Numero di soluzioni di un sistema di due equazioni lineari in due variabili. Risolvere sistemi di equazioni lineari. sistemi incompatibili. Sistemi con una soluzione generale. Soluzioni parziali Risolvere il sistema di equazioni in funzione del parametro

Supponiamo di voler trovare tutte le coppie di valori delle variabili xey che soddisfano l'equazione
xy - 6 = 0 e l'equazione y - x - 1 = 0, ovvero è necessario trovare l'intersezione degli insiemi di soluzioni di queste equazioni. In questi casi, dicono che è necessario risolvere il sistema di equazioni xy - 6 \u003d 0 e y - x - 1 \u003d 0.

È consuetudine scrivere un sistema di equazioni usando parentesi graffe. Ad esempio, il sistema di equazioni in esame può essere scritto come segue:

(xy - 6 = 0,
(y - x - 1 = 0.

Una coppia di valori di variabili che trasforma ogni equazione del sistema in una vera uguaglianza è chiamata soluzione di un sistema di equazioni con due variabili.

Risolvere un sistema di equazioni significa trovare l'insieme delle sue soluzioni.

Consideriamo sistemi di due equazioni lineari con due variabili, in cui almeno uno dei coefficienti in ciascuna equazione è diverso da zero.

La soluzione grafica di sistemi di questo tipo si riduce a trovare le coordinate dei punti comuni di due rette.

Come sai, due rette in un piano possono essere intersecanti o parallele. Nel caso del parallelismo, le rette o non hanno punti in comune o coincidono.

Consideriamo ciascuno di questi casi.

Esempio 1

Risolviamo il sistema di equazioni:

(2x + y = -11,
(x - 2y = 8.

Soluzione.

(y \u003d -3x - 11,
(y \u003d 0,5x - 4.

I coefficienti di pendenza delle linee - grafici delle equazioni del sistema sono diversi (-3 e 0,5), il che significa che le linee si intersecano.

Le coordinate del punto della loro intersezione sono la soluzione di questo sistema, l'unica soluzione.

Esempio 2

Risolviamo il sistema di equazioni:

(3x - 2 anni = 12,
(6 volte - 4 anni = 11.

Soluzione.

Esprimendo da ciascuna equazione y in termini di x, otteniamo il sistema:

(y \u003d 1,5x - 6,
(y \u003d 1,5x - 2,75.

Le linee y \u003d 1,5x - 6 e y \u003d 1,5x - 2,75 hanno pendenze uguali, il che significa che queste linee sono parallele e la linea y \u003d 1,5x - 6 interseca l'asse y nel punto (0; - 6) e la linea y \u003d 1,5x - 2,75 - nel punto (0; -2,75), pertanto le linee non hanno punti comuni. Pertanto, il sistema di equazioni non ha soluzioni.

Il fatto che questo sistema non abbia soluzioni può essere verificato argomentando quanto segue. Moltiplicando tutti i termini della prima equazione per 2, otteniamo l'equazione 6x - 4y = 24.

Confrontando questa equazione con la seconda equazione del sistema, vediamo che le parti di sinistra delle equazioni sono le stesse, quindi, per gli stessi valori di xey, non possono assumere valori diversi (24 e 11). Pertanto, il sistema

(6x - 4y \u003d 24,
(6 volte - 4 anni = 11.

non ha soluzioni, il che significa che il sistema non ha soluzioni

(3x - 2 anni = 12,
(6 volte - 4 anni = 11.

Esempio 3

Risolviamo il sistema di equazioni:

(5x - 7 anni = 16,
(20x - 28y = 64.

Soluzione.

Dividendo ogni termine della seconda equazione per 4, otteniamo il sistema:

(5x - 7 anni = 16,
(5x - 7 anni = 16,

costituito da due equazioni identiche. I grafici di queste equazioni coincidono, quindi le coordinate di qualsiasi punto del grafico soddisferanno ciascuna delle equazioni del sistema, ovvero saranno la soluzione del sistema. Ciò significa che questo sistema ha un numero infinito di soluzioni.

Se in ciascuna equazione di un sistema di due equazioni lineari con due variabili almeno uno dei coefficienti della variabile non è uguale a zero, allora il sistema o ha una soluzione unica o ha infinite soluzioni.

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A compiti con parametro comprendono, ad esempio, la ricerca di una soluzione alle equazioni lineari e quadratiche in forma generale, lo studio dell'equazione per il numero di radici disponibili, in funzione del valore del parametro.

Senza fornire definizioni dettagliate, considera le seguenti equazioni come esempi:

y = kx, dove x, y sono variabili, k è un parametro;

y = kx + b, dove x, y sono variabili, k e b sono parametri;

ax 2 + bx + c = 0, dove x sono variabili, a, b e c sono parametri.

Risolvere un'equazione (disuguaglianza, sistema) con un parametro significa, di regola, risolvere un insieme infinito di equazioni (disequazioni, sistemi).

Le attività con un parametro possono essere suddivise condizionatamente in due tipi:

un) la condizione dice: risolvi l'equazione (disuguaglianza, sistema) - questo significa, per tutti i valori del parametro, trova tutte le soluzioni. Se almeno un caso rimane inesplorato, una soluzione del genere non può essere considerata soddisfacente.

B)è necessario indicare i possibili valori del parametro per il quale l'equazione (disuguaglianza, sistema) ha determinate proprietà. Ad esempio, ha una soluzione, non ha soluzioni, ha soluzioni che appartengono all'intervallo, ecc. In tali attività, è necessario indicare chiaramente a quale valore del parametro è soddisfatta la condizione richiesta.

Il parametro, essendo un numero fisso sconosciuto, ha, per così dire, una dualità speciale. Innanzitutto bisogna tener conto che la presunta fama fa pensare che il parametro debba essere percepito come un numero. In secondo luogo, la libertà di gestire un parametro è limitata dalla sua incognita. Quindi, ad esempio, le operazioni di divisione per un'espressione in cui è presente un parametro o di estrarre una radice di grado pari da un'espressione simile richiedono una ricerca preliminare. Pertanto, è necessario prestare attenzione nella gestione del parametro.

Ad esempio, per confrontare due numeri -6a e 3a, devono essere considerati tre casi:

1) -6a sarà maggiore di 3a se a è un numero negativo;

2) -6a = 3a nel caso in cui a = 0;

3) -6a sarà minore di 3a se a è un numero positivo 0.

La decisione sarà la risposta.

Sia data l'equazione kx = b. Questa equazione è un'abbreviazione per un insieme infinito di equazioni in una variabile.

Quando si risolvono tali equazioni, potrebbero esserci casi:

1. Sia k un qualsiasi numero reale diverso da zero e b un qualsiasi numero da R, allora x = b/k.

2. Sia k = 0 e b ≠ 0, l'equazione originale assumerà la forma 0 · x = b. Ovviamente, questa equazione non ha soluzioni.

3. Siano k e b numeri uguali a zero, allora abbiamo l'uguaglianza 0 · x = 0. La sua soluzione è un qualsiasi numero reale.

L'algoritmo per risolvere questo tipo di equazioni:

1. Determinare i valori di "controllo" del parametro.

2. Risolvi l'equazione originale per x con i valori del parametro che sono stati determinati nel primo paragrafo.

3. Risolvi l'equazione originale per x con valori di parametro diversi da quelli selezionati nel primo paragrafo.

4. Puoi scrivere la risposta nel seguente modulo:

1) quando ... (valore del parametro), l'equazione ha radici ...;

2) quando ... (valore del parametro), non ci sono radici nell'equazione.

Esempio 1

Risolvi l'equazione con il parametro |6 – x| = a.

Soluzione.

È facile vedere che qui a ≥ 0.

Per la regola del modulo 6 – x = ±a, esprimiamo x:

Risposta: x = 6 ± a, dove a ≥ 0.

Esempio 2

Risolvi l'equazione a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 rispetto alla variabile x.

Soluzione.

Apriamo le parentesi: ax - a + 2x - 2 \u003d 0

Scriviamo l'equazione in forma standard: x(a + 2) = a + 2.

Se l'espressione a + 2 non è zero, cioè se a ≠ -2, abbiamo la soluzione x = (a + 2) / (a ​​​​+ 2), cioè x = 1.

Se a + 2 è uguale a zero, cioè a \u003d -2, quindi abbiamo l'uguaglianza corretta 0 x \u003d 0, quindi x è un numero reale.

Risposta: x \u003d 1 per un ≠ -2 e x € R per un \u003d -2.

Esempio 3

Risolvi l'equazione x/a + 1 = a + x rispetto alla variabile x.

Soluzione.

Se a \u003d 0, trasformiamo l'equazione nella forma a + x \u003d a 2 + ax o (a - 1) x \u003d -a (a - 1). L'ultima equazione per a = 1 ha la forma 0 · x = 0, quindi x è un numero qualsiasi.

Se a ≠ 1, l'ultima equazione assumerà la forma x = -a.

Questa soluzione può essere illustrata sulla linea delle coordinate (Fig. 1)

Risposta: non ci sono soluzioni per a = 0; x - qualsiasi numero in a = 1; x \u003d -a con a ≠ 0 e a ≠ 1.

Metodo grafico

Considera un altro modo per risolvere le equazioni con un parametro: grafico. Questo metodo è usato abbastanza spesso.

Esempio 4

Quante radici, a seconda del parametro a, fa l'equazione ||x| – 2| = a?

Soluzione.

Per risolvere con un metodo grafico, costruiamo grafici di funzioni y = ||x| – 2| e y = a (Fig. 2).

Il disegno mostra chiaramente i possibili casi della posizione della linea y = a e il numero di radici in ciascuno di essi.

Risposta: l'equazione non avrà radici se a< 0; два корня будет в случае, если a >2 e a = 0; l'equazione avrà tre radici nel caso a = 2; quattro radici - a 0< a < 2.

Esempio 5

Per cui a l'equazione 2|x| + |x – 1| = a ha una sola radice?

Soluzione.

Tracciamo grafici di funzioni y = 2|x| + |x – 1| e y = a. Per y = 2|x| + |x - 1|, espandendo i moduli con il metodo gap, otteniamo:

(-3x + 1, a x< 0,

y = (x + 1, per 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, per x > 1.

Sul figura 3 si vede chiaramente che l'equazione avrà una radice univoca solo quando a = 1.

Risposta: a = 1.

Esempio 6

Determina il numero di soluzioni dell'equazione |x + 1| + |x + 2| = a a seconda del parametro a?

Soluzione.

Grafico della funzione y = |x + 1| + |x + 2| sarà una linea spezzata. I suoi vertici si troveranno nei punti (-2; 1) e (-1; 1) (immagine 4).

Risposta: se il parametro a è minore di uno, l'equazione non avrà radici; se a = 1, allora la soluzione dell'equazione è un insieme infinito di numeri dall'intervallo [-2; -uno]; se i valori del parametro a sono maggiori di uno, l'equazione avrà due radici.

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Tuttavia, nella pratica sono diffusi altri due casi:

– Il sistema è incoerente (non ha soluzioni);
Il sistema è coerente e ha infinite soluzioni.

Nota : il termine "coerenza" implica che il sistema abbia almeno qualche soluzione. In una serie di attività, è necessario esaminare preliminarmente la compatibilità del sistema, come farlo - vedere l'articolo su rango di matrice.

Per questi sistemi viene utilizzato il più universale di tutti i metodi di soluzione: Metodo Gauss. In effetti, il metodo "scuola" porterà anche alla risposta, ma nella matematica superiore è consuetudine utilizzare il metodo gaussiano di eliminazione successiva delle incognite. Coloro che non hanno familiarità con l'algoritmo del metodo Gauss, si prega di studiare prima la lezione metodo gauss per manichini.

Le stesse trasformazioni della matrice elementare sono esattamente le stesse, la differenza sarà alla fine della soluzione. Per prima cosa, considera un paio di esempi in cui il sistema non ha soluzioni (incoerenti).

Esempio 1

Cosa attira immediatamente la tua attenzione in questo sistema? Il numero di equazioni è inferiore al numero di variabili. Se il numero di equazioni è inferiore al numero di variabili, allora possiamo dire subito che il sistema o è incoerente o ha infinite soluzioni. E non resta che scoprirlo.

L'inizio della soluzione è abbastanza ordinario: scriviamo la matrice estesa del sistema e, usando trasformazioni elementari, la portiamo a una forma graduale:

(1) Sul passaggio in alto a sinistra, dobbiamo ottenere +1 o -1. Non ci sono tali numeri nella prima colonna, quindi riorganizzare le righe non funzionerà. L'unità dovrà essere organizzata in modo indipendente e ciò può essere fatto in diversi modi. Ho fatto questo: alla prima riga, aggiungi la terza riga, moltiplicata per -1.

(2) Ora otteniamo due zeri nella prima colonna. Alla seconda riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per 3. Alla terza riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per 5.

(3) Al termine della trasformazione, è sempre consigliabile vedere se è possibile semplificare le stringhe risultanti? Può. Dividiamo la seconda riga per 2, ottenendo allo stesso tempo il -1 desiderato sul secondo passaggio. Dividi la terza riga per -3.

(4) Aggiungi la seconda riga alla terza riga.

Probabilmente, tutti hanno prestato attenzione alla linea negativa, che si è rivelata a seguito di trasformazioni elementari: . È chiaro che non può essere così. Infatti, riscriviamo la matrice risultante tornando al sistema di equazioni lineari:

Se, a seguito di trasformazioni elementari, si ottiene una stringa della forma, dove è un numero diverso da zero, allora il sistema è incoerente (non ha soluzioni) .

Come registrare la fine di un'attività? Disegniamo con il gesso bianco: "come risultato di trasformazioni elementari, si ottiene una linea della forma, dove" e diamo la risposta: il sistema non ha soluzioni (incoerenti).

Se, a seconda della condizione, è necessario ESPLORARE il sistema per la compatibilità, allora è necessario emettere una soluzione in uno stile più solido che coinvolga il concetto rango di matrice e teorema di Kronecker-Capelli.

Si noti che qui non c'è movimento inverso dell'algoritmo gaussiano: non ci sono soluzioni e semplicemente non c'è nulla da trovare.

Esempio 2

Risolvi un sistema di equazioni lineari

Questo è un esempio fai da te. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione. Ancora una volta, ti ricordo che il tuo percorso di soluzione potrebbe differire dal mio percorso di soluzione, l'algoritmo gaussiano non ha una forte "rigidità".

Un'altra caratteristica tecnica della soluzione: le trasformazioni elementari possono essere fermate Subito, non appena una riga come , dove . Consideriamo un esempio condizionale: supponiamo che dopo la prima trasformazione otteniamo una matrice . La matrice non è stata ancora ridotta a una forma a gradini, ma non sono necessarie ulteriori trasformazioni elementari, poiché è apparsa una linea della forma, dove . Dovrebbe essere immediatamente risposto che il sistema è incompatibile.

Quando un sistema di equazioni lineari non ha soluzioni, questo è quasi un regalo, perché si ottiene una soluzione breve, a volte letteralmente in 2-3 passaggi.

Ma tutto in questo mondo è equilibrato, e il problema in cui il sistema ha infinite soluzioni è solo più lungo.

Esempio 3

Risolvi un sistema di equazioni lineari

Ci sono 4 equazioni e 4 incognite, quindi il sistema può avere un'unica soluzione, o non avere soluzioni, o avere infinite soluzioni. Qualunque cosa fosse, ma il metodo Gauss in ogni caso ci porterà alla risposta. Qui sta la sua versatilità.

L'inizio è di nuovo standard. Scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, la portiamo a una forma a gradini:

Questo è tutto, e tu avevi paura.

(1) Notare che tutti i numeri nella prima colonna sono divisibili per 2, quindi un 2 va bene sul gradino in alto a sinistra. Alla seconda riga aggiungiamo la prima riga, moltiplicata per -4. Alla terza riga aggiungiamo la prima riga, moltiplicata per -2. Alla quarta riga aggiungiamo la prima riga, moltiplicata per -1.

Attenzione! Molti possono essere tentati dalla quarta riga sottrarre prima linea. Questo può essere fatto, ma non è necessario, l'esperienza mostra che la probabilità di un errore nei calcoli aumenta più volte. Somma solo: alla quarta riga, aggiungi la prima riga, moltiplicata per -1 - Esattamente!

(2) Le ultime tre righe sono proporzionali, due di esse possono essere cancellate.

Anche qui è necessario mostrare maggiore attenzione, ma le linee sono davvero proporzionali? Per la riassicurazione (soprattutto per una teiera), non sarà superfluo moltiplicare la seconda riga per -1 e dividere la quarta riga per 2, ottenendo tre righe identiche. E solo dopo rimuoverne due.

Come risultato di trasformazioni elementari, la matrice estesa del sistema si riduce a una forma a gradini:

Quando si completa un'attività su un quaderno, è consigliabile prendere gli stessi appunti a matita per chiarezza.

Riscriviamo il corrispondente sistema di equazioni:

La "solita" unica soluzione del sistema non puzza qui. Non c'è neanche una brutta linea. Ciò significa che questo è il terzo caso rimanente: il sistema ha infinite soluzioni. A volte, a condizione, è necessario indagare sulla compatibilità del sistema (cioè per dimostrare che esiste una soluzione), puoi leggere questo nell'ultimo paragrafo dell'articolo Come trovare il rango di una matrice? Ma per ora, analizziamo le basi:

L'insieme infinito di soluzioni del sistema è brevemente scritto nella forma del cosiddetto soluzione di sistema generale .

Troveremo la soluzione generale del sistema utilizzando il moto inverso del metodo di Gauss.

Per prima cosa dobbiamo determinare quali variabili abbiamo di base, e quali variabili libero. Non è necessario preoccuparsi dei termini dell'algebra lineare, è sufficiente ricordare che ce ne sono variabili di base e variabili libere.

Le variabili di base "siedono" sempre rigorosamente sui passaggi della matrice.
In questo esempio, le variabili di base sono e

Le variabili libere sono tutto il resto variabili che non hanno ottenuto un passaggio. Nel nostro caso, ce ne sono due: – variabili libere.

Ora hai bisogno tutto variabili di base esprimere solo attraverso variabili libere.

La mossa inversa dell'algoritmo gaussiano funziona tradizionalmente dal basso verso l'alto.
Dalla seconda equazione del sistema esprimiamo la variabile di base:

Ora guarda la prima equazione: . Innanzitutto, sostituiamo l'espressione trovata in essa:

Resta da esprimere la variabile di base in termini di variabili libere:

Il risultato è ciò di cui hai bisogno - tutto le variabili di base ( e ) sono espresse solo attraverso variabili libere:

In realtà, la soluzione generale è pronta:

Come scrivere la soluzione generale?
Le variabili libere vengono scritte nella soluzione generale "da sole" e rigorosamente al loro posto. In questo caso, le variabili libere dovrebbero essere scritte nella seconda e nella quarta posizione:
.

Le espressioni risultanti per le variabili di base e ovviamente va scritto nella prima e nella terza posizione:

Dare variabili libere valori arbitrari, ce ne sono infiniti decisioni private. I valori più diffusi sono gli zeri, poiché la soluzione particolare è la più facile da ottenere. Sostituisci nella soluzione generale:

è una decisione privata

Quelli sono un'altra dolce coppia, sostituiamo la soluzione generale:

è un'altra soluzione particolare.

È facile vedere che il sistema di equazioni ha infinite soluzioni(poiché possiamo fornire variabili libere qualunque i valori)

Ogni una soluzione particolare deve soddisfare a ogni equazione di sistema. Questa è la base per un controllo “rapido” della correttezza della soluzione. Prendi, ad esempio, una soluzione particolare e sostituiscila nel lato sinistro di ciascuna equazione nel sistema originale:

Tutto deve riunirsi. E con qualsiasi soluzione particolare che ottieni, anche tutto dovrebbe convergere.

Ma, a rigor di termini, la verifica di una soluzione particolare a volte inganna; qualche soluzione particolare può soddisfare ogni equazione del sistema e la soluzione generale stessa è effettivamente trovata in modo errato.

Pertanto, la verifica della soluzione generale è più approfondita e affidabile. Come verificare la soluzione generale risultante ?

È facile, ma piuttosto noioso. Dobbiamo prendere espressioni di base variabili, in questo caso e , e sostituirli nel lato sinistro di ciascuna equazione del sistema.

A sinistra della prima equazione del sistema:

A sinistra della seconda equazione del sistema:


Si ottiene il lato destro dell'equazione originale.

Esempio 4

Risolvi il sistema usando il metodo di Gauss. Trova una soluzione generale e due private. Controlla la soluzione generale.

Questo è un esempio fai da te. Qui, a proposito, ancora una volta il numero di equazioni è inferiore al numero di incognite, il che significa che è immediatamente chiaro che il sistema sarà incoerente o avrà un numero infinito di soluzioni. Cosa è importante nel processo decisionale stesso? Attenzione, e ancora attenzione. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

E un altro paio di esempi per rinforzare il materiale

Esempio 5

Risolvi un sistema di equazioni lineari. Se il sistema ha infinite soluzioni, trova due soluzioni particolari e verifica la soluzione generale

Soluzione: Scriviamo la matrice aumentata del sistema e con l'aiuto di trasformazioni elementari la portiamo alla forma del passo:

(1) Aggiungi la prima riga alla seconda riga. Alla terza riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per 2. Alla quarta riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per 3.
(2) Alla terza riga, aggiungi la seconda, moltiplicata per -5. Alla quarta riga aggiungiamo la seconda riga, moltiplicata per -7.
(3) La terza e la quarta riga sono le stesse, ne cancelliamo una.

Ecco una tale bellezza:

Le variabili di base si trovano su gradini, quindi sono variabili di base.
C'è solo una variabile libera, che non ha ottenuto un passaggio:

Mossa inversa:
Esprimiamo le variabili di base in termini di variabile libera:
Dalla terza equazione:

Considera la seconda equazione e sostituisci l'espressione trovata in essa:

Considera la prima equazione e sostituisci le espressioni trovate e in essa:

Sì, una calcolatrice che conta frazioni ordinarie è ancora conveniente.

Quindi la soluzione generale è:

Ancora una volta, come è successo? La variabile libera siede da sola al suo legittimo quarto posto. Anche le espressioni risultanti per le variabili di base , hanno preso le loro posizioni ordinali.

Verifichiamo subito la soluzione generale. Lavoro per i neri, ma l'ho già fatto, quindi prendi =)

Sostituiamo tre eroi , , nel lato sinistro di ciascuna equazione del sistema:

Si ottengono i corrispondenti membri di destra delle equazioni, quindi la soluzione generale viene trovata correttamente.

Ora dalla soluzione generale trovata otteniamo due soluzioni particolari. Lo chef qui è l'unica variabile libera. Non hai bisogno di spaccarti la testa.

Lascia allora è una decisione privata
Lascia allora è un'altra soluzione particolare.

Risposta: Decisione comune: , soluzioni particolari: , .

Non avrei dovuto ricordarmi dei neri qui ... ...perché mi sono venuti in mente ogni sorta di motivi sadici e ho ricordato la famosa fotozhaba, in cui i membri del Ku Klux Klansmen in tuta bianca corrono attraverso il campo dopo un pallone da calcio nero giocatore. Mi siedo e sorrido tranquillamente. Sai quanto distrae….

Molta matematica è dannosa, quindi un esempio finale simile per una soluzione indipendente.

Esempio 6

Trova la soluzione generale del sistema di equazioni lineari.

Ho già verificato la soluzione generale, la risposta può essere attendibile. La tua soluzione potrebbe differire dalla mia soluzione, l'importante è che le soluzioni generali corrispondano.

Probabilmente, molti hanno notato un momento spiacevole nelle soluzioni: molto spesso, durante il corso inverso del metodo di Gauss, abbiamo dovuto giocherellare con le frazioni ordinarie. In pratica questo è vero, i casi in cui non ci sono frazioni sono molto meno comuni. Sii preparato mentalmente e, soprattutto, tecnicamente.

Mi soffermerò su alcune caratteristiche della soluzione che non sono state trovate negli esempi risolti.

La soluzione generale del sistema può talvolta includere una costante (o costanti), ad esempio: . Qui una delle variabili di base è uguale a un numero costante: . Non c'è niente di esotico in questo, succede. Ovviamente, in questo caso, qualsiasi soluzione particolare conterrà un cinque in prima posizione.

Raramente, ma ci sono sistemi in cui il numero di equazioni è maggiore del numero di variabili. Il metodo gaussiano funziona nelle condizioni più gravi; si dovrebbe portare con calma la matrice estesa del sistema a una forma a gradini secondo l'algoritmo standard. Un tale sistema può essere incoerente, può avere infinite soluzioni e, stranamente, può avere una soluzione unica.

Studiare la compatibilità di un sistema di equazioni agebriche lineari (SLAE) significa scoprire se questo sistema ha soluzioni o meno. Bene, se ci sono soluzioni, indica quante di esse.

Avremo bisogno di informazioni dall'argomento "Sistema di equazioni algebriche lineari. Termini di base. Notazione di matrici". In particolare, sono necessari concetti come la matrice del sistema e la matrice estesa del sistema, poiché su di essi si basa la formulazione del teorema di Kronecker-Capelli. Come di consueto, la matrice del sistema sarà indicata dalla lettera $A$ e la matrice estesa del sistema dalla lettera $\widetilde(A)$.

Teorema di Kronecker-Capelli

Un sistema di equazioni algebriche lineari è consistente se e solo se il rango della matrice del sistema è uguale al rango della matrice estesa del sistema, cioè $\grado A=\rang\widetilde(A)$.

Vi ricordo che un sistema si dice giunto se ha almeno una soluzione. Il teorema di Kronecker-Capelli dice questo: se $\rang A=\rang\widetilde(A)$, allora c'è una soluzione; se $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, allora questo SLAE non ha soluzioni (non è coerente). La risposta alla domanda sul numero di queste soluzioni è data da un corollario del teorema di Kronecker-Capelli. L'istruzione del corollario utilizza la lettera $n$, che è uguale al numero di variabili nello SLAE dato.

Corollario del teorema di Kronecker-Capelli

1. Se $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, lo SLAE è incoerente (non ha soluzioni).
2. Se $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Se $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, allora lo SLAE è definito (ha esattamente una soluzione).

Si noti che il teorema formulato e il suo corollario non indicano come trovare la soluzione allo SLAE. Con il loro aiuto, puoi solo scoprire se queste soluzioni esistono o meno e, se esistono, quante.

Esempio 1

Esplora SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned )\right.$ per coerenza Se lo SLAE è coerente, indicare il numero di soluzioni.

Per scoprire l'esistenza di soluzioni per un dato SLAE, utilizziamo il teorema di Kronecker-Capelli. Abbiamo bisogno della matrice del sistema $A$ e della matrice estesa del sistema $\widetilde(A)$, le scriviamo:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(array)\right). $$

Dobbiamo trovare $\rang A$ e $\rang\widetilde(A)$. Ci sono molti modi per farlo, alcuni dei quali sono elencati nella sezione Classifica Matrice. Di solito, per studiare tali sistemi vengono utilizzati due metodi: "Calcolo del rango di una matrice per definizione" o "Calcolo del rango di una matrice con il metodo delle trasformazioni elementari".

Metodo numero 1. Calcolo dei ranghi per definizione.

Secondo la definizione, il rango è l'ordine più alto dei minori della matrice, tra i quali ce n'è almeno uno diverso da zero. Solitamente lo studio inizia con i minori di primo ordine, ma qui è più conveniente procedere subito al calcolo del minore di terzo ordine della matrice $A$. Gli elementi del terzo ordine minore sono all'intersezione di tre righe e tre colonne della matrice in esame. Poiché la matrice $A$ contiene solo 3 righe e 3 colonne, il terzo ordine minore della matrice $A$ è il determinante della matrice $A$, cioè $\DeltaA$. Per calcolare il determinante, applichiamo la formula n. 2 dall'argomento "Formule per il calcolo dei determinanti del secondo e del terzo ordine":

$$ \Delta A=\sinistra| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. $$

Quindi, esiste un terzo ordine minore della matrice $A$, che non è uguale a zero. Un minore di 4° ordine non può essere composto, poiché richiede 4 righe e 4 colonne e la matrice $A$ ha solo 3 righe e 3 colonne. Quindi, l'ordine più alto dei minori della matrice $A$, tra i quali ce n'è almeno uno diverso da zero, è uguale a 3. Pertanto, $\rang A=3$.

Dobbiamo anche trovare $\rang\widetilde(A)$. Diamo un'occhiata alla struttura della matrice $\widetilde(A)$. Fino alla riga nella matrice $\widetilde(A)$ ci sono elementi della matrice $A$, e abbiamo scoperto che $\Delta A\neq 0$. Pertanto, la matrice $\widetilde(A)$ ha un minore di terzo ordine che non è uguale a zero. Non possiamo comporre minori di quarto ordine della matrice $\widetilde(A)$, quindi concludiamo: $\rang\widetilde(A)=3$.

Poiché $\rang A=\rang\widetilde(A)$, secondo il teorema di Kronecker-Capelli, il sistema è consistente, cioè ha una soluzione (almeno una). Per indicare il numero di soluzioni, teniamo conto che il nostro SLAE contiene 3 incognite: $x_1$, $x_2$ e $x_3$. Poiché il numero di incognite è $n=3$, concludiamo: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, quindi, secondo il corollario del teorema di Kronecker-Capelli, il sistema è definito, cioè ha una soluzione unica.

Problema risolto. Quali sono gli svantaggi e i vantaggi di questo metodo? Per prima cosa, parliamo dei professionisti. In primo luogo, dovevamo trovare un solo determinante. Successivamente, abbiamo immediatamente tratto una conclusione sul numero di soluzioni. Di solito, nei calcoli tipici standard, vengono forniti sistemi di equazioni che contengono tre incognite e hanno un'unica soluzione. Per tali sistemi, questo metodo è molto conveniente, perché sappiamo in anticipo che esiste una soluzione (altrimenti non ci sarebbero esempi in un calcolo tipico). Quelli. dobbiamo solo mostrare l'esistenza di una soluzione nel modo più veloce. In secondo luogo, il valore calcolato del determinante della matrice del sistema (cioè $\Delta A$) tornerà utile in seguito: quando inizieremo a risolvere il sistema dato usando il metodo Cramer o usando la matrice inversa.

Tuttavia, per definizione, il metodo di calcolo del rango è indesiderabile se la matrice di sistema $A$ è rettangolare. In questo caso, è meglio applicare il secondo metodo, che verrà discusso di seguito. Inoltre, se $\Delta A=0$, allora non potremo dire nulla sul numero di soluzioni per un dato SLAE disomogeneo. Forse SLAE ha un numero infinito di soluzioni, o forse nessuna. Se $\Delta A=0$, allora è necessaria una ricerca aggiuntiva, che è spesso ingombrante.

Riassumendo quanto detto, noto che il primo metodo va bene per quegli SLAE la cui matrice di sistema è quadrata. Allo stesso tempo, lo SLAE stesso contiene tre o quattro incognite ed è tratto da calcoli standard standard o lavori di controllo.

Metodo numero 2. Calcolo del rango con il metodo delle trasformazioni elementari.

Questo metodo è descritto in dettaglio nell'argomento corrispondente. Calcoleremo il rango della matrice $\widetilde(A)$. Perché le matrici $\widetilde(A)$ e non $A$? Il punto è che la matrice $A$ è una parte della matrice $\widetilde(A)$, quindi calcolando il rango della matrice $\widetilde(A)$ troveremo contemporaneamente il rango della matrice $A$ .

\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(scambia prima e seconda riga)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ r_2-3r_1\\ r_3+4r_1 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array) (ccc| c) -1 e 2 e -4 e 9 \\ 0 e 3 e5 e -10\\ 0 e 6 e 3 e -6 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0 ) \\ \phantom(0)\\ r_3-2r_2 \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(array) \right) \end(allineato)

Abbiamo ridotto la matrice $\widetilde(A)$ a una forma a gradini. La matrice del passaggio risultante ha tre righe diverse da zero, quindi il suo rango è 3. Pertanto, anche il rango della matrice $\widetilde(A)$ è 3, cioè $\rank\widetilde(A)=3$. Facendo delle trasformazioni con gli elementi della matrice $\widetilde(A)$, abbiamo trasformato simultaneamente gli elementi della matrice $A$ posti prima della retta. Anche la matrice $A$ è a gradini: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \ giusto )$. Conclusione: anche il rango della matrice $A$ è uguale a 3, cioè $\grado A=3$.

Poiché $\rang A=\rang\widetilde(A)$, secondo il teorema di Kronecker-Capelli, il sistema è consistente, cioè ha una soluzione. Per indicare il numero di soluzioni, teniamo conto che il nostro SLAE contiene 3 incognite: $x_1$, $x_2$ e $x_3$. Poiché il numero di incognite è $n=3$, concludiamo: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, quindi, secondo il corollario del teorema di Kronecker-Capelli, il sistema è definito, cioè ha una soluzione unica.

Quali sono i vantaggi del secondo metodo? Il vantaggio principale è la sua versatilità. Non ci importa se la matrice del sistema è quadrata o meno. Inoltre, abbiamo effettivamente effettuato trasformazioni del metodo di Gauss in avanti. Mancano solo un paio di passaggi e potremmo ottenere la soluzione di questo SLAE. A dire il vero, mi piace più il secondo modo del primo, ma la scelta è una questione di gusti.

Risposta: Lo SLAE dato è coerente e definito.

Esempio #2

Esplora SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(allineato) \right.$ per compatibilità.

Troveremo i ranghi della matrice del sistema e la matrice estesa del sistema con il metodo delle trasformazioni elementari. Matrice di sistema estesa: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Troviamo i ranghi richiesti trasformando la matrice aumentata del sistema:

$$ \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 e 5 e 1 \\ 2 e -1 e 3 e 2 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4 -3r_1\\r_5-2r_1\end(array)\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 e 1 e -2 \\ 0 e 1 e -1 e 4 \\ 0 e 1 e -1 e 4 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\r_3-r_2\\ r_4-r_2\\r_5+r_2\end(array)\rightarrow\\ $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 e 2 e -1\\ 0 e 1 e -1 e 2 \\ 0 e 0 e 0 e 2 \\ 0 e 0 e 0 e 2 \\ 0 e 0 e 0 e 0 \end(array) \ destra) \begin(array) (l) \phantom(0)\\\phantom(0)\\\phantom(0)\\ r_4-r_3\\\phantom(0)\end(array)\rightarrow \left (\begin(array) (ccc|c) 1 e -1 e 2 e -1\\ 0 e 1 e -1 e 2 \\ 0 e 0 e 0 e 2 \\ 0 e 0 e 0 e 0 \\ 0 e 0 e 0 e 0 \end(array) \right) $$

La matrice estesa del sistema è ridotta a una forma a gradini. Il rango di una matrice di passi è uguale al numero delle sue righe diverse da zero, quindi $\rang\widetilde(A)=3$. Anche la matrice $A$ (fino alla riga) è ridotta a una forma a gradini e il suo rango è uguale a 2, $\rang(A)=2$.

Poiché $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, quindi, secondo il teorema di Kronecker-Capelli, il sistema è incoerente (cioè non ha soluzioni).

Risposta: Il sistema è incoerente.

Esempio #3

Esplora SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(aligned) \right.$ per compatibilità.

Portiamo la matrice aumentata del sistema in una forma a gradini:

$$ \left(\begin(array)(ccccc|c) 2 e 0 e 7 e -5 e 11 e 42\\ 1 e -2 e 3 e 0 e 2 e 17 \\ -3 e 9 e -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right) \overset (r_1\leftrightarrow(r_3))(\rightarrow) $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array)(ccccc|c) 1 e -2 e 3 e 0 e 2 e 17\\ 2 e 0 e 7 & -5 e 11 e 42\\ -3 e 9 e -11 e 0 e -7 e -64\\ -5 e 17 e -16 e -5 e -4 e -90 \\ 7 e -17 e 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2-2r_1 \\r_3+3r_1 \\ r_4+5r_1 \\ r_5-7r_1 \end( array) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 3 & - 2 e 0 e -1 e -13\\ 0 e 7 e -1 e -5 e 6 e -5 \\ 0 e -3 e 2 e 0 e 1 e 13 \end(array) \right) \begin( array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \end(array) \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin (array)(ccccc|c) 1 e -2 e 3 e 0 e 2 e 17\\ 0 e 4 e 1 e -5 e 7 e 8\\ 0 e 0 e -11 e 15 e -25 e -76 \\ 0 e 0 e -11 e 15 e -25 e -76 \\ 0 e 0 e 11 e -15 e 25 e 76 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\\phantom(0) \\ r_4 -r_3 \\ r_5+r_2 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 e 8\\ 0 e 0 e -11 e 15 e -25 e -76\\ 0 e 0 e 0 e 0 e 0 e 0 \\ 0 e 0 e 0 e 0 e 0 e 0 \end(array) \destra) $$

Abbiamo ridotto la matrice estesa del sistema e la matrice del sistema stesso a una forma a gradini. Il rango della matrice estesa del sistema è pari a tre, anche il rango della matrice del sistema è pari a tre. Poiché il sistema contiene $n=5$ incognite, cioè $\rang\widetilde(A)=\rang(A)\lt(n)$, quindi, secondo il corollario del teorema di Kronecker-Capelli, questo sistema è indeterminato, cioè ha un numero infinito di soluzioni.

Risposta: il sistema è indeterminato.

Nella seconda parte, analizzeremo esempi che spesso sono inclusi nei calcoli standard o nei test di matematica superiore: uno studio di compatibilità e risoluzione degli SLAE a seconda dei valori dei parametri in esso inclusi.

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trascrizione

1 1 Numero di soluzioni del sistema di equazioni Metodo grafico dinamico Per trovare il numero di soluzioni di un sistema di equazioni contenente un parametro, è utile il seguente metodo: costruiamo grafici di ciascuna delle equazioni per un determinato valore fisso del parametro e troviamo il numero di punti comuni dei grafici costruiti.Ogni punto comune è una delle soluzioni del sistema. Successivamente, cambiamo mentalmente parametro e immaginiamo come viene trasformato il grafico dell'equazione con il parametro, come i punti comuni del i grafici appaiono e scompaiono. Tale studio richiede un'immaginazione sviluppata. Per allenare l'immaginazione, considereremo una serie di compiti tipici. Chiamiamo valori di parametri speciali quei valori in cui cambia il numero di soluzioni. toccarsi o il punto d'angolo di uno dei grafici cade su un altro grafico Di norma, quando si passa per un punto singolare, il numero di soluzioni cambia di due, e in tale punto stesso differisce di uno dal numero di soluzioni con una piccola variazione Locanda parametro Consideriamo problemi in cui è necessario trovare il numero di soluzioni di un sistema di equazioni, una delle quali dipende dal parametro a, e l'altra non dipende Variabili nei sistemi x e y Consideriamo i numeri xi, yi, r costanti da dare Nel corso di ogni soluzione, costruiamo grafici di entrambe le equazioni Indaghiamo come cambia il grafico dell'equazione con un parametro quando cambia il valore del parametro Quindi traiamo una conclusione sul numero di soluzioni (punti comuni dei grafici costruiti) Nella figura interattiva è mostrato in blu il grafico dell'equazione senza parametro, in rosso il grafico dinamico dell'equazione con parametro) utilizzare il file InMA 11, 5 Numero di soluzioni di sistema con parametro Per la ricerca (attività 8) utilizzare il file GInMA Numero di soluzioni di sistema con parametro (x x0) + (y y0) = r ; 1 Trova il numero di soluzioni del sistema (x x1) + y = a (x x0) + (y y 0) = r ; Trova il numero di soluzioni del sistema y = kx + a (x x0) + (y y0) = r ; 3 Trova il numero di soluzioni del sistema y = ax + y1 (x x0) + (y y0) = r ; 4 Trova il numero di soluzioni del sistema (x x1) + y = a (x x0) + y y0 = r ; 5 Trova il numero di soluzioni del sistema (x x0) + (y y0) = a (x x0) + (y y0) = r ; 6 Trova il numero di soluzioni del sistema y = x a + y1 x x0 + y y0 = r; 7 Trova il numero di soluzioni del sistema (x x0) + (y y0) = a f (x, y) = 0; g (x, y, a) = 0 8 Trova il numero di soluzioni del sistema VV Shelomovsky Set tematici, cmdru/

2 1 Grafici delle equazioni curve lisce (x x0) + (y y0) = r ; 1 Compito Trova il numero di soluzioni per il sistema (x x1) + y \u003d a Soluzione: il grafico della prima equazione è un cerchio di raggio r centrato nel punto O (x0; y0) Il grafico della seconda equazione è un cerchio di raggio a centrato sull'asse x nel punto A (x1 ; 0) Il centro del cerchio è fisso, il raggio determina il parametro Quando il modulo del parametro aumenta, il cerchio "si gonfia" I valori speciali del parametro sono quei valori a cui cambia il numero di radici, cioè i valori del parametro a cui il cerchio del secondo grafico tocca il cerchio del primo La condizione affinché i cerchi tocchino il modulo di la somma o differenza dei raggi dei cerchi è uguale all'interasse: a ± r = AO a = ± AO ± r Indagine: Modificando il valore delle variabili e del parametro, trovare il numero di soluzioni del sistema quando l'asse comune dei cerchi è verticale In generale, utilizzare triangoli pitagorici Ad esempio, x0 x1 = 3, y0 = ±4 modulo, e per valori grandi del parametro non ci sono soluzioni Poiché due cerchi non coincidenti non possono avere più di due punti comuni, il numero di soluzioni nel caso generale non è superiore a due Nei punti di contatto, il numero di soluzioni è uno, con valori intermedi del parametro due parametro per cui tre punti diversi (x 1) + (y y0) = 9; sono soluzioni del sistema di equazioni (x x1) + y = a (x x0) + (y y0) = r ; Compito Trova il numero di soluzioni per il sistema y \u003d kx + a Soluzione: il grafico della prima equazione è un cerchio di raggio r centrato nel punto O (x0; y0) Il grafico della seconda equazione è una famiglia di parallele rette passanti per i punti A (0; a) e aventi pendenza costante La tangente dell'angolo di inclinazione delle rette è uguale a k All'aumentare del parametro, le rette si spostano verso l'alto Valori speciali dei parametri sono quei valori a cui cambia il numero di radici, cioè i valori dei parametri a cui le rette toccano il cerchio La condizione di tangenza si trova eguagliando le tangenti dell'angolo di inclinazione del cerchio e la retta cmdru/

3 3 Risolvendo l'equazione risultante, troviamo le coordinate di due punti di contatto: kr x = x0 ± ; x0 x 1 + k = kk (y y0) + (y y0) = rry y0 y = y0 1+ k : Modificando il valore delle variabili e del parametro, trovare il numero di soluzioni del sistema.È desiderabile inizia lo studio con il caso più semplice k = 0, quando le rette sono parallele all'asse X. Quindi considera i casi in cui viene estratta la radice (ad esempio, k = 3), presta attenzione al caso popolare k = 1. Per valori piccoli e per grandi valori del parametro non ci sono soluzioni Poiché una retta e un cerchio non possono avere più di due punti comuni, il numero di soluzioni non è superiore a due Per valori di parametro corrispondenti alla tangenza , il numero di soluzioni è uguale a uno; per valori intermedi del parametro, due Compito creativo È noto che questo sistema di equazioni non ha più di una soluzione Trova il valore del parametro per il quale il sistema di equazioni ha una soluzione: (x) + (y 3) = r ; y = x + un (x x0) + (y y0) = r ; 3 Trova il numero di soluzioni per il sistema y \u003d ax + y1 Soluzione: il grafico della prima equazione è un cerchio di raggio r centrato nel punto O (x0; y0) Il grafico della seconda equazione è una famiglia di linee passante per il punto A (0; y1) La tangente della pendenza delle rette (a) determina il valore del parametro All'aumentare del parametro, aumenta l'angolo tra il grafico e la direzione positiva dell'ascissa.Valori speciali del parametro sono quei valori in cui cambia il numero di radici, cioè i valori del parametro in cui le linee toccano il cerchio Se il punto A (0; y1) è all'interno del cerchio , allora qualsiasi la retta interseca la circonferenza in due punti. La condizione di tangenza si trova eguagliando le tangenti dell'inclinazione della circonferenza e la retta. Risolvendo l'equazione risultante, troviamo le coordinate dei due punti tangenti: VV Shelomovsky

4 4 ar x = x0 ± ; x0 x 1 + a = aa (y y0) + (y y0) = rry y0 y = y0 1+ a valori singolari del parametro a = ± r Se y0 = y1, x0 r, allora valori singolari di il parametro a = ± (y1 y 0) rr x0 Se x0 = ± r, allora il cerchio tocca la retta verticale passante per il punto r (y1 y 0) A(0; y1) e il valore del parametro a = Negli altri casi x0 (y1 y 0) a= x0 (y 0 y1) ± r (x0 + (y 0 y1) r) r x0 Ricerca: Modifica del valore delle variabili e del parametro, trova il numero di soluzioni del sistema È opportuno iniziare lo studio con il caso più semplice y0 = y1, x0< r, когда точка А(0; у1) внутри окружности и число решений всегда равно двум Рассмотрите случай х0 = r, когда число решений легко найти (х0 = r =, y0 = 3, y1 =) Затем рассмотрите случаи, когда корень хорошо извлекается (например, х0 = 3, y0 = 4, r =, y1 =) Поскольку прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек, число решений не более двух При значениях параметра, соответствующих касанию, число решений равно единице, при остальных значениях параметра нулю или двум (x + 3) + (y 5) = r ; при всех y = ax + 1 Творческое задание Известно, что система уравнений значениях параметра, кроме одного, имеет два решения Найдите то значение параметра, при котором система уравнений имеет единственное решение (x x0) + (y y0) = r ; 4 Задание Найдите число решений системы (x x1) + y = a Решение: В ходе решения строим графики каждого из уравнений и исследуем число общих точек построенных графиков График первого уравнения это пара окружностей одинакового радиуса r Центры окружностей O и Q имеют одинаковую ординату y0 и ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

5 5 ascisse dello stesso modulo ma di segno diverso ±x0 I grafici sono mostrati in blu e viola Il grafico della seconda equazione è un cerchio di raggio a centrato sull'asse delle ascisse nel punto A(x1; 0) Valori speciali di il parametro sono quei valori a cui cambia il numero di radici, cioè i valori del parametro a cui il cerchio del secondo grafico tocca i cerchi del primo Condizioni per toccare la somma o la differenza dei raggi dei cerchi è uguale all'interasse: a ± r = AO, a ± r = AQ Indagine: Modificando il valore delle variabili e del parametro, trovare il numero di soluzioni ai valori di sistema per un interasse (ad esempio, x0 = 6, y0 = 3, r = 3, x1 =) Tipicamente, per moduli piccoli e grandi valori del parametro, non ci sono soluzioni Nei punti di contatto , il numero di radici è dispari, in altri punti il ​​numero di radici è pari ( x 6) + (yy 0) = r ; Compito creativo È noto che il sistema di equazioni a (x x1) + y = a ha esattamente due soluzioni per un certo valore del parametro A questo valore del parametro, i grafici toccano Trova questo valore del parametro (x x0) + y y0 = r; 5 Trova il numero di soluzioni del sistema (x x0) + (y y0) = a Soluzione: Il grafico della prima equazione è costituito da una coppia di parabole che si incontrano in y = y0 Equazioni di parabole y = y0 ± (r ( x x0)) Hanno un asse di simmetria orizzontale y \u003d y0, l'asse di simmetria verticale x \u003d x0 Centro del punto di simmetria (x0, y0) Il secondo grafico è un cerchio con raggio a, il cui centro si trova al centro di simmetria delle parabole Nel punto di contatto: x = x0, y = y0 ± r = y = y0 ± а, quindi, а = ± r da un sistema di equazioni ad un'equazione con una variabile: (yy 0) = a (x x0) = (r (x x0)) Questa è un'equazione quadratica per (xx 0) Ha una radice se il discriminante è zero: VV Shelomovsky Insiemi tematici, cmdru/

6 6 D = (r 0.5) (ra) = 0, a = ± r 1 4 Il numero di radici cambia ad un valore del parametro in cui la circonferenza e la parabola si intersecano nei punti di interruzione del primo grafico, che è, a y = y0 Ricerca: Modificando il valore delle variabili e del parametro, trovare il numero di soluzioni del sistema Utilizzare i valori r = 1, 4 e 9 Notare che i parametri x0 e y0 non influiscono sul risposta del problema Per piccoli e grandi valori del parametro non ci sono soluzioni x x0 + y y0 = r; 6 Trova il numero di soluzioni del sistema (x x0) + (y y0) = a Soluzione: Il grafico della prima equazione è un quadrato inclinato di un angolo di 45 rispetto agli assi delle coordinate, la lunghezza della metà della diagonale di che è r Il secondo grafico è un cerchio di raggio a, il cui centro si trova nella simmetria centrale del quadrato Il numero di radici cambia al valore del parametro in corrispondenza del quale il cerchio passa per i vertici del quadrato In questo caso, y = y0, a = ±r Il numero di radici cambia al valore del parametro in cui il cerchio tocca internamente i lati del quadrato Per trovare questo valore si passa da un sistema di equazioni ad un'equazione con una variabile : (yy 0) = a (x x0) = (rx x0) Questa è un'equazione quadratica per xx 0 Ha una radice se il discriminante è zero In questo caso a = ± r Il raggio del cerchio in questo caso si riferisce a il raggio nel caso precedente, come sin 45: 1 VV Shelomovsky Set tematici, cmdru/

7 7 (x x0) + (y y0) = r ; 7 Trovare il numero di soluzioni del sistema y = xa + y1 Il grafico della prima equazione è una circonferenza di centro O(x0; y0) Il grafico della seconda equazione è costituito da due raggi con un inizio comune, questo è “ un uccello, con le ali alzate”, la parte superiore del grafico si trova nel punto A (a; y1) Il numero di radici cambia al valore del parametro in corrispondenza del quale l'“ala” del secondo grafico tocca il cerchio o il vertice di il grafico giace su questo cerchio questa ala tocca il cerchio in punti (xk; yk) tali che r yk = y0 Condizione di tangenza yk = xk a + y1 a = xk yka + y1= x0 y0 + y1 ± r Poiché l'"ala " è un raggio che sale , si aggiunge la condizione che l'ordinata del vertice non sia maggiore dell'ordinata del punto tangente, cioè y1 yk y0 y1 ± r Allo stesso modo scriviamo le condizioni di tangenza con l'"ala sinistra" Se il vertice del grafico giace su un cerchio, quindi le sue coordinate soddisfano l'equazione del cerchio: (a x0) + (y1 y0) = r lo soluzioni del sistema, ovvero il numero dei punti comuni dei grafici Nei punti singolari il numero delle radici è dispari, negli altri punti il ​​numero delle radici è pari (x) + (yy 0) = r, Attività creativa È noto che il sistema di equazioni per y = xa + y1, qualche parametro di valore ha tre soluzioni Trova questo valore del parametro se è noto che le ordinate delle due soluzioni coincidono f (x, y) = 0; g (x, y, a) = 0 8 Trova il numero di soluzioni del sistema Imposta tu stesso le funzioni in base al modello ed esplora il numero di soluzioni VV Shelomovsky Set tematici, cmdru/

8 8 VV Shelomovsky Set tematici, cmdru/

9 9 Compiti С5 (Semyonov Yashchenko) Opzione 1 Trova tutti i valori di a, per ognuno dei quali l'insieme di soluzioni della disuguaglianza 4 x 1 x+ 3 a 3 è il segmento 3 a 4 x Pensando Eseguiamo le trasformazioni xb 1 , 1 xb 1, 4 x 1 x+ 3 axb 3=, b=3 a 3 a 4 xx (x) 0, (x +1) b 1 0 Le linee di confine del piano x 3a sono: x = 0, x =, x= 3a, x=± 3 aa= (x+ 1) 1 4 Se 0 x, allora b< 4x, b (x +1) 1 Так как 4x >(x +1) 1, allora b (x +1) 1 Se 0 > x allora b > 4x, (x +1) 1 b Esiste una soluzione per 1 b Ad esempio, x = 1 Se x > allora b > 4x, (x +1) 1 b Da 4x< (x +1) 1, то (x +1) 1 b Значит, решения таковы Если 3а >8, allora x [ 3 a + 1 1.0] [, 3 a + 1 1] Se 0< 3а < 8, то Если 3а = 0, то х [,0) (0, ] Если 1< 3а < 0, то х [ 3 a +1 1, 3 a+1 1] [ 0, ] Если 1 = 3а, то х 1 } Если 1 >3a, allora x Soluzione Sia 1 3a Allora x = 1 soddisfa la disuguaglianza, 4 x 1 x+ 3 a 16+3 a 3 a 3 = 3 =, una contraddizione, questo numero è esterno al segmento 3 a 4 x 3 a+ 4 3 a +4 Sia 1 > 3а Allora xb 1, 4 x 1 x+3 axb 3=, b=3 a< 1 3 a 4 x 1 x b 1, x (x) 0, (x +1) b 1 0 Числа из промежутка 0 х удовлетворяют обоим неравенствам Если x >, allora la prima disuguaglianza non è soddisfatta VV Shelomovsky Set tematici, cmdru/

10 10 Se 0 > x, allora b (x +1) 1, la seconda disuguaglianza non è soddisfatta Risposta: 1 > 3a Opzione 3 Trova tutti i valori di a, per ognuno dei quali l'equazione a +7 xx + x + 5 ha almeno una radice = a+ 3 x 4 a +1 Thinking Let f (a, x)=a +7 xx + x +5 a 3 x 4 a+1 Punto singolare della funzione x + 1 = 0 Se x = 1, allora l'equazione è a +10 a 1 a =0 È facile trovare le sue quattro soluzioni È necessario dimostrare che la funzione originale è sempre maggiore di questa Soluzione Sia f (a, x)=a + 7 xx + x +5 a 3 x 4 a+1 Equazione f (a, x)=0 Allora f (a, 1)=a +10 a 1 a =0 Differenza f (a, x) f (a, 1) =7 x +1 +5(x + x +5)+ 3 4 a 3 x 4 a+1 3(xa 4 ax 1) 0 Pertanto, l'equazione f (a, x)=0 ha radici solo se f ( a, 1) 0 L'equazione f (a, 1)=0 ha quattro radici a 1= , a = , a 3= , a 4 = Funzione f (a, 1) 0 (non positivo) per a Ad esempio, se a = 10, cioè la radice x) f (a, 1)>0 Nessuna radice Risposta: [ 5 15, 5+ 15] Opzione 5 Trova tutti i valori di a, ognuno dei quali ha almeno una radice ur equazione a +11 x+ +3 x + 4 x +13=5 a+ xa + Usa la funzione f (a,)=a +9 5 a 4 a =0 e la disuguaglianza f (a, x) f (a,) (x+ + ax a+) 0 Risposta: [ , ] Opzione 9 Trova il numero di radici dell'equazione x + 4x 5 3a = x + a la derivata di una è maggiore sull'intervallo dell'altra Sia la differenza dei valori ​delle funzioni all'estremità sinistra hanno un segno, all'estremità destra l'altro Allora l'equazione f(x) = g(x) ha esattamente una radice sull'intervallo Soluzione Denota f(x, a) = 3à + x + a, g(x) = x + 4x Equazione f(x, a) = g(x) VV Shelomovsky Set tematici, cmdru/

11 11 I punti singolari della funzione g(x) sono minimi in x = 1 e x = 5 e massimi in x = Valori g(1) = g(5) = 1, g() = 10 La funzione ha un asse di simmetria x = 3 At Per valori di x maggiori in modulo, la funzione quadratica g(x) è maggiore della funzione lineare f(x, a) La pendenza della funzione al di fuori dell'intervallo [5,1] è determinato dalla derivata (x + 4x 5)" = x per x > 1 La funzione g(x) per x > 1 aumenta in modo monotono con un fattore maggiore di 6 A causa della simmetria, la funzione g(x) diminuisce in modo monotono con un fattore maggiore di 6 in x< 5 Наклон g(x) равен 1 только на промежутке (5, 1) При этом производная (x 4x + 5)" = x 4 = 1 Значит, в точке x = 5 наклон равен 1 Функция f(x, a) = 3а + x + a монотонно убывает с коэффициентом 1 при x + а < 0 и монотонно возрастает с коэффициентом 1 при x + а >0 Valori in un numero di punti f(a, a) = 3a, f(5, a) = 3a + 5 a, f(, a) = 3a + a, f(1, a) = 3a + 1 + a Traccia f (x, a) e g(x) si toccano se le loro pendenze sono uguali È possibile toccare a x = 5 In questo caso, g(x) = 39/4 f(x, a) = 4a + x = 39/4, 4a = 49 /4, a = 49/16 Analizziamo le radici dell'equazione f(x, a) = g(x) Se a<, f(5, a) = а +5 < 1, f(1, a) = а 1 < 5 f(x, a) < g(x), так как в промежутке 5 < x < 1 f(x, a) < 1 < g(x) Если x >1, g(x) cresce più velocemente di f(x, a), cioè ovunque f(x, a)< g(x) Если x < 5, g(x) убывает быстрее, чем f(x, a), то есть всюду f(x, a) < g(x) Других корней нет Если a =, f(5, a) = 1, f(1, a) = 5 f(5,) = g(5) Один корень х = 5 Во всех других точках f(x, a) < g(x), как и в предыдущем случае Если < a < 0, f(5, a) = а +5 >1, f(1, a) = 4a + 1< 1f(, a) = а + < 10 При x >f(x, a)< g(x), корней нет При x < f(1,a) >1 A x< 5 быстро убывающая g(x) пересекает медленно убывающую левую ветвь f(x,а), один корень При 5 < x < возрастающая g(x) пересекает убывающую f(x,а), один корень, всего корней два, один при x < 5, второй при 5 < x < Если a = 0, f(5, a) = 5, f(1, a) = 1 f(1, a) = g(1), один корень х = 1 Как и раньше, один корень при x < 5, один корень при 5 < x < Всего корней три Если 0 < a < 3, корней 4, два на левой ветке f(х, a) при x <, два на правой при x >Se a = 3, f(3, 3) = 8 = g(3), f(, 3) = 10 = g(), radici 4, uno due sul ramo sinistro di f(x, a) in x< 5, один в вершине f(х, 3) при x = 3, один в вершине g(x) при x =, один при x >1 Se 3< a < 49/16, корней 4, один на левой ветке f(х, a) при x < 5, два на правой ветви g(x) при 3 < x <, один при x >1 Se a = 49/16, allora il numero di radici è 3, una sul ramo sinistro di f(x, a) in x< 5, один в точке касания при x = 5, один при x >1 Se a > 49/16, allora il numero di radici, una sul ramo sinistro di f(x, a) in x< 5, один на правой при x >1 Risposta: nessuna radice per a< ; один корень при a =, два корня при < a < 0 или 49/16 < a, три корня при a = 0 или а = 49/16, четыре корня при 0 < a < 49/16 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

12 1 Opzione 10 Trova tutti i valori del parametro a, per ognuno dei quali l'equazione 4x 3x x + a = 9 x 3 ha due radici Soluzione Denota f(x, a) = 4x 3x x + a, g(x ) = 9 x 3 Il punto singolare della funzione g(x) è x = 3 La funzione diminuisce monotonicamente di un fattore 9 come x< 3 и монотонно возрастает с коэффициентом 9 при x >3 La funzione f(x, a) è lineare a tratti con coefficienti 8, 6 o 0 Pertanto, non diminuisce in x, il suo tasso di crescita è inferiore a quello del ramo destro della funzione 9 x 3 f(3, a) = a Grafico di questo l'espressione è una polilinea con vertici (1, 1), (3, 3), (6, 1) I valori della funzione sono positivi per a (4, 18) Segue da il trovato Se f(3, a)< 0, уравнение не может иметь корней, так как g(x) >f(x, a) Se f(3, a) = 0, l'equazione ha esattamente una radice x = 3 Per altre x g(x) > f(x, a) Se f(3, a) > 0, il l'equazione ha esattamente due radici, una per x< 3, когда пересекаются убывающая ветвь g(x) и монотонно не убывающая f(x, a) Другой при x >3, quando il ramo in rapida crescita g(x) interseca il ramo in lenta crescita f(x, a) Risposta: a (4, 18) Opzione 11 Trova tutti i valori del parametro a, per ciascuno dei quali, per qualsiasi valore del parametro b, ha almeno un sistema risolutivo di equazioni (1+ 3 x)a +(b 4 b+5) y =, xy +(b) x y+ a + a=3 Pensare Il sistema si presenta come (1 + 3 x)a +(1+(b) ) y =, Convenientemente xy +(b) xy=4 (a+ 1) a (1+3 x) =1, La soluzione x = y = 0 e xy =4 (a +1) si vedono i valori dei parametri corrispondenti a = 1 e a = 3 analizzare il punto singolare b = Allora (1+ 3 x)a +(1+(b)) y =, xy +(b) xy= 4 (a+ 1) Soluzione Scriviamo il sistema come Soluzione x = y = 0 esiste sempre per a = 1 o a = 3 Se b =, allora il sistema ha la forma (1+ 3 x)a +1 y =, oppure xy =4 (a +1) (1+3 x)a=1, xy =4 (a +1) Se a > 1 o a< 3 система не имеет решений, так как их не имеет второе уравнение Если 1 < a < 3, из второго уравнения получим, что x >0, dalla prima troviamo a = 0 Sia a = 0 Quindi per b = 4 dalla prima equazione otteniamo che y = 0 In questo caso, la seconda equazione non ha soluzione Risposta: 1 o 3 VV Shelomovsky Insiemi tematici, cmdru /

13 13 Opzione 14 Trova tutti i valori del parametro, per ognuno dei quali il modulo della differenza delle radici dell'equazione x 6x a 4a \u003d 0 assume il valore più grande , il problema può essere risolto per il segmento x =3± 1 (a) La più grande differenza delle radici è uguale a quando a = Risposta: Opzione 15 Trova tutti i valori del parametro, per ognuno dei quali l'equazione (4 4 k) sin t =1 ha almeno una soluzione sul segmento [ 3 π ; 5 π ] cos t 4 sin t Soluzione A causa della periodicità delle funzioni seno e coseno, il problema può essere risolto per il segmento t [ π ; 15 π ], quindi sottrarre 4π da ciascuna soluzione ottenuta Trasforma l'equazione nella forma + 4 k sin t cos t \u003d 0 cos t 4 sin t Sul segmento t [ π ; 15 π ] il seno decresce monotonicamente da zero a meno uno, il coseno aumenta monotonicamente da meno uno a zero Il denominatore svanisce a 4tgt = 1, cioè a sin t = 1 4, cos t = t = 15π è uguale a 4k Se k 0, il numeratore è positivo e l'equazione non ha radici Se k > 0, entrambi i termini variabili del numeratore decrescono, cioè il numeratore cambia in modo monotono Quindi, il numeratore assume un valore zero esattamente una volta, se k 05 ed è positivo per valori minori k L'equazione ha radice se il numeratore è zero e il denominatore non è zero, cioè nel caso di 4k =+ 4 k sin t cos t + k Risposta: k [ 05,+)\1 + ) Opzione 18 di cui il sistema di equazioni (xa 5) +(y 3 a +5) =16, (xa) +(y a+1)=81 ha una soluzione unica Pensare Ogni equazione descrive un cerchio La soluzione è unico nel caso di circonferenze tangenti Soluzione La prima equazione definisce una circonferenza centrata in (a + 5, 3a 5) e raggio 4 La seconda equazione è circolare centrato nel punto (a +, a 1) con un raggio di 9 VV Shelomovsky Set tematici, cmdru/

14 14 Il sistema ha un'unica soluzione se le circonferenze sono tangenti In questo caso la distanza tra i centri è = 13 oppure 0 4 = 5 Il quadrato dell'interasse: ((a + 5) (a +)) + ( (3a 5) (a 1)) = aa + 5 Se la distanza è 5, allora a = 0 o a = 1 Se la distanza è 13, allora a = 8 o a = 9 Risposta: 8, 0, 1, 9 Opzione 1 Trova tutti i valori del parametro, ognuno dei quali ha esattamente due soluzioni non negative equazione 10 0,1 x 5 x + a =004 x Soluzione Esegui trasformazioni 5 x 5 x + a =5 x Denota t = 5x 1 A causa alla monotonia della funzione esponenziale 5x, ogni radice t 1 genera esattamente una radice x 0 L'equazione assumerà la forma ta t+ at =0 Se at, allora t + 3t + a = 0 non ci sono radici maggiori di 1 Se t > at/, allora tt + 3a = 0 Per t > 1, la funzione è monotonicamente crescente, c'è solo una radice Se 1/ > t/ > a, allora t 3t a = 0 Per t > 1, la funzione t 3t decresce monotonicamente da t = 1 a 5 a t = 15 e poi aumenta monotonicamente, quindi per 5 > a ci sono due radici, per a minore non ci sono radici, per a grande la radice è esattamente una n Risposta: 5 > a Opzione Trova, a seconda del parametro, il numero di soluzioni del sistema x (a+1) x+ a 3= y, y (a+1) y + a 3= x Pensiamo che il sistema sembri come f(x)= y, f(y)= x, oppure f(f(x)) = x Una delle soluzioni f(x)= x La seconda soluzione si trova sottraendo le equazioni Soluzione Sottrarre la seconda equazione da la prima equazione Otteniamo (x + ya)(xy) = 0 Sia x = y Sostituisci nella prima equazione, trasforma Ottieni (xa 1) = 4 + a Sia x + y = a Sostituisci nella prima equazione, trasforma: ( xa) = 3 + a Se a<, корней нет Если a =, то x = y = a + 1, единственное решение Если 15 >a >, cioè una coppia di soluzioni x= y =a+ 1± 4+ a Se a = 15, allora due soluzioni: x = y = a, x = y = a + Se 15< a то решения x= y =a+ 1± 4+ a, x=a± 3+ a, y= a x Ответ: a < нет решений, а = одно, 15 a >, due soluzioni, a > 15 quattro soluzioni VV Shelomovsky Set tematici, cmdru/

15 15 Opzione 4 Trova tutti i valori di a, per ognuno dei quali l'equazione 7 x 6 +(4 ax)3 +6 x +8 a=4 x non ha radici Pensando 8a 4x = (4a x), 7x6 = (3x)3 Ciò significa che l'equazione include la somma e la somma dei cubi delle stesse espressioni.Questo può essere utilizzato Soluzione Trasformiamo l'equazione nella forma (3 x)3 +(4 ax)3+ (3 x + 4 ax)=0 Espandi la somma dei cubi (3 x +4 ax) ( (3 x) 3 x (4 ax)+(4 ax) +)=0 Il secondo fattore è il quadrato incompleto della differenza aumentato di It è positivo Selezionando il quadrato nel primo fattore, otteniamo 1 1 3(x) + 4 a = Questa equazione non ha radici, se 4 a > 0, a > 3 1 Risposta: 1a > 1 Opzione 8 Trova i valori ​​a, per ciascuno dei quali il valore più grande della funzione xax non è inferiore a uno Soluzione Se xa, la funzione f (x, a) = xax È massimo per x = 0,5, massimo è 0,5 a A< 0,5 наибольшее значение функции 0,5 а 1 при 075 а Если x < a, функция f(x,a) = a x x Она максимальна при x = 0,5, максимум равен a + 05 При a >0,5 è il valore più grande della funzione a + 0,5 1 con 0,75 Risposta: a 0,75 o 075 a a, x = 8y + b ha un numero pari di soluzioni Soluzione: dalla prima equazione segue che y > 0, la seconda l'equazione può essere trasformata in 8 nella forma: y=, x (b; +) Includendo y: xbf (x) = xa = 0; f `(x) = 4 x 3 + x b (x b)3 Ogni radice dell'equazione ottenuta genera esattamente una soluzione del sistema originale< 0 функция f(x) монотонно возрастает от минус бесконечности до f(х1), уменьшается до f(х) и вновь монотонно возрастает при положительных иксах до плюс бесконечности Уравнение может иметь чётное число корней два только если корень совпадает с минимумом или максимумом функции, то есть в точке корня производная равна нулю, то есть f(х1) = g(х1) = 0 Исключая корень из уравнений, найдём: а = (4х1 + х14) Полученная функция имеет максимум при х1 = 1 (а = 3; b = 1,5), поэтому для любого a (0; 3) существуют х1, х х1 и b, при которых число корней равно два Однако при а = 3 х ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

16 16 \u003d x1, entrambe le radici sono uguali e l'equazione f (x) \u003d 0 ha una sola radice \u003d x (xb) + 1 \u003d 0 L'ultima equazione può avere una o due radici e solo con negativo x Indichiamoli x1 e x: g (x1) = g (x) \u003d 0 Risposta: a (0; 3) VV Shelomovsky Kit tematici, cmdru/

Esempi di risoluzione di compiti di tipo C5 per l'esame di stato unificato 013 La maggior parte dei disegni nel set sono interattivi. È possibile modificare i parametri e le equazioni dei grafici. L'inserimento dei file interattivi avviene cliccando su

Argomento 41 "Attività con un parametro" Le principali formulazioni delle attività con un parametro: 1) Trova tutti i valori dei parametri, ognuno dei quali soddisfa una determinata condizione.) Risolvi un'equazione o una disuguaglianza con

1 Funzioni, loro grafici e relative dimostrazioni Indice 1 Radici e loro numero...1 1.1 Radici di equazioni...1 1.1.a Radici di equazioni...1 1. Numero di radici... 1. Numero di radici. .. 1.4 Funzionalità

Compito 18 Criteri per la valutazione dei compiti 18 Contenuto del criterio Punti Ha ricevuto ragionevolmente la risposta corretta. 4 Con l'aiuto di un ragionamento corretto, si ottiene un insieme di valori di a, che differisce da quello desiderato di un numero finito

L'equazione lineare a x = b ha: una soluzione unica, per a 0; un insieme infinito di soluzioni, per a = 0, b = 0; non ha soluzioni, per a = 0, b 0. L'equazione quadratica ax 2 + bx + c = 0 ha: due differenti

TIPI DI GRAFICI Formula: y = kx + b k indica la pendenza della linea b mostra di quante unità la linea è spostata in alto o in basso rispetto all'origine Se k è positivo, la linea aumenta ESEMPI: y =

C5 Per ogni valore di a, risolvi il sistema Le coppie che danno una soluzione al sistema devono soddisfare le condizioni Dalla seconda equazione del sistema troviamo Resta da notare che quindi l'Equazione in condizioni e ha at,

Attività 23 314690. Costruisci un grafico della funzione che si intersecherà a - e determinerà a quali valori la linea retta è un grafico triplo in tre punti. Costruiamo un grafico della funzione (vedi figura). Si può vedere dal grafico che la linea

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Poiché questa è la risposta corretta, il sistema richiede il soddisfacimento di due o più condizioni, e stiamo cercando quei valori dell'incognita che soddisfano tutte le condizioni contemporaneamente Descriveremo la soluzione di ciascuna delle disuguaglianze

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Disuguaglianze irrazionali Le disuguaglianze in cui la variabile è contenuta sotto il segno della radice sono dette irrazionali Il metodo principale per risolvere le disuguaglianze irrazionali è il metodo di riduzione dell'originale

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Lezione 13 Argomento: Curve del secondo ordine Curve del secondo ordine sul piano: ellisse, iperbole, parabola. Derivazione di equazioni di curve del secondo ordine in base alle loro proprietà geometriche. Studio della forma di un'ellisse,

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Argomento 10 "Grafici delle funzioni elementari". 1. Funzione lineare f(x) = kx + b. Il grafico è una linea retta. 1) Dominio di definizione D(f) = R.) Dominio dei valori E(f) = R. 3) Zeri della funzione y = 0 per x = k/b. 4) Estremi

P0 Derivata Si consideri una funzione f() dipendente dall'argomento Sia definita questa funzione nel punto 0 e parte del suo intorno, continua a questo punto e del suo intorno

Problemi con i parametri (voti 10 11) I parametri sono gli stessi numeri, ma non conosciuti in anticipo 1 Equazioni lineari e disequazioni con parametri Funzione lineare: - equazione di una retta con pendenza

Opzione Trova il dominio della funzione: y + Il dominio della funzione data è determinato dalla disuguaglianza Inoltre, il denominatore non dovrebbe svanire Trova le radici del denominatore: Combinando i risultati

BIGLIETTO 15 Fiztekh 017. Biglietti 15 16. Soluzione 1. È noto che per tre valori naturali consecutivi dell'argomento, la funzione quadratica f(x) assume rispettivamente i valori 1, 1 e 5. Trova il più piccolo

Costruzione di grafici di funzioni 1. Piano per lo studio di una funzione quando si traccia un grafico 1. Trovare il dominio della funzione. Spesso è utile considerare più valori di una funzione. Esplora le proprietà speciali di una funzione:

Significato geometrico della derivata Si consideri il grafico della funzione y=f(x) e la tangente nel punto P 0 (x 0 ; f(x 0)). Trova a questo punto la pendenza della tangente al grafico. L'angolo di inclinazione della tangente Р 0

Il significato geometrico della derivata, tangente 1. La figura mostra il grafico della funzione y \u003d f (x) e la tangente ad essa nel punto con l'ascissa x 0. Trova il valore della derivata della funzione f ( x) nel punto x 0. Valore

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EQUAZIONI QUADRATICHE

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SEZIONE DEI COMPITI CON PARAMETRI Commento I compiti con parametri sono tradizionalmente compiti complessi nella struttura USE, che richiedono al richiedente non solo di padroneggiare tutti i metodi e le tecniche per risolvere vari

Matematica. Raccolta di incarichi (14 aprile 01). Compiti con -. Problema 1. Per quali valori del parametro a l'equazione ha una soluzione univoca 4 + 1 = + a ax x x x a Problema. Trova tutto valido

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Soluzioni A Tracciamo tutti questi numeri sull'asse dei numeri, quello che si trova a sinistra di tutti ed è il più piccolo Questo numero è 4 Risposta: 5 A Analizziamo la disuguaglianza Sull'asse dei numeri, l'insieme dei numeri che soddisfano

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