiamo... Fallimento!? Calma! La matematica non lascia nei guai i suoi cittadini! Ha inventato l'arcocoseno per questo caso. Non lo so? Invano. Scoprilo, è molto più facile di quanto pensi. Non c'è un solo incantesimo complicato sulle "funzioni trigonometriche inverse" su questo collegamento... Questo è superfluo in questo argomento.
Se lo sai, dì a te stesso: "X è un angolo il cui coseno è uguale a 2/3". E subito, per pura definizione di arcocoseno, possiamo scrivere:
Ricordiamo le rivoluzioni aggiuntive e annotiamo con calma la prima serie di radici della nostra equazione trigonometrica:
x 1 = arcocos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
La seconda serie di radici per il secondo angolo viene scritta quasi automaticamente. È tutto uguale, solo X (arccos 2/3) avrà un segno meno:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
E questo è tutto! Questa è la risposta corretta. Ancora più semplice che con i valori della tabella. Non c'è bisogno di ricordare nulla.) A proposito, i più attenti noteranno che questa immagine mostra la soluzione attraverso l'arcocoseno in sostanza, non è diverso dal quadro per l'equazione cosx = 0,5.
Esattamente! Il principio generale è proprio questo! Ho disegnato deliberatamente due immagini quasi identiche. Il cerchio ci mostra l'angolo X dal suo coseno. Che si tratti o meno di un coseno tabulare è sconosciuto a tutti. Che tipo di angolo è questo, π /3, o cos'è l'arcocoseno: spetta a noi deciderlo.
Stessa canzone con il seno. Per esempio:
Disegna di nuovo un cerchio, segna il seno uguale a 1/3, disegna gli angoli. Questa è l'immagine che otteniamo:
E ancora una volta il quadro è quasi lo stesso dell'equazione sinx = 0,5. Si riparte ancora dal calcio d'angolo nel primo quarto. A quanto vale X se il suo seno è 1/3? Nessun problema!
Ora il primo pacchetto di radici è pronto:
x 1 = arcoseno 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Affrontiamo il secondo angolo. Nell'esempio con un valore di tabella pari a 0,5 era pari a:
π-x
Anche qui sarà esattamente lo stesso! Solo x è diverso, arcoseno 1/3. E allora!? Puoi tranquillamente scrivere il secondo pacchetto di radici:
x 2 = π - arcoseno 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Questa è una risposta completamente corretta. Anche se non sembra molto familiare. Ma è chiaro, spero.)
Ecco come si risolvono le equazioni trigonometriche usando un cerchio. Questo percorso è chiaro e comprensibile. È lui che risparmia nelle equazioni trigonometriche con la selezione delle radici su un dato intervallo, nelle disuguaglianze trigonometriche: generalmente vengono risolte quasi sempre in un cerchio. In breve, in tutti i compiti un po' più difficili di quelli standard.
Applichiamo la conoscenza nella pratica?)
Risolvere equazioni trigonometriche:
Innanzitutto, più semplice, direttamente da questa lezione.
Ora è più complicato.
Suggerimento: qui dovrai pensare al cerchio. Personalmente.)
E ora sono apparentemente semplici... Sono anche chiamati casi speciali.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Suggerimento: qui devi capire in un cerchio dove ci sono due serie di risposte e dove ce n'è una... E come scrivere una invece di due serie di risposte. Sì, in modo che non vada perduta nemmeno una radice di un numero infinito!)
Beh, molto semplice):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Suggerimento: qui devi sapere cosa sono l'arcoseno e l'arcocoseno? Cos'è l'arcotangente, l'arcotangente? Le definizioni più semplici. Ma non è necessario ricordare alcun valore della tabella!)
Le risposte sono, ovviamente, un disastro):
x1= arcosen0,3 + 2π n, n ∈ Z
x2= π - arcosen0,3 + 2
Non tutto funziona? Accade. Leggi di nuovo la lezione. Soltanto pensieroso(esiste una parola così obsoleta...) E segui i collegamenti. I collegamenti principali riguardano il cerchio. Senza di essa, la trigonometria è come attraversare la strada con gli occhi bendati. A volte funziona.)
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Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Impariamo - con interesse!)
Puoi familiarizzare con funzioni e derivate.
Esempi:
\(2\peccato(x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2x+4\senx-1=0\)
\(\cos4x+3\cos2x=1\)
Come risolvere le equazioni trigonometriche:
Qualsiasi equazione trigonometrica dovrebbe essere ridotta a uno dei seguenti tipi:
\(\sint=a\), \(\cost=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)
dove \(t\) è un'espressione con una x, \(a\) è un numero. Tali equazioni trigonometriche sono chiamate il più semplice. Possono essere facilmente risolti utilizzando () o formule speciali:
Vedi le infografiche sulla risoluzione di semplici equazioni trigonometriche qui:, e.
Esempio . Risolvi l'equazione trigonometrica \(\sinx=-\)\(\frac(1)(2)\).Soluzione:
Risposta: \(\left[ \begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(gathered)\right.\) \(k,n∈Z\)
Cosa significa ciascun simbolo nella formula per le radici delle equazioni trigonometriche, vedi.
Attenzione! Le equazioni \(\sinx=a\) e \(\cosx=a\) non hanno soluzioni se \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Poiché seno e coseno per qualsiasi x sono maggiori o uguali a \(-1\) e minori o uguali a \(1\):
\(-1≤\sen x≤1\) \(-1≤\cosx≤1\)
Esempio
. Risolvi l'equazione \(\cosx=-1,1\).
Soluzione:
\(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Risposta
: nessuna soluzione.
Esempio . Risolvi l'equazione trigonometrica tg\(x=1\).
Soluzione:
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Risolviamo l'equazione utilizzando il cerchio numerico. Per questo: |
Esempio
. Risolvi l'equazione trigonometrica \(\cos(3x+\frac(π)(4))=0\).
Soluzione:
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Usiamo di nuovo il cerchio numerico. \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Come al solito, esprimeremo \(x\) in equazioni. \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) |
Ridurre le equazioni trigonometriche al più semplice è un compito creativo; qui è necessario utilizzare entrambi e metodi speciali per risolvere le equazioni:
- Metodo (il più diffuso nell'Esame di Stato Unificato).
- Metodo.
- Metodo degli argomenti ausiliari.
Consideriamo un esempio di risoluzione dell'equazione trigonometrica quadratica
Esempio . Risolvi l'equazione trigonometrica \(2\cos^2x-5\cosx+2=0\)Soluzione:
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\(2\cos^2x-5\cosx+2=0\) |
Facciamo la sostituzione \(t=\cosx\). |
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La nostra equazione è diventata tipica. Puoi risolverlo usando . |
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\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\) |
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\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\) |
Effettuiamo una sostituzione inversa. |
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\(\cosx=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cosx=2\) |
Risolviamo la prima equazione utilizzando il cerchio numerico. |
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Annotiamo tutti i numeri che si trovano in questi punti. |
Un esempio di risoluzione di un'equazione trigonometrica con lo studio di ODZ:
Esempio (USO) . Risolvi l'equazione trigonometrica \(=0\)|
\(\frac(2\cos^2x-\sin(2x))(ctg x)\)\(=0\) |
C'è una frazione e c'è una cotangente: significa che dobbiamo scriverlo. Lascia che ti ricordi che una cotangente è in realtà una frazione: ctg\(x=\)\(\frac(\cosx)(\sinx)\) Pertanto, l'ODZ per ctg\(x\): \(\sinx≠0\). |
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ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\peccatox≠0\)
\(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\) |
Segniamo le “non soluzioni” sul cerchio numerico. |
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\(\frac(2\cos^2x-\sin(2x))(ctg x)\)\(=0\) |
Eliminiamo il denominatore nell'equazione moltiplicandolo per ctg\(x\). Possiamo farlo, poiché abbiamo scritto sopra ctg\(x ≠0\). |
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\(2\cos^2x-\sin(2x)=0\) |
Applichiamo la formula del doppio angolo per il seno: \(\sin(2x)=2\sinx\cosx\). |
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\(2\cos^2x-2\sinx\cosx=0\) |
Se le tue mani si allungano per dividere per il coseno, tirale indietro! Puoi dividere per un'espressione con una variabile se sicuramente non è uguale a zero (ad esempio, questi: \(x^2+1,5^x\)). Invece, togliamo \(\cosx\) tra parentesi. |
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\(\cosx (2\cosx-2\sinx)=0\) |
"Dividiamo" l'equazione in due. |
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\(\cosx=0\); \(2\cosx-2\senx=0\) |
Risolviamo la prima equazione utilizzando il cerchio numerico. Dividiamo la seconda equazione per \(2\) e spostiamo \(\sinx\) a destra. |
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\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cosx=\sinx\) |
Le radici risultanti non sono incluse nell'ODZ. Pertanto, non li scriveremo in risposta. |
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Usiamo di nuovo un cerchio. |
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Queste radici non sono escluse da ODZ, quindi puoi scriverle nella risposta. |
