Numero di soluzioni di un sistema di due equazioni lineari in due variabili. Risoluzione di sistemi di equazioni lineari. sistemi incompatibili. Sistemi a soluzione generale. Soluzioni parziali Risoluzione del sistema di equazioni in funzione del parametro

Supponiamo di voler trovare tutte le coppie di valori delle variabili xey che soddisfano l'equazione
xy - 6 = 0 e l'equazione y - x - 1 = 0, cioè è necessario trovare l'intersezione degli insiemi di soluzioni di queste equazioni. In questi casi, dicono che è necessario risolvere il sistema di equazioni xy - 6 \u003d 0 e y - x - 1 \u003d 0.

È consuetudine scrivere un sistema di equazioni utilizzando parentesi graffe. Ad esempio, il sistema di equazioni in esame può essere scritto come segue:

(xy-6 = 0,
(y - x - 1 = 0.

Una coppia di valori di variabili che trasforma ciascuna equazione del sistema in una vera uguaglianza è chiamata soluzione di un sistema di equazioni con due variabili.

Risolvere un sistema di equazioni significa trovare l'insieme delle sue soluzioni.

Consideriamo sistemi di due equazioni lineari con due variabili, in cui almeno uno dei coefficienti di ciascuna equazione è diverso da zero.

La soluzione grafica di sistemi di questo tipo si riduce alla ricerca delle coordinate dei punti comuni di due rette.

Come sai, due linee rette su un piano possono essere intersecanti o parallele. Nel caso del parallelismo le rette o non hanno punti in comune oppure coincidono.

Consideriamo ciascuno di questi casi.

Esempio 1

Risolviamo il sistema di equazioni:

(2x + y = -11,
(x - 2y = 8.

Soluzione.

(y \u003d -3x - 11,
(y \u003d 0,5x - 4.

I coefficienti di pendenza delle linee - grafici delle equazioni del sistema sono diversi (-3 e 0,5), il che significa che le linee si intersecano.

Le coordinate del punto della loro intersezione sono la soluzione di questo sistema, l'unica soluzione.

Esempio 2

Risolviamo il sistema di equazioni:

(3x - 2y = 12,
(6x - 4a = 11.

Soluzione.

Esprimendo da ciascuna equazione y in termini di x, otteniamo il sistema:

(y \u003d 1,5x - 6,
(y \u003d 1,5x - 2,75.

Le linee y \u003d 1,5x - 6 e y \u003d 1,5x - 2,75 hanno pendenze uguali, il che significa che queste linee sono parallele e la linea y \u003d 1,5x - 6 interseca l'asse y nel punto (0; - 6) e la linea y \u003d 1,5x - 2,75 - nel punto (0; -2,75), quindi le linee non hanno punti comuni. Pertanto il sistema di equazioni non ha soluzioni.

Il fatto che questo sistema non abbia soluzioni può essere verificato argomentando come segue. Moltiplicando tutti i termini della prima equazione per 2, otteniamo l'equazione 6x - 4y = 24.

Confrontando questa equazione con la seconda equazione del sistema, vediamo che le parti di sinistra delle equazioni sono le stesse, quindi, per gli stessi valori di xey, non possono assumere valori diversi (24 e 11). Pertanto, il sistema

(6x - 4 anni \u003d 24,
(6x - 4a = 11.

non ha soluzioni, il che significa che il sistema non ha soluzioni

(3x - 2y = 12,
(6x - 4a = 11.

Esempio 3

Risolviamo il sistema di equazioni:

(5x - 7y = 16,
(20x - 28a = 64.

Soluzione.

Dividendo ogni termine della seconda equazione per 4, otteniamo il sistema:

(5x - 7y = 16,
(5x - 7y = 16,

costituito da due equazioni identiche. I grafici di queste equazioni coincidono, quindi le coordinate di qualsiasi punto del grafico soddisferanno ciascuna delle equazioni del sistema, cioè saranno la soluzione del sistema. Ciò significa che questo sistema ha un numero infinito di soluzioni.

Se in ciascuna equazione di un sistema di due equazioni lineari con due variabili almeno uno dei coefficienti della variabile non è uguale a zero, allora il sistema o ha un'unica soluzione oppure ha infinite soluzioni.

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A attività con parametro includono, ad esempio, la ricerca di soluzioni per equazioni lineari e quadratiche in vista generale, lo studio dell'equazione del numero di radici disponibili in funzione del valore del parametro.

Senza fornire definizioni dettagliate, considerare le seguenti equazioni come esempi:

y = kx, dove x, y sono variabili, k è un parametro;

y = kx + b, dove x, y sono variabili, k e b sono parametri;

ax 2 + bx + c = 0, dove x sono variabili, a, b e c sono parametri.

Risolvere un'equazione (disuguaglianza, sistema) con un parametro significa, di regola, risolvere un insieme infinito di equazioni (disuguaglianze, sistemi).

Le attività con un parametro possono essere suddivise condizionatamente in due tipi:

UN) la condizione dice: risolvi l'equazione (disuguaglianza, sistema) - ciò significa, per tutti i valori del parametro, trova tutte le soluzioni. Se almeno un caso rimane inesplorato, tale soluzione non può essere considerata soddisfacente.

B)è necessario indicare i possibili valori del parametro per il quale l'equazione (disuguaglianza, sistema) ha determinate proprietà. Ad esempio, ha una soluzione, non ha soluzioni, ha soluzioni che appartengono all'intervallo, ecc. In tali compiti è necessario indicare chiaramente a quale valore del parametro è soddisfatta la condizione richiesta.

Il parametro, essendo un numero fisso sconosciuto, ha, per così dire, una dualità speciale. Innanzitutto bisogna tenere conto che la presunta fama suggerisce che il parametro debba essere percepito come un numero. In secondo luogo, la libertà di gestire un parametro è limitata dalla sua incognita. Quindi, ad esempio, le operazioni di divisione per un'espressione in cui è presente un parametro o l'estrazione di una radice di grado pari da un'espressione simile richiedono una ricerca preliminare. Pertanto è necessario prestare attenzione nella gestione del parametro.

Ad esempio, per confrontare due numeri -6a e 3a occorre considerare tre casi:

1) -6a sarà maggiore di 3a se a è un numero negativo;

2) -6a = 3a nel caso in cui a = 0;

3) -6a sarà inferiore a 3a se a è un numero positivo 0.

La decisione sarà la risposta.

Sia data l'equazione kx = b. Questa equazione è una scorciatoia per un insieme infinito di equazioni in una variabile.

Quando si risolvono tali equazioni, potrebbero esserci casi:

1. Sia k un numero reale qualsiasi diverso da zero e b un numero qualsiasi di R, allora x = b/k.

2. Sia k = 0 e b ≠ 0, l'equazione originale assumerà la forma 0 · x = b. Ovviamente questa equazione non ha soluzioni.

3. Siano k e b numeri uguali a zero, allora abbiamo l'uguaglianza 0 · x = 0. La sua soluzione è un numero reale qualsiasi.

L'algoritmo per risolvere questo tipo di equazioni:

1. Determinare i valori di "controllo" del parametro.

2. Risolvi l'equazione originale per x con i valori del parametro determinati nel primo paragrafo.

3. Risolvi l'equazione originale per x con valori dei parametri che differiscono da quelli selezionati nel primo paragrafo.

4. Puoi scrivere la risposta nel seguente modulo:

1) quando... (valore del parametro), l'equazione ha radici...;

2) quando ... (valore del parametro), non ci sono radici nell'equazione.

Esempio 1

Risolvi l'equazione con il parametro |6 – x| = un.

Soluzione.

È facile vedere che qui a ≥ 0.

Per la regola del modulo 6 – x = ±a, esprimiamo x:

Risposta: x = 6 ± a, dove a ≥ 0.

Esempio 2

Risolvi l'equazione a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 rispetto alla variabile x.

Soluzione.

Apriamo le parentesi: ax - a + 2x - 2 \u003d 0

Scriviamo l'equazione modulo standard: x(a + 2) = a + 2.

Se l'espressione a + 2 non è zero, cioè se a ≠ -2, abbiamo la soluzione x = (a + 2) / (a ​​+ 2), cioè x = 1.

Se a + 2 è uguale a zero, cioè a \u003d -2, allora abbiamo l'uguaglianza corretta 0 x \u003d 0, quindi x è un numero reale qualsiasi.

Risposta: x \u003d 1 per a ≠ -2 e x € R per a \u003d -2.

Esempio 3

Risolvi l'equazione x/a + 1 = a + x rispetto alla variabile x.

Soluzione.

Se a \u003d 0, trasformiamo l'equazione nella forma a + x \u003d a 2 + ax o (a - 1) x \u003d -a (a - 1). L'ultima equazione per a = 1 ha la forma 0 · x = 0, quindi x è un numero qualsiasi.

Se a ≠ 1, l'ultima equazione assumerà la forma x = -a.

Questa soluzione può essere illustrata sulla linea delle coordinate (Fig. 1)

Risposta: non esistono soluzioni per a = 0; x - qualsiasi numero in a = 1; x \u003d -a con a ≠ 0 e a ≠ 1.

Metodo grafico

Considera un altro modo per risolvere le equazioni con un parametro: grafico. Questo metodo è usato abbastanza spesso.

Esempio 4

Quante radici, a seconda del parametro a, compone l'equazione ||x| – 2| = un?

Soluzione.

Per risolvere con un metodo grafico, costruiamo grafici di funzioni y = ||x| – 2| e y = a (Fig. 2).

Il disegno mostra chiaramente i possibili casi della posizione della linea y = ae il numero di radici in ciascuna di esse.

Risposta: l'equazione non avrà radici se a< 0; два корня будет в случае, если a >2 e a = 0; l'equazione avrà tre radici nel caso a = 2; quattro radici - a 0< a < 2.

Esempio 5

Per cui a l'equazione 2|x| + |x – 1| = a ha una sola radice?

Soluzione.

Disegniamo i grafici delle funzioni y = 2|x| + |x – 1| e y = a. Per y = 2|x| + |x - 1|, espandendo i moduli con il metodo gap, otteniamo:

(-3x + 1, a x< 0,

y = (x + 1, per 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, per x > 1.

SU figura 3 si vede chiaramente che l'equazione avrà radice unica solo quando a = 1.

Risposta: a = 1.

Esempio 6

Determina il numero di soluzioni dell'equazione |x + 1| + |x + 2| = a in funzione del parametro a?

Soluzione.

Grafico della funzione y = |x + 1| + |x + 2| sarà una linea spezzata. I suoi vertici saranno posizionati nei punti (-2; 1) e (-1; 1) (immagine 4).

Risposta: se il parametro a è minore di uno, l'equazione non avrà radici; se a = 1, allora la soluzione dell'equazione è un insieme infinito di numeri dell'intervallo [-2; -1]; se i valori del parametro a sono maggiori di uno, l'equazione avrà due radici.

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Tuttavia, nella pratica sono diffusi altri due casi:

– Il sistema è incoerente (non ha soluzioni);
Il sistema è coerente e ha infinite soluzioni.

Nota : il termine "coerenza" implica che il sistema abbia almeno qualche soluzione. In una serie di attività, è necessario esaminare preliminarmente la compatibilità del sistema, come farlo - vedere l'articolo su rango di matrice.

Per questi sistemi viene utilizzato il metodo di soluzione più universale: Metodo di Gauss. In effetti, anche il metodo "scolastico" porterà alla risposta, ma nella matematica superiore è consuetudine utilizzare il metodo gaussiano di eliminazione successiva delle incognite. Chi non ha familiarità con l'algoritmo del metodo Gauss è pregato di studiare prima la lezione metodo di Gauss per i manichini.

Le stesse trasformazioni della matrice elementare sono esattamente le stesse, la differenza sarà alla fine della soluzione. Innanzitutto, considera un paio di esempi in cui il sistema non ha soluzioni (incoerente).

Esempio 1

Cosa attira immediatamente la tua attenzione in questo sistema? Il numero di equazioni è inferiore al numero di variabili. Se il numero di equazioni è inferiore al numero di variabili, allora possiamo subito dire che il sistema o è incoerente oppure ha infinite soluzioni. E resta solo da scoprirlo.

L'inizio della soluzione è abbastanza ordinario: scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, la portiamo in una forma graduale:

(1) Nel gradino in alto a sinistra, dobbiamo ottenere +1 o -1. Non ci sono numeri di questo tipo nella prima colonna, quindi riorganizzare le righe non funzionerà. L'unità dovrà essere organizzata in modo indipendente e ciò può essere fatto in diversi modi. Ho fatto questo: alla prima riga, aggiungi la terza riga, moltiplicata per -1.

(2) Ora otteniamo due zeri nella prima colonna. Alla seconda riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per 3. Alla terza riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per 5.

(3) Dopo aver effettuato la trasformazione, è sempre consigliabile vedere se è possibile semplificare le stringhe risultanti? Potere. Dividiamo la seconda riga per 2, ottenendo allo stesso tempo il -1 desiderato nel secondo passaggio. Dividi la terza riga per -3.

(4) Aggiungi la seconda riga alla terza riga.

Probabilmente tutti hanno prestato attenzione alla linea sbagliata, che si è rivelata il risultato di trasformazioni elementari: . È chiaro che non può essere così. Infatti riscriviamo la matrice risultante torniamo al sistema di equazioni lineari:

Se, come risultato di trasformazioni elementari, si ottiene una stringa della forma, dove è un numero diverso da zero, allora il sistema è incoerente (non ha soluzioni) .

Come registrare la fine di un'attività? Disegniamo con il gesso bianco: "come risultato di trasformazioni elementari, si ottiene una linea della forma, dove" e diamo la risposta: il sistema non ha soluzioni (incoerente).

Se, a seconda delle condizioni, è necessario ESPLORARE il sistema per verificarne la compatibilità, allora è necessario fornire una soluzione in uno stile più solido che coinvolga il concetto rango di matrice e teorema di Kronecker-Capelli.

Tieni presente che qui non esiste un movimento inverso dell'algoritmo gaussiano: non ci sono soluzioni e semplicemente non c'è nulla da trovare.

Esempio 2

Risolvere un sistema di equazioni lineari

Questo è un esempio fai da te. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione. Ancora una volta, ti ricordo che il tuo percorso di soluzione potrebbe differire dal mio percorso di soluzione, l'algoritmo gaussiano non ha una forte “rigidità”.

Un altro caratteristica tecnica soluzioni: le trasformazioni elementari possono essere fermate Subito, non appena una riga come , dove . Considera un esempio condizionale: supponiamo che dopo la prima trasformazione otteniamo una matrice . La matrice non è stata ancora ridotta ad una forma a gradini, ma non sono necessarie ulteriori trasformazioni elementari, poiché è apparsa una linea della forma, dove . Dovrebbe essere immediatamente risposto che il sistema è incompatibile.

Quando un sistema di equazioni lineari non ha soluzioni, questo è quasi un regalo, perché si ottiene una soluzione breve, a volte letteralmente in 2-3 passaggi.

Ma tutto in questo mondo è equilibrato e il problema in cui il sistema ha infinite soluzioni è semplicemente più lungo.

Esempio 3

Risolvere un sistema di equazioni lineari

Ci sono 4 equazioni e 4 incognite, quindi il sistema può avere un'unica soluzione, oppure non avere soluzioni, oppure avere infinite soluzioni. Qualunque cosa fosse, ma il metodo di Gauss ci porterà comunque alla risposta. In questo sta la sua versatilità.

L'inizio è di nuovo standard. Scriviamo la matrice estesa del sistema e, mediante trasformazioni elementari, la portiamo alla forma a gradini:

Questo è tutto e tu avevi paura.

(1) Nota che tutti i numeri nella prima colonna sono divisibili per 2, quindi un 2 va bene sul piolo in alto a sinistra. Alla seconda riga aggiungiamo la prima riga, moltiplicata per -4. Alla terza riga aggiungiamo la prima riga, moltiplicata per -2. Alla quarta riga aggiungiamo la prima riga, moltiplicata per -1.

Attenzione! Molti potrebbero essere tentati dalla quarta riga sottrarre prima linea. Questo può essere fatto, ma non è necessario, l'esperienza dimostra che la probabilità di un errore nei calcoli aumenta più volte. Basta sommare: alla quarta riga, aggiungi la prima riga, moltiplicata per -1 - esattamente!

(2) Le ultime tre righe sono proporzionali, due di esse possono essere cancellate.

Anche qui è necessario mostrare maggiore attenzione, ma le linee sono davvero proporzionali? Per la riassicurazione (soprattutto per una teiera), non sarebbe superfluo moltiplicare la seconda riga per -1 e dividere la quarta riga per 2, ottenendo tre righe identiche. E solo dopo rimuoverne due.

Per effetto di trasformazioni elementari, la matrice estesa del sistema si riduce ad una forma a gradini:

Quando si completa un'attività su un quaderno, è consigliabile prendere gli stessi appunti con una matita per chiarezza.

Riscriviamo il corrispondente sistema di equazioni:

La “solita” unica soluzione del sistema qui non ha odore. Non c'è nemmeno una brutta linea. Ciò significa che questo è il terzo caso rimanente: il sistema ha infinite soluzioni. A volte, a seconda delle condizioni, è necessario indagare sulla compatibilità del sistema (cioè dimostrare che esiste una soluzione), puoi leggere questo nell'ultimo paragrafo dell'articolo Come trovare il rango di una matrice? Ma per ora analizziamo le nozioni di base:

L'insieme infinito di soluzioni del sistema è brevemente scritto nella forma del cosiddetto soluzione generale del sistema .

Troveremo la soluzione generale del sistema utilizzando il moto inverso del metodo di Gauss.

Per prima cosa dobbiamo determinare quali variabili abbiamo di base e quali variabili gratuito. Non è necessario preoccuparsi dei termini dell'algebra lineare, basta ricordare che esistono variabili di base E variabili libere.

Le variabili di base "siedono" sempre rigorosamente sui gradini della matrice.
In questo esempio, le variabili di base sono e

Le variabili libere sono tutto residuo variabili che non hanno ottenuto un passo. Nel nostro caso ce ne sono due: – variabili libere.

Adesso ne hai bisogno Tutto variabili di base esprimere solo attraverso variabili libere.

Il movimento inverso dell’algoritmo gaussiano funziona tradizionalmente dal basso verso l’alto.
Dalla seconda equazione del sistema esprimiamo la variabile base:

Consideriamo ora la prima equazione: . Per prima cosa sostituiamo al suo interno l'espressione trovata:

Resta da esprimere la variabile base in termini di variabili libere:

Il risultato è ciò di cui hai bisogno: Tutto le variabili base ( e ) sono espresse solo attraverso variabili libere:

In realtà, la soluzione generale è pronta:

Come scrivere la soluzione generale?
Le variabili libere vengono scritte nella soluzione generale "da sole" e rigorosamente al loro posto. In questo caso, le variabili libere dovrebbero essere scritte nella seconda e nella quarta posizione:
.

Le espressioni risultanti per le variabili di base e ovviamente va scritto in prima e terza posizione:

Dare variabili libere valori arbitrari, ce ne sono infiniti decisioni private. I valori più popolari sono gli zeri, poiché la soluzione particolare è la più semplice da ottenere. Sostituisci nella soluzione generale:

è una decisione privata.

Quelli sono un'altra bella coppia, sostituiamo nella soluzione generale:

è un'altra soluzione particolare.

È facile vedere che il sistema di equazioni ha infinite soluzioni(poiché possiamo fornire variabili libere Qualunque valori)

Ogni una particolare soluzione deve soddisfare a ogni equazione del sistema. Questa è la base per un controllo “rapido” della correttezza della soluzione. Prendi, ad esempio, una soluzione particolare e sostituiscila nella parte sinistra di ciascuna equazione nel sistema originale:

Tutto deve combaciare. E con qualunque soluzione particolare si ottenga, anche tutto dovrebbe convergere.

Ma, a rigor di termini, la verifica di una particolare soluzione talvolta inganna; alcune soluzioni particolari possono soddisfare ciascuna equazione del sistema e la soluzione generale stessa viene effettivamente trovata in modo errato.

Pertanto, la verifica della soluzione generale è più approfondita e affidabile. Come verificare la soluzione generale risultante ?

È facile, ma piuttosto noioso. Dobbiamo prendere le espressioni di base variabili, in questo caso e , e sostituirli nella parte sinistra di ciascuna equazione del sistema.

A sinistra della prima equazione del sistema:

A sinistra della seconda equazione del sistema:


Si ottiene il lato destro dell'equazione originale.

Esempio 4

Risolvi il sistema utilizzando il metodo di Gauss. Trova una soluzione generale e due private. Controlla la soluzione complessiva.

Questo è un esempio fai da te. Anche in questo caso il numero di equazioni è inferiore al numero di incognite, il che significa che è immediatamente chiaro che il sistema sarà o incoerente o con un numero infinito di soluzioni. Cosa è importante nel processo decisionale stesso? Attenzione, e ancora attenzione. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

E un altro paio di esempi per rafforzare il materiale

Esempio 5

Risolvere un sistema di equazioni lineari. Se il sistema ha infinite soluzioni, trova due soluzioni particolari e verifica la soluzione generale

Soluzione: Scriviamo la matrice aumentata del sistema e con l'aiuto di trasformazioni elementari portiamola alla forma a gradini:

(1) Aggiungi la prima riga alla seconda riga. Alla terza riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per 2. Alla quarta riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per 3.
(2) Alla terza riga, aggiungi la seconda riga, moltiplicata per -5. Alla quarta riga aggiungiamo la seconda riga, moltiplicata per -7.
(3) La terza e la quarta riga sono uguali, ne cancelliamo una.

Ecco una tale bellezza:

Le variabili di base si trovano sui gradini, quindi sono variabili di base.
C'è solo una variabile libera, che non ha ottenuto un passaggio:

Movimento inverso:
Esprimiamo le variabili di base in termini di variabile libera:
Dalla terza equazione:

Considera la seconda equazione e sostituiscila con l'espressione trovata:

Considera la prima equazione e sostituisci le espressioni trovate e in essa:

Sì, una calcolatrice che conta le frazioni ordinarie è ancora conveniente.

Quindi la soluzione generale è:

Ancora una volta, come è successo? La variabile libera occupa da sola il suo legittimo quarto posto. Anche le espressioni risultanti per le variabili di base hanno preso la loro posizione ordinale.

Verifichiamo subito la soluzione generale. Lavoro per i neri, ma l'ho già fatto, quindi prendi =)

Sostituiamo tre eroi , , nella parte sinistra di ciascuna equazione del sistema:

Si ottengono i corrispondenti membri destri delle equazioni, quindi la soluzione generale viene trovata correttamente.

Ora dalla soluzione generale trovata otteniamo due soluzioni particolari. Lo chef qui è l'unica variabile libera. Non c'è bisogno di spaccarti la testa.

Allora è una decisione privata.
Allora è un'altra soluzione particolare.

Risposta: Decisione comune: , soluzioni particolari: , .

Invano mi sono ricordato dei neri qui ... ... perché mi sono venuti in mente tutti i tipi di motivi sadici e ho ricordato la famosa fotozhaba, in cui i Ku Klux Klansmen in tuta bianca corrono attraverso il campo dietro a un giocatore di football nero . Mi siedo e sorrido tranquillamente. Sai quanto distrae....

Molta matematica è dannosa, quindi un esempio finale simile per una soluzione indipendente.

Esempio 6

Trovare la soluzione generale del sistema di equazioni lineari.

Ho già controllato la soluzione generale, ci si può fidare della risposta. La tua soluzione potrebbe differire dalla mia soluzione, l'importante è che le soluzioni generali corrispondano.

Probabilmente molti hanno notato un momento spiacevole nelle soluzioni: molto spesso, durante il percorso inverso del metodo Gauss, abbiamo dovuto armeggiare con le frazioni ordinarie. In pratica questo è vero, i casi in cui non esistono frazioni sono molto meno comuni. Preparati mentalmente e, soprattutto, tecnicamente.

Mi soffermerò su alcune caratteristiche della soluzione che non sono state trovate negli esempi risolti.

La soluzione generale del sistema può talvolta includere una costante (o costanti), ad esempio: . Qui una delle variabili di base è uguale a un numero costante: . Non c'è niente di esotico in questo, succede. Ovviamente, in questo caso, qualsiasi soluzione particolare conterrà un cinque nella prima posizione.

Raramente, ma ci sono sistemi in cui il numero di equazioni è maggiore del numero di variabili. Il metodo gaussiano funziona nelle condizioni più severe; si dovrebbe portare con calma la matrice estesa del sistema in una forma a gradini secondo l'algoritmo standard. Un tale sistema potrebbe essere incoerente, potrebbe avere infinite soluzioni e, stranamente, potrebbe avere un’unica soluzione.

Indagare la compatibilità di un sistema di equazioni agebriche lineari (SLAE) significa scoprire se questo sistema ha soluzioni oppure no. Bene, se ci sono soluzioni, indica quante di esse.

Avremo bisogno di informazioni dall'argomento "Sistema di equazioni algebriche lineari. Termini di base. Notazione di matrici". In particolare, sono necessari concetti come matrice del sistema e matrice estesa del sistema, poiché su di essi si basa la formulazione del teorema di Kronecker-Capelli. Come al solito, la matrice del sistema sarà indicata con la lettera $A$, e la matrice estesa del sistema con la lettera $\widetilde(A)$.

Teorema di Kronecker-Capelli

Sistema lineare equazioni algebricheè coerente se e solo se il rango della matrice del sistema è uguale al rango della matrice estesa del sistema, cioè $\rango A=\rang\widetilde(A)$.

Ti ricordo che un sistema si dice articolato se ha almeno una soluzione. Il teorema di Kronecker-Capelli dice questo: se $\rang A=\rang\widetilde(A)$, allora esiste una soluzione; se $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, questo SLAE non ha soluzioni (è incoerente). La risposta alla domanda sul numero di queste soluzioni è data da un corollario del teorema di Kronecker-Capelli. L'enunciato del corollario utilizza la lettera $n$, che è uguale al numero di variabili nello SLAE specificato.

Corollario del teorema di Kronecker-Capelli

1. Se $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, lo SLAE è incoerente (non ha soluzioni).
2. Se $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Se $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, allora lo SLAE è definito (ha esattamente una soluzione).

Si noti che il teorema formulato ed il suo corollario non indicano come trovare la soluzione dello SLAE. Con il loro aiuto potrai solo scoprire se queste soluzioni esistono o meno e, se esistono, quante.

Esempio 1

Esplora SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned )\right.$ per coerenza Se lo SLAE è coerente, indicare il numero di soluzioni.

Per scoprire l'esistenza di soluzioni ad un dato SLAE, utilizziamo il teorema di Kronecker-Capelli. Ci occorre la matrice del sistema $A$ e la matrice estesa del sistema $\widetilde(A)$, le scriviamo:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(array)\right). $$

Dobbiamo trovare $\rang A$ e $\rang\widetilde(A)$. Esistono molti modi per farlo, alcuni dei quali sono elencati nella sezione Grado Matrix. Di solito, per studiare tali sistemi vengono utilizzati due metodi: "Calcolo del rango di una matrice per definizione" o "Calcolo del rango di una matrice mediante il metodo delle trasformazioni elementari".

Metodo numero 1. Calcolo dei ranghi per definizione.

Secondo la definizione, il rango è l'ordine più alto dei minori della matrice, tra i quali ce n'è almeno uno diverso da zero. Solitamente lo studio inizia con i minori del primo ordine, ma qui è più conveniente procedere subito al calcolo dei minori del terzo ordine della matrice $A$. Gli elementi del terzo ordine minore si trovano all'intersezione di tre righe e tre colonne della matrice in esame. Poiché la matrice $A$ contiene solo 3 righe e 3 colonne, il terzo ordine minore della matrice $A$ è il determinante della matrice $A$, cioè $\DeltaA$. Per calcolare il determinante, applichiamo la formula n. 2 dall'argomento "Formule per il calcolo dei determinanti del secondo e terzo ordine":

$$ \Delta A=\sinistra| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. $$

Quindi esiste un minore del terzo ordine della matrice $A$, che non è uguale a zero. Un minore di 4° ordine non può essere composto, poiché richiede 4 righe e 4 colonne, e la matrice $A$ ha solo 3 righe e 3 colonne. Quindi l'ordine minore più alto della matrice $A$, tra cui ce n'è almeno uno diverso da zero, è uguale a 3. Pertanto $\rang A=3$.

Dobbiamo anche trovare $\rang\widetilde(A)$. Diamo un'occhiata alla struttura della matrice $\widetilde(A)$. Fino alla riga della matrice $\widetilde(A)$ ci sono elementi della matrice $A$, e abbiamo scoperto che $\Delta A\neq 0$. Pertanto la matrice $\widetilde(A)$ ha un minore del terzo ordine diverso da zero. Non possiamo comporre i minori del quarto ordine della matrice $\widetilde(A)$, quindi concludiamo: $\rang\widetilde(A)=3$.

Poiché $\rang A=\rang\widetilde(A)$, secondo il teorema di Kronecker-Capelli, il sistema è consistente, cioè ha una soluzione (almeno una). Per indicare il numero di soluzioni, teniamo conto che il nostro SLAE contiene 3 incognite: $x_1$, $x_2$ e $x_3$. Poiché il numero di incognite è $n=3$, concludiamo: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, quindi, secondo il corollario del teorema di Kronecker-Capelli, il sistema è definito, cioè ha una soluzione unica.

Problema risolto. Quali sono gli svantaggi e i vantaggi di Da questa parte? Innanzitutto, parliamo dei professionisti. Innanzitutto, dovevamo trovare un solo determinante. Successivamente, abbiamo immediatamente concluso sul numero di soluzioni. Di solito, nei calcoli tipici standard, vengono forniti sistemi di equazioni che contengono tre incognite e hanno un'unica soluzione. Per tali sistemi questo metodo è molto conveniente perché sappiamo in anticipo che esiste una soluzione (altrimenti non ci sarebbe alcun esempio in un calcolo tipico). Quelli. non ci resta che dimostrare che esiste una soluzione per la maggior parte dei casi modo veloce. In secondo luogo, il valore calcolato del determinante della matrice del sistema (cioè $\Delta A$) tornerà utile in seguito: quando inizieremo a risolvere il sistema dato utilizzando il metodo Cramer o utilizzando la matrice inversa .

Tuttavia, per definizione, il metodo di calcolo del rango non è auspicabile se la matrice del sistema $A$ è rettangolare. In questo caso è meglio applicare il secondo metodo, che verrà discusso di seguito. Inoltre, se $\Delta A=0$, allora non saremo in grado di dire nulla sul numero di soluzioni per un dato SLAE disomogeneo. Forse SLAE ha un numero infinito di soluzioni, o forse nessuna. Se $\Delta A=0$, sono necessarie ulteriori ricerche, il che è spesso complicato.

Riassumendo quanto detto, osservo che il primo metodo va bene per quegli SLAE la cui matrice di sistema è quadrata. Allo stesso tempo, lo stesso SLAE contiene tre o quattro incognite ed è tratto da calcoli standard o lavori di controllo.

Metodo numero 2. Calcolo del rango mediante il metodo delle trasformazioni elementari.

Questo metodo è descritto in dettaglio nell'argomento corrispondente. Calcoleremo il rango della matrice $\widetilde(A)$. Perché le matrici $\widetilde(A)$ e non $A$? Il punto è che la matrice $A$ è una parte della matrice $\widetilde(A)$, quindi calcolando il rango della matrice $\widetilde(A)$ troveremo contemporaneamente il rango della matrice $A$ .

\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(scambia la prima e la seconda riga)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ r_2-3r_1\\ r_3+4r_1 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array) (ccc| c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0 ) \\ \phantom(0)\\ r_3-2r_2 \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(array) \right) \end(aligned)

Abbiamo ridotto la matrice $\widetilde(A)$ ad una forma a gradini . La matrice a gradini risultante ha tre righe diverse da zero, quindi il suo rango è 3. Pertanto, il rango della matrice $\widetilde(A)$ è 3, ovvero $\rango\widetilde(A)=3$. Effettuando trasformazioni con gli elementi della matrice $\widetilde(A)$, abbiamo trasformato contemporaneamente gli elementi della matrice $A$ posti prima della linea. Anche la matrice $A$ è a gradini: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \ giusto )$. Conclusione: anche il rango della matrice $A$ è uguale a 3, cioè $\rango A=3$.

Poiché $\rang A=\rang\widetilde(A)$, secondo il teorema di Kronecker-Capelli, il sistema è consistente, cioè ha una soluzione. Per indicare il numero di soluzioni, teniamo conto che il nostro SLAE contiene 3 incognite: $x_1$, $x_2$ e $x_3$. Poiché il numero di incognite è $n=3$, concludiamo: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, quindi, secondo il corollario del teorema di Kronecker-Capelli, il sistema è definito, cioè ha una soluzione unica.

Quali sono i vantaggi del secondo metodo? Il vantaggio principale è la sua versatilità. A noi non importa se la matrice del sistema è quadrata oppure no. Inoltre, abbiamo effettivamente effettuato trasformazioni in avanti del metodo di Gauss. Mancano solo un paio di passaggi e potremmo ottenere la soluzione di questo SLAE. Ad essere sincero, mi piace più il secondo modo del primo, ma la scelta è una questione di gusti.

Risposta: lo SLAE fornito è coerente e definito.

Esempio n.2

Esplora SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(aligned) \right.$ per coerenza.

Troveremo i ranghi della matrice del sistema e della matrice estesa del sistema mediante il metodo delle trasformazioni elementari. Matrice di sistema estesa: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Troviamo i ranghi richiesti trasformando la matrice aumentata del sistema:

$$ \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4 -3r_1\\r_5-2r_1\end(array)\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\r_3-r_2\\ r_4-r_2\\r_5+r_2\end(array)\rightarrow\\ $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \ destra) \begin(array) (l) \phantom(0)\\\phantom(0)\\\phantom(0)\\ r_4-r_3\\\phantom(0)\end(array)\rightarrow \left (\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right) $$

La matrice estesa del sistema si riduce ad una forma a gradini. Il rango di una matrice a gradini è uguale al numero delle sue righe diverse da zero, quindi $\rang\widetilde(A)=3$. Anche la matrice $A$ (fino alla linea) è ridotta a una forma a gradini e il suo rango è pari a 2, $\rang(A)=2$.

Poiché $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, allora, secondo il teorema di Kronecker-Capelli, il sistema è incoerente (cioè non ha soluzioni).

Risposta: Il sistema è incoerente.

Esempio n.3

Esplora SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(allineato) \right.$ per compatibilità.

Portiamo la matrice aumentata del sistema in una forma a gradini:

$$ \left(\begin(array)(ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right) \overset (r_1\leftrightarrow(r_3))(\rightarrow) $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2-2r_1 \\r_3+3r_1 \\ r_4+5r_1 \\ r_5-7r_1 \end( array) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 3 & - 2 & 0 & -1 & -13\\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 \end(array) \right) \begin( array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \end(array) \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin (array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0 )\\ \phantom(0)\\\phantom(0) \\ r_4-r_3 \\ r_5+r_2 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right) $$

Abbiamo ridotto la matrice estesa del sistema e la matrice del sistema stesso ad una forma a gradini. Il rango della matrice estesa del sistema è pari a tre, anche il rango della matrice del sistema è pari a tre. Poiché il sistema contiene $n=5$ incognite, cioè $\rang\widetilde(A)=\rang(A)\lt(n)$, allora, secondo il corollario del teorema di Kronecker-Capelli, questo sistema è indeterminato, cioè ha un numero infinito di soluzioni.

Risposta: il sistema è indeterminato.

Nella seconda parte analizzeremo esempi che spesso rientrano nei calcoli standard o nei test di matematica superiore: lo studio della compatibilità e la soluzione dello SLAE in funzione dei valori dei parametri in esso inclusi.

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trascrizione

1 1 Numero di soluzioni del sistema di equazioni Metodo grafico dinamico Per trovare il numero di soluzioni di un sistema di equazioni contenente un parametro, è utile il seguente metodo: costruiamo grafici di ciascuna delle equazioni per un certo valore fisso del parametro e trova il numero di punti comuni dei grafici costruiti. Ogni punto comune è una delle soluzioni del sistema. Successivamente, cambiamo mentalmente il parametro e immaginiamo come viene trasformato il grafico dell'equazione con il parametro, come i punti comuni dei i grafici appaiono e scompaiono. Tale studio richiede un'immaginazione sviluppata. Per allenare l'immaginazione, prenderemo in considerazione una serie di compiti tipici. Chiamiamo valori dei parametri speciali quei valori ai quali cambia il numero di soluzioni. si toccano o il punto d'angolo di uno dei grafici cade su un altro grafico Di regola, quando passa per un punto singolare, il numero delle soluzioni cambia di due, e in tale punto stesso differisce di uno dal numero delle soluzioni con una piccola variazione nel parametro Considera i problemi in cui è richiesto di trovare il numero di soluzioni del sistema di equazioni, una delle quali dipende dal parametro a e l'altra non dipende Variabili nei sistemi xey Consideriamo i numeri xi, yi, r a cui devono essere date costanti Nel corso di ciascuna soluzione, costruiamo i grafici di entrambe le equazioni modificando il valore del parametro Quindi traiamo una conclusione sul numero di soluzioni (punti comuni dei grafici costruiti) Nella figura interattiva, le il grafico dell'equazione senza parametro è mostrato in blu, e il grafico dinamico dell'equazione con un parametro è mostrato in rosso Per studiare l'argomento (compiti 1 7), utilizzare il file InMA 11, 5 Soluzioni numeriche del sistema con il parametro Per la ricerca (task 8) utilizzare il file GInMA Numero di soluzioni del sistema con il parametro (x x0) + (y y0) = r ; 1 Trovare il numero di soluzioni del sistema (x x1) + y = a (x x0) + (y y 0) = r ; Trovare il numero di soluzioni del sistema y = kx + a (x x0) + (y y0) = r ; 3 Trovare il numero di soluzioni del sistema y = ax + y1 (x x0) + (y y0) = r ; 4 Trovare il numero di soluzioni del sistema (x x1) + y = a (x x0) + y y0 = r ; 5 Trovare il numero di soluzioni del sistema (x x0) + (y y0) = a (x x0) + (y y0) = r ; 6 Trovare il numero di soluzioni del sistema y = x a + y1 x x0 + y y0 = r; 7 Trovare il numero di soluzioni del sistema (x x0) + (y y0) = a f (x, y) = 0; g (x, y, a) = 0 8 Trova il numero di soluzioni del sistema VV Shelomovsky Set tematici, cmdru/

2 1 Grafici di equazioni curve lisce (x x0) + (y y0) = r ; 1 Compito Trova il numero di soluzioni del sistema (x x1) + y \u003d a Soluzione: Il grafico della prima equazione è un cerchio di raggio r centrato nel punto O (x0; y0) Il grafico della seconda equazione è a cerchio di raggio a centrato sull'asse x nel punto A (x1 ; 0) Il centro del cerchio è fisso, il raggio determina il parametro Quando il modulo del parametro aumenta, il cerchio “si gonfia” I valori speciali del parametro sono quei valori ai quali cambia il numero di radici, cioè i valori del parametro ai quali il cerchio del secondo grafico tocca il cerchio del primo La condizione affinché i cerchi tocchino il modulo di la somma o la differenza dei raggi dei cerchi è uguale alla distanza da centro a centro: a ± r = AO a = ± AO ± r Ricerca: modificando il valore delle variabili e del parametro, trovare il numero di soluzioni della sistema quando l'asse comune dei cerchi è verticale B caso generale utilizzare i triangoli pitagorici Ad esempio, x0 x1 = 3, y0 = ±4 In genere, sia per i valori di modulo piccolo che per quelli di modulo grande del parametro, non ci sono soluzioni. Poiché due cerchi non coincidenti non possono avere più di due punti comuni , il numero di soluzioni nel caso generale non è superiore a due Nei punti di contatto, il numero di soluzioni è uguale a uno, con valori intermedi del parametro, 2. Compito creativo Trova il valore del parametro in cui tre punti diversi (x1) + (yy0) = 9; sono soluzioni del sistema di equazioni (x x1) + y = a (x x0) + (y y0) = r ; Compito Trova il numero di soluzioni del sistema y \u003d kx + a Soluzione: Il grafico della prima equazione è un cerchio di raggio r centrato nel punto O (x0; y0) Il grafico della seconda equazione è una famiglia di parallele rette passanti per i punti A (0; a) ed aventi pendenza costante La tangente della pendenza delle rette è pari a k ​​All'aumentare del parametro le rette si spostano verso l'alto I valori dei parametri speciali sono quei valori a cui cambia il numero di radici, cioè i valori dei parametri in corrispondenza dei quali le rette toccano il cerchio La condizione di tangenza si trova uguagliando le tangenti dell'angolo di inclinazione del cerchio e della retta cmdru/

3 3 Risolvendo l'equazione risultante, troviamo le coordinate di due punti di contatto: kr x = x0 ± ; x0 x 1 + k = k k (y y0) + (y y0) = r r y y0 y = y0 1+ k : Modificando il valore delle variabili e del parametro, trovare il numero di soluzioni del sistema. inizia lo studio con il caso più semplice k = 0, quando le linee sono parallele all'asse X. Quindi considera i casi in cui viene estratta la radice (ad esempio k = 3), presta attenzione al caso popolare k = 1. Per piccoli e at grandi valori non esiste alcun parametro di soluzione Poiché una retta e un cerchio non possono avere più di due punti in comune, il numero di soluzioni non è superiore a due. Per valori di parametro corrispondenti alla tangenza, il numero di soluzioni è uguale a uno, per valori intermedi valori del parametro, due Compito creativo È noto che questo sistema di equazioni non ha più di una soluzione Trova il valore del parametro per il quale il sistema di equazioni ha una soluzione: (x) + (y 3) = r ; y = x + a (x x0) + (y y0) = r ; 3 Trova il numero di soluzioni del sistema y \u003d ax + y1 Soluzione: Il grafico della prima equazione è un cerchio di raggio r centrato nel punto O (x0; y0) Il grafico della seconda equazione è una famiglia di linee passante per il punto A (0; y1) La tangente della pendenza delle rette (a) determina il valore del parametro All'aumentare del parametro aumenta l'angolo tra il grafico e la direzione positiva dell'ascissa Valori speciali del parametro sono quei valori ai quali cambia il numero di radici, cioè i valori del parametro ai quali le linee toccano il cerchio Se il punto A (0; y1) è all'interno del cerchio , allora tutti i possibili una retta interseca il cerchio in due punti. La condizione di tangenza si trova uguagliando le tangenti dell'inclinazione del cerchio e della retta. Risolvendo l'equazione risultante, troviamo le coordinate dei due punti tangenti: VV Shelomovsky

4 4 ar x = x0 ± ; x0 x 1 + a = a a (y y0) + (y y0) = r r y y0 y = y0 1+ a valori singolari del parametro a = ± r Se y0 = y1, x0 r, allora valori singolari di il parametro a = ± (y1 y 0) r r x0 Se x0 = ± r, allora il cerchio tocca la linea verticale che passa per il punto r (y1 y 0) A(0; y1) e il valore del parametro a = Negli altri casi x0 (y1 y 0) a= x0 (y 0 y1) ± r (x0 + (y 0 y1) r) r x0 Ricerca: modificando il valore delle variabili e del parametro, trova il numero di soluzioni del sistema È consigliabile iniziare lo studio con il caso più semplice y0 = y1, x0< r, когда точка А(0; у1) внутри окружности и число решений всегда равно двум Рассмотрите случай х0 = r, когда число решений легко найти (х0 = r =, y0 = 3, y1 =) Затем рассмотрите случаи, когда корень хорошо извлекается (например, х0 = 3, y0 = 4, r =, y1 =) Поскольку прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек, число решений не более двух При значениях параметра, соответствующих касанию, число решений равно единице, при остальных значениях параметра нулю или двум (x + 3) + (y 5) = r ; при всех y = ax + 1 Творческое задание Известно, что система уравнений значениях параметра, кроме одного, имеет два решения Найдите то значение параметра, при котором система уравнений имеет единственное решение (x x0) + (y y0) = r ; 4 Задание Найдите число решений системы (x x1) + y = a Решение: В ходе решения строим графики каждого из уравнений и исследуем число общих точек построенных графиков График первого уравнения это пара окружностей одинакового радиуса r Центры окружностей O и Q имеют одинаковую ординату y0 и ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

5 5 ascisse identiche in valore assoluto ma diverse nel segno ±x0 I grafici sono mostrati in blu e viola Il grafico della seconda equazione è un cerchio di raggio a centrato sull'asse delle ascisse nel punto A(x1; 0) Valori speciali di i parametri sono quei valori ai quali cambia il numero di radici, cioè i valori del parametro ai quali il cerchio del secondo grafico tocca i cerchi del primo Condizioni per toccare la somma o la differenza dei raggi dei cerchi è uguale alla distanza da centro a centro: a ± r = AO, a ± r = AQ Indagine: modificando il valore delle variabili e del parametro, trovare il numero di soluzioni dei valori di sistema per uno distanza da centro a centro (ad esempio x0 = 6, y0 = 3, r = 3, x1 =) In genere, per moduli piccoli e valori grandi del parametro, non ci sono soluzioni. Nei punti di contatto, il numero di radici è dispari, negli altri punti il ​​numero di radici è pari ( x 6) + (y y 0) = r; Compito creativo È noto che il sistema di equazioni in (x x1) + y = a ha esattamente due soluzioni per un certo valore del parametro A questo valore del parametro, i grafici si toccano Trova questo valore del parametro (x x0) + y y0 = r; 5 Trovare il numero di soluzioni del sistema (x x0) + (y y0) = a Soluzione: Il grafico della prima equazione è costituito da una coppia di parabole che si incontrano in y = y0 Equazioni di parabole y = y0 ± (r ( x x0)) Hanno un asse di simmetria orizzontale y = y0, asse di simmetria verticale x = x0 Centro del punto di simmetria (x0, y0) Il secondo grafico è un cerchio di raggio a, il cui centro si trova al centro di simmetria delle parabole Nel punto di contatto: x = x0, y = y0 ± r = y = y0 ± à, quindi à = ± r da un sistema di equazioni ad un'equazione ad una variabile: (y y 0) = a (x x0) = (r (x x0)) Questa è un'equazione quadratica per (x x 0) Ha una radice se il discriminante è zero: VV Shelomovsky Set tematici, cmdru/

6 6 D = (r 0.5) (r a) = 0, a = ± r 1 4 Il numero di radici cambia con un valore del parametro in cui il cerchio e la parabola si intersecano nei punti di interruzione del primo grafico, che è, in y = y0 Ricerca: Modificando il valore delle variabili e del parametro, trovare il numero di soluzioni del sistema Utilizzare i valori r = 1, 4 e 9 Notare che i parametri x0 e y0 non influenzano il risposta del problema Per valori piccoli e grandi del parametro non esistono soluzioni x x0 + y y0 = r; 6 Trovare il numero di soluzioni del sistema (x x0) + (y y0) = a Soluzione: Il grafico della prima equazione è un quadrato inclinato di un angolo di 45 rispetto agli assi coordinati, lungo la metà della diagonale di che è r Il secondo grafico è un cerchio di raggio a, il cui centro si trova nel centro di simmetria del quadrato Il numero di radici cambia in base al valore del parametro in cui il cerchio passa per i vertici del quadrato In questo caso, y = y0, a = ±r Il numero di radici cambia al valore del parametro per il quale il cerchio tocca internamente i lati del quadrato Per trovare questo valore passiamo da un sistema di equazioni a un'equazione con una variabile : (y y 0) = a (x x0) = (r x x0) Questa è un'equazione quadratica per x x 0 Ha una radice se il discriminante è zero In questo caso a = ± r Il raggio del cerchio in questo caso si riferisce a il raggio nel caso precedente, come sin 45: 1 VV Shelomovsky Set tematici, cmdru/

7 7 (x x0) + (y y0) = r ; 7 Trovare il numero di soluzioni del sistema y = x a + y1 Il grafico della prima equazione è un cerchio con centro O(x0; y0) Il grafico della seconda equazione è costituito da due raggi con un inizio comune, questo è “ a bird, Wings Up”, la parte superiore del grafico si trova nel punto A (a; y1) Il numero di radici cambia in base al valore del parametro in cui l’“ala” del secondo grafico tocca il cerchio o il vertice di il grafico giace su questo cerchio. questa ala tocca il cerchio nei punti (xk; yk) tali che r yk = y0 La condizione di tangenza yk = xk a + y1 a = xk yka + y1= x0 y0 + y1 ± r Poiché il " ala" è un raggio che va verso l'alto, si aggiunge la condizione che l'ordinata del vertice non sia maggiore dell'ordinata del punto tangente, cioè y1 yk y0 y1 ± r Allo stesso modo scriviamo le condizioni di tangenza con l'“ala sinistra” Se il vertice del grafico giace su un cerchio, allora le sue coordinate soddisfano l'equazione del cerchio: (a x0) + (y1 y0) = r Modificando il valore del parametro, esplora il numero di soluzioni del sistema, cioè il numero dei punti comuni dei grafici In punti speciali il numero di radici è dispari, in altri punti il ​​numero di radici è pari (x) + (y y 0) = r, Compito creativo È noto che il sistema di equazioni per y = x a + y1, un valore del parametro ha tre soluzioni Trovare questo valore del parametro se è noto che le ordinate delle due soluzioni coincidono f (x, y) = 0; g (x, y, a) = 0 8 Trova il numero di soluzioni del sistema Imposta tu stesso le funzioni in base al modello ed esplora il numero di soluzioni VV Shelomovsky Set tematici, cmdru/

8 8 VV Shelomovsky Set tematici, cmdru/

9 9 Compiti С5 (Semyonov Yashchenko) Opzione 1 Trova tutti i valori di a, per ognuno dei quali l'insieme delle soluzioni della disuguaglianza 4 x 1 x+ 3 a 3 è il segmento 3 a 4 x Pensiero Eseguiamo trasformazioni x b 1, 1 x b 1, 4 x 1 x+ 3 a x b 3=, b=3 a 3 a 4 x x (x) 0, (x +1) b 1 0 Le linee di confine del piano x 3a sono: x = 0, x = , x= 3a, x=± 3 a a= (x+ 1) 1 4 Se 0 x, allora b< 4x, b (x +1) 1 Так как 4x >(x +1) 1, allora b (x +1) 1 Se 0 > x allora b > 4x, (x +1) 1 b Esiste una soluzione per 1 b Ad esempio, x = 1 Se x > allora b > 4x, (x +1) 1 b Da 4x< (x +1) 1, то (x +1) 1 b Значит, решения таковы Если 3а >8, allora x [ 3 a + 1 1.0] [, 3 a + 1 1] Se 0< 3а < 8, то Если 3а = 0, то х [,0) (0, ] Если 1< 3а < 0, то х [ 3 a +1 1, 3 a+1 1] [ 0, ] Если 1 = 3а, то х 1 } Если 1 >3a, allora x Soluzione Sia 1 3a Allora x = 1 soddisfa la disuguaglianza, 4 x 1 x+ 3 a 16+3 a 3 a 3 = 3 =, una contraddizione, questo numero è fuori dall'intervallo 3 a 4 x 3 a+ 4 3 a +4 Sia 1 > 3а Allora x b 1, 4 x 1 x+3 a x b 3=, b=3 a< 1 3 a 4 x 1 x b 1, x (x) 0, (x +1) b 1 0 Числа из промежутка 0 х удовлетворяют обоим неравенствам Если x >, allora la prima disuguaglianza non è soddisfatta VV Shelomovsky Insiemi tematici, cmdru/

10 10 Se 0 > x, allora b (x +1) 1, la seconda disuguaglianza non è soddisfatta Risposta: 1 > 3a Opzione 3 Trova tutti i valori di a, per ciascuno dei quali l'equazione a +7 x x + x + 5 ha almeno una radice = a+ 3 x 4 a +1 Pensare Sia f (a, x)=a +7 x x + x +5 a 3 x 4 a+1 Punto singolare della funzione x + 1 = 0 Se x = 1, allora l'equazione è a +10 a 1 a =0 È facile trovarne le quattro soluzioni È necessario dimostrare che la funzione originaria è sempre maggiore di questa Soluzione Sia f (a, x)=a + 7 x x + x +5 a 3 x 4 a+1 Equazione f (a, x)=0 Allora f (a, 1)=a +10 a 1 a =0 Differenza f (a, x) f (a, 1) =7 x +1 +5(x + x +5)+ 3 4 a 3 x 4 a+1 3(x a 4 a x 1) 0 Pertanto l'equazione f (a, x)=0 ha radici solo se f ( a, 1) 0 L'equazione f (a, 1)=0 ha quattro radici a 1= , a = , a 3= , a 4 = Funzione f (a, 1) 0 (non positiva) per a Ad esempio, se a = 10, cioè la radice x) f (a, 1)>0 Nessuna radice Risposta: [ 5 15, 5+ 15] Opzione 5 Trova tutti i valori di a, per ciascuno dei quali l'equazione a +11 x+ +3 x + 4 x + ha almeno una radice 13=5 a+ x a + Utilizzare la funzione f (a,)=a +9 5 a 4 a =0 e la disuguaglianza f (a, x) f (a, ) (x+ + a x a+) 0 Risposta: [ , ] Opzione 9 Trovare il numero di radici dell'equazione x + 4x 5 3a = x + a 1 Pensiamo Consideriamo nota la seguente (ovvia) affermazione Siano le funzioni f (x) e g(x) siano dati su un certo intervallo. Lascia che la derivata di uno sia maggiore sull'intervallo dell'altro. Lascia che la differenza tra i valori delle funzioni abbia un segno all'estremità sinistra, l'altro a destra end Allora l'equazione f(x) = g(x) ha esattamente una radice nell'intervallo Soluzione Denotiamo f(x, a) = 3а + x + a, g(x) = x + 4x Equazione f(x, a) = g(x) VV Shelomovsky Set tematici, cmdru/

11 11 I punti singolari della funzione g(x) sono minimi in x = 1 e x = 5 e massimi in x = Valori g(1) = g(5) = 1, g() = 10 La funzione ha un asse di simmetria x = 3 A Per valori di x maggiori in modulo, la funzione quadratica g(x) è maggiore della funzione lineare f(x, a) La pendenza della funzione fuori dall'intervallo [5,1] è determinato dalla derivata (x + 4x 5)" = x per x > 1 La funzione g(x) per x > 1 aumenta monotonicamente con un fattore maggiore di 6 Per simmetria, la funzione g(x) diminuisce monotonicamente con un fattore maggiore di 6 in x< 5 Наклон g(x) равен 1 только на промежутке (5, 1) При этом производная (x 4x + 5)" = x 4 = 1 Значит, в точке x = 5 наклон равен 1 Функция f(x, a) = 3а + x + a монотонно убывает с коэффициентом 1 при x + а < 0 и монотонно возрастает с коэффициентом 1 при x + а >0 Valori in un numero di punti f(a, a) = 3a, f(5, a) = 3a + 5 a, f(, a) = 3a + a, f(1, a) = 3a + 1 + a I grafici f (x, a) e g(x) si toccano se le loro pendenze sono uguali Il contatto è possibile in x = 5 In questo caso, g(x) = 39/4 f(x, a) = 4a + x = 39/4, 4a = 49 /4, a = 49/16 Analizziamo le radici dell'equazione f(x, a) = g(x) Se a<, f(5, a) = а +5 < 1, f(1, a) = а 1 < 5 f(x, a) < g(x), так как в промежутке 5 < x < 1 f(x, a) < 1 < g(x) Если x >1, g(x) cresce più velocemente di f(x, a), cioè ovunque f(x, a)< g(x) Если x < 5, g(x) убывает быстрее, чем f(x, a), то есть всюду f(x, a) < g(x) Других корней нет Если a =, f(5, a) = 1, f(1, a) = 5 f(5,) = g(5) Один корень х = 5 Во всех других точках f(x, a) < g(x), как и в предыдущем случае Если < a < 0, f(5, a) = а +5 >1, f(1, a) = 4a + 1< 1f(, a) = а + < 10 При x >f(x, a)< g(x), корней нет При x < f(1,a) >1 Alle x< 5 быстро убывающая g(x) пересекает медленно убывающую левую ветвь f(x,а), один корень При 5 < x < возрастающая g(x) пересекает убывающую f(x,а), один корень, всего корней два, один при x < 5, второй при 5 < x < Если a = 0, f(5, a) = 5, f(1, a) = 1 f(1, a) = g(1), один корень х = 1 Как и раньше, один корень при x < 5, один корень при 5 < x < Всего корней три Если 0 < a < 3, корней 4, два на левой ветке f(х, a) при x <, два на правой при x >Se a = 3, f(3, 3) = 8 = g(3), f(, 3) = 10 = g(), radici 4, uno due sul ramo sinistro di f(x, a) in x< 5, один в вершине f(х, 3) при x = 3, один в вершине g(x) при x =, один при x >1 Se 3< a < 49/16, корней 4, один на левой ветке f(х, a) при x < 5, два на правой ветви g(x) при 3 < x <, один при x >1 Se a = 49/16, allora il numero di radici è 3, una sul ramo sinistro di f(x, a) in x< 5, один в точке касания при x = 5, один при x >1 Se a > 49/16, allora il numero di radici, una sul ramo sinistro di f(x, a) in x< 5, один на правой при x >1 risposta: nessuna radice per a< ; один корень при a =, два корня при < a < 0 или 49/16 < a, три корня при a = 0 или а = 49/16, четыре корня при 0 < a < 49/16 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

12 1 Opzione 10 Trova tutti i valori del parametro a, per ognuno dei quali l'equazione 4x 3x x + a = 9 x 3 ha due radici Soluzione Denota f(x, a) = 4x 3x x + a, g(x ) = 9 x 3 Il punto singolare della funzione g(x) è x = 3 La funzione diminuisce monotonicamente di un fattore 9 come x< 3 и монотонно возрастает с коэффициентом 9 при x >3 La funzione f(x, a) è lineare a tratti con coefficienti 8, 6 o 0 Pertanto non diminuisce in x, il suo tasso di crescita è inferiore a quello del ramo destro della funzione 9 x 3 f(3, a) = a Grafico di questa l'espressione è una polilinea con vertici (1, 1), (3, 3), (6, 1) I valori della funzione sono positivi per a (4, 18) Ne consegue da cosa è stato trovato Se f(3, a)< 0, уравнение не может иметь корней, так как g(x) >f(x, a) Se f(3, a) = 0, l'equazione ha esattamente una radice x = 3 Per gli altri x g(x) > f(x, a) Se f(3, a) > 0, l'equazione ha esattamente due radici, una per x< 3, когда пересекаются убывающая ветвь g(x) и монотонно не убывающая f(x, a) Другой при x >3, quando il ramo a crescita rapida g(x) interseca il ramo a crescita lenta f(x, a) Risposta: a (4, 18) Opzione 11 Trova tutti i valori del parametro a, per ciascuno dei quali, per qualsiasi valore del parametro b, ha almeno una soluzione del sistema di equazioni (1+ 3 x)a +(b 4 b+5) y =, x y +(b) x y+ a + a=3 Pensiero Il sistema è simile a (1 + 3 x)a +(1+(b) ) y =, Convenientemente x y +(b) x y=4 (a+ 1) a (1+3 x) =1, La soluzione x = y = 0 e x y =4 (a +1) si vedono i valori dei parametri corrispondenti a = 1 e a = 3 analizza il punto singolare b = Allora (1+ 3 x)a +(1+(b)) y =, x y +(b) x y= 4 (a+ 1) Soluzione Scriviamo il sistema come Soluzione x = y = 0 esiste sempre per a = 1 oppure a = 3 Se b =, allora il sistema ha la forma (1+ 3 x)a +1 y =, oppure x y =4 (a +1) (1+3 x)a=1, x y =4 (a +1) Se a > 1 o a< 3 система не имеет решений, так как их не имеет второе уравнение Если 1 < a < 3, из второго уравнения получим, что x >0, dalla prima troviamo a = 0 Sia a = 0 Quindi per b = 4 dalla prima equazione otteniamo che y = 0 In questo caso la seconda equazione non ha soluzione Risposta: 1 o 3 VV Shelomovsky Set tematici, cmdru /

13 13 Opzione 14 Trova tutti i valori del parametro, per ciascuno dei quali assume il modulo della differenza delle radici dell'equazione x 6x a 4a = 0 valore più alto Soluzione Scriviamo l'equazione nella forma (x 3) = 1 (a) La sua soluzione = 0 a causa della periodicità delle funzioni seno e coseno, il problema può essere risolto per il segmento x=3± 1 (a) Il più grande differenza delle radici è uguale a a = Risposta: Opzione 15 Trovare tutti i valori del parametro, per ognuno dei quali l'equazione (4 4 k) sin t =1 ha almeno una soluzione sull'intervallo [ 3 π ; 5 π ] cost t 4 sin t Soluzione A causa della periodicità delle funzioni seno e coseno, il problema può essere risolto per l'intervallo t [ π ; 15 π ], quindi sottrai 4π da ciascuna soluzione ottenuta Trasforma l'equazione nella forma + 4 k sin t cos t \u003d 0 cos t 4 sin t Sul segmento t [ π ; 15 π] il seno diminuisce monotonicamente da zero a meno uno, il coseno aumenta monotonicamente da meno uno a zero Il denominatore svanisce a 4tgt = 1, cioè a sin t = 1 4, cos t = t = 15π è uguale a 4k Se k 0, il numeratore è positivo e l'equazione non ha radici Se k > 0, entrambi i termini variabili del numeratore diminuiscono, cioè il numeratore cambia monotonicamente Quindi, il numeratore assume valore zero esattamente una volta, se k 05 ed è positivo per valori più piccoli k L'equazione ha radice se il numeratore è zero e il denominatore non è zero, cioè nel caso 4k =+ 4 k sin t cos t + k Risposta: k [ 05,+)\1+ ) Opzione 18 Trova tutti i valori del parametro, per ciascuno dei quali il sistema di equazioni (x a 5) + (y 3 a +5) \u003d 16, (x a) + (y a + 1) \u003d 81 ha un soluzione unica Pensiamo che ogni equazione descriva un cerchio La soluzione è unica nel caso di cerchi che si toccano Soluzione La prima equazione definisce un cerchio centrato nel punto (a + 5, 3a 5) e raggio 4 La seconda equazione è un cerchio centrato nel punto (a + 5, 3a 5) e raggio 4 punto (a +, a 1) con raggio 9 VV Shelomovsky Set tematici, cmdru/

14 14 Il sistema ha un'unica soluzione se le circonferenze sono tangenti In questo caso la distanza tra i centri è = 13 ovvero 0 4 = 5 Il quadrato della distanza dei centri: ((a + 5) (a +)) + ( (3a 5) (a 1)) = a a + 5 Se la distanza è 5, allora a = 0 oppure a = 1 Se la distanza è 13, allora a = 8 oppure a = 9 Risposta: 8, 0, 1, 9 Opzione 1 Trova tutti i valori del parametro, ognuno dei quali ha esattamente due soluzioni non negative dell'equazione 10 0,1 x a 5 x + a \u003d 004 x Soluzione Eseguiamo trasformazioni 5 x a 5 x + a \u003d 5 x Denota t \ u003d 5x 1 A causa della monotonia della funzione esponenziale 5x, ogni radice t 1 genera esattamente una radice x 0 L'equazione assume la forma t a t+ a t =0 Se a t, allora t + 3t + a = 0 non ci sono radici maggiori di 1 Se t > a t/, allora t t + 3a = 0 t/ > a, allora t 3t a = 0 Per t > 1, la funzione t 3t diminuisce monotonicamente da at = 1 a 5 at = 15 e poi aumenta monotonicamente Quindi, per 5 > a ci sono due radici, per a più piccolo non ci sono radici, per a grande la radice è esattamente una Risposta: 5 > a Variante A seconda del parametro, trovare il numero di soluzioni del sistema x ( a+1) x+ a 3= y, y (a+1) y + a 3= x Pensiamo che il sistema sia f( x)= y, f(y)= x, oppure f(f(х)) = x x y) = 0 Sia x = y Sostituisci nella prima equazione, trasformiamo Otteniamo (x a 1) = 4 + a Sia x + y = a Sostituisci nella prima equazione, trasformiamo: (x a) = 3 + a Se a<, корней нет Если a =, то x = y = a + 1, единственное решение Если 15 >a >, cioè una coppia di soluzioni x= y =a+ 1± 4+ a Se a = 15, allora due soluzioni: x = y = a, x = y = a + Se 15< a то решения x= y =a+ 1± 4+ a, x=a± 3+ a, y= a x Ответ: a < нет решений, а = одно, 15 a >, due soluzioni, a > 15 quattro soluzioni VV Shelomovsky Set tematici, cmdru/

15 15 Opzione 4 Trova tutti i valori di a, per ognuno dei quali l'equazione 7 x 6 +(4 a x)3 +6 x +8 a=4 x non ha radici Pensare 8a 4x = (4a x), 7x6 = (3x)3 Ciò significa che l'equazione comprende la somma e la somma dei cubi delle stesse espressioni. Può essere utilizzata Soluzione Trasformiamo l'equazione nella forma (3 x)3 +(4 a x)3+ (3 x + 4 a x)=0 Espandi la somma dei cubi (3 x +4 a x) ( (3 x) 3 x (4 a x)+(4 a x) +)=0 Il secondo fattore è il quadrato incompleto della differenza aumentata di È positivo Selezionando il quadrato nel primo fattore, otteniamo 1 1 3(x) + 4 a = Questa equazione non ha radici, se 4 a > 0, a > 3 1 Risposta: 1a > 1 Opzione 8 Trova il valori​​a, per ciascuno dei quali il valore più grande della funzione x a x non è inferiore a uno Soluzione Se x a, la funzione f (x, a) \u003d x a x È massimo per x = 0,5, il massimo è 0,5 a All'a< 0,5 наибольшее значение функции 0,5 а 1 при 075 а Если x < a, функция f(x,a) = a x x Она максимальна при x = 0,5, максимум равен a + 05 При a >0.5 è il valore più grande della funzione a + 0.5 1 con a 0.75 Risposta: a 0.75 o 075 a a, x = 8y + b ha un numero pari di soluzioni Soluzione: Dalla prima equazione segue che y > 0, la seconda l'equazione può essere 8 trasformata nella forma: y=, x (b; +) Compreso y: x b f (x) = x a = 0; f `(x) = 4 x 3 + x b (x b)3 Ogni radice dell'equazione ottenuta genera esattamente una soluzione del sistema originale< 0 функция f(x) монотонно возрастает от минус бесконечности до f(х1), уменьшается до f(х) и вновь монотонно возрастает при положительных иксах до плюс бесконечности Уравнение может иметь чётное число корней два только если корень совпадает с минимумом или максимумом функции, то есть в точке корня производная равна нулю, то есть f(х1) = g(х1) = 0 Исключая корень из уравнений, найдём: а = (4х1 + х14) Полученная функция имеет максимум при х1 = 1 (а = 3; b = 1,5), поэтому для любого a (0; 3) существуют х1, х х1 и b, при которых число корней равно два Однако при а = 3 х ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

16 16 \u003d x1, entrambe le radici sono uguali e l'equazione f (x) \u003d 0 ha solo una radice = x (x b) + 1 = 0 L'ultima equazione può avere una o due radici e solo con x negativo. Kit tematici, cmdru/

Esempi di risoluzione di compiti di tipo C5 per l'Esame di Stato Unificato 013 La maggior parte dei disegni del set sono interattivi. È possibile modificare i parametri e le equazioni dei grafici. L'inserimento dei file interattivi avviene cliccando su

Argomento 41 "Compiti con un parametro" Le principali formulazioni di compiti con un parametro: 1) Trova tutti i valori dei parametri, ognuno dei quali soddisfa una determinata condizione.) Risolvi un'equazione o una disuguaglianza con

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Compito 18 Criteri per la valutazione dei compiti 18 Contenuto del criterio Punti Ragionevolmente ricevuta la risposta corretta. 4 Con l'aiuto di un ragionamento corretto, si ottiene un insieme di valori di a, che differisce da quello desiderato di un numero finito

L'equazione lineare a x = b ha: un'unica soluzione, per a 0; un insieme infinito di soluzioni, per a = 0, b = 0; non ha soluzioni, per a = 0, b 0. L'equazione quadratica ax 2 + bx + c = 0 ha: due diversi

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C5 Per ogni valore di a, risolvere il sistema Le coppie che danno una soluzione al sistema devono soddisfare le condizioni Dalla seconda equazione del sistema troviamo Resta da notare che quindi l'Equazione sotto condizioni e ha a,

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Poiché questa è la risposta corretta, il sistema richiede l'adempimento di due o più condizioni e stiamo cercando quei valori dell'incognita che soddisfano tutte le condizioni contemporaneamente. Rappresenteremo la soluzione di ciascuna delle disuguaglianze

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