Sistema di equazioni algebriche lineari e loro soluzione. Sistemi di equazioni lineari: concetti di base. Risoluzione di sistemi mediante il metodo gaussiano

Sistema di equazioni algebriche lineari. Termini di base. Modulo di registrazione della matrice.

Definizione di un sistema di equazioni algebriche lineari. Soluzione di sistema. Classificazione dei sistemi.

Sotto sistema di equazioni algebriche lineari(SLAE) implicano un sistema

Si chiamano i parametri aij coefficienti, e bi- membri liberi SLAU. A volte, per sottolineare il numero di equazioni e incognite, si dice “sistema m×n equazioni lineari”, indicando così che lo SLAE contiene m equazioni e n incognite.

Se tutti i termini liberi bi=0 viene chiamato lo SLAE omogeneo. Se tra i membri liberi ce n'è almeno uno diverso da zero si chiama SLAE eterogeneo.

Per soluzione di SLAU(1) chiamare qualsiasi insieme ordinato di numeri (α1,α2,...,αn) se gli elementi di tale insieme, sostituiti in un dato ordine alle incognite x1,x2,...,xn, trasformano ciascuna equazione SLAE in un'identità.

Qualsiasi SLAE omogeneo ha almeno una soluzione: zero(in altra terminologia – banale), cioè x1=x2=…=xn=0.

Se SLAE (1) ha almeno una soluzione, viene chiamata giunto, se non ci sono soluzioni - non congiunto. Se uno SLAE congiunto ha esattamente una soluzione, viene chiamato certo, se esiste un insieme infinito di soluzioni – incerto.

Forma matriciale dei sistemi di scrittura delle equazioni algebriche lineari.

Ad ogni SLAE possono essere associate più matrici; Inoltre, lo stesso SLAE può essere scritto sotto forma di un'equazione di matrice. Per SLAE (1), considerare le seguenti matrici:

Viene chiamata la matrice A matrice del sistema. Gli elementi di questa matrice rappresentano i coefficienti di un dato SLAE.

Si chiama la matrice A˜ sistema a matrice estesa. Si ottiene aggiungendo alla matrice del sistema una colonna contenente i termini liberi b1,b2,...,bm. Di solito questa colonna è separata da una linea verticale per chiarezza.

Viene chiamata la matrice colonna B matrice dei membri liberi, e la matrice colonna X è matrice delle incognite.

Utilizzando la notazione introdotta sopra, SLAE (1) può essere scritta sotto forma di un'equazione di matrice: A⋅X=B.

Nota

Le matrici associate al sistema possono essere scritte in vari modi: tutto dipende dall'ordine delle variabili e delle equazioni dello SLAE in esame. Ma in ogni caso, l’ordine delle incognite in ciascuna equazione di un dato SLAE deve essere lo stesso

Teorema di Kronecker-Capelli. Studio di sistemi di equazioni lineari per consistenza.

Teorema di Kronecker-Capelli

Un sistema di equazioni algebriche lineari è coerente se e solo se il rango della matrice del sistema è uguale al rango della matrice estesa del sistema, cioè rangA=rangA˜.

Un sistema si dice coerente se ammette almeno una soluzione. Il teorema di Kronecker-Capelli dice questo: se rangA=rangA˜, allora esiste una soluzione; se rangA≠rangA˜, allora questo SLAE non ha soluzioni (incoerente). La risposta alla domanda sul numero di queste soluzioni è data da un corollario del teorema di Kronecker-Capelli. Nella formulazione del corollario viene utilizzata la lettera n, che è pari al numero di variabili dello SLAE dato.

Corollario al teorema di Kronecker-Capelli

Se rangA≠rangA˜, allora lo SLAE è incoerente (non ha soluzioni).

Se rangA=rangA˜

Se rangA=rangA˜=n, allora lo SLAE è definito (ha esattamente una soluzione).

Si tenga presente che il teorema formulato ed il suo corollario non indicano come trovare una soluzione allo SLAE. Con il loro aiuto potrai solo scoprire se queste soluzioni esistono o meno e, se esistono, quante.

Metodi per la risoluzione degli SLAE

Metodo Cramer

Il metodo di Cramer è destinato a risolvere quei sistemi di equazioni algebriche lineari (SLAE) in cui il determinante della matrice del sistema è diverso da zero. Naturalmente questo presuppone che la matrice del sistema sia quadrata (il concetto di determinante esiste solo per matrici quadrate). L'essenza del metodo di Cramer può essere espressa in tre punti:

Componi il determinante della matrice del sistema (è anche chiamato determinante del sistema) e assicurati che non sia uguale a zero, cioè Δ≠0.

Per ogni variabile xi è necessario costruire un determinante Δ X i , ottenuto dal determinante Δ sostituendo la colonna i-esima con una colonna di termini liberi del dato SLAE.

Trova i valori delle incognite utilizzando la formula xi= Δ X i /Δ

Risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari utilizzando una matrice inversa.

La risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari (SLAE) utilizzando una matrice inversa (a volte questo metodo è anche chiamato metodo della matrice o metodo della matrice inversa) richiede una familiarità preliminare con il concetto di forma matriciale di notazione degli SLAE. Il metodo della matrice inversa è destinato a risolvere quei sistemi di equazioni algebriche lineari in cui il determinante della matrice del sistema è diverso da zero. Naturalmente questo presuppone che la matrice del sistema sia quadrata (il concetto di determinante esiste solo per matrici quadrate). L’essenza del metodo della matrice inversa può essere espressa in tre punti:

Scrivi tre matrici: la matrice del sistema A, la matrice delle incognite X, la matrice dei termini liberi B.

Trova la matrice inversa A -1 .

Usando l'uguaglianza X=A -1 ⋅B, ottieni una soluzione allo SLAE dato.

Metodo di Gauss. Esempi di risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari utilizzando il metodo di Gauss.

Il metodo Gauss è uno dei metodi più visivi e semplici per risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari(SLAU): sia omogeneo che eterogeneo. In breve, l'essenza di questo metodo è l'eliminazione sequenziale delle incognite.

Trasformazioni ammesse nel metodo Gauss:

Cambio di posto di due linee;

Moltiplicare tutti gli elementi di una stringa per un numero diverso da zero.

Sommando agli elementi di una riga i corrispondenti elementi di un'altra riga, moltiplicati per un fattore qualsiasi.

Cancellando una riga i cui elementi sono tutti zero.

Cancellando le righe duplicate.

Per quanto riguarda gli ultimi due punti: le linee ripetute possono essere cancellate in qualsiasi fase della soluzione utilizzando il metodo Gauss, naturalmente lasciandone una. Ad esempio, se le righe n. 2, n. 5, n. 6 vengono ripetute, è possibile lasciarne una, ad esempio la riga n. 5. In questo caso le righe n. 2 e n. 6 verranno cancellate.

Zero righe vengono rimosse dalla matrice del sistema esteso così come appaiono.

Un sistema di equazioni lineari è un'unione di n equazioni lineari, ciascuna contenente k variabili. E' scritto così:

Molti, quando incontrano per la prima volta l'algebra superiore, credono erroneamente che il numero di equazioni debba necessariamente coincidere con il numero di variabili. Nell'algebra scolastica questo di solito accade, ma per l'algebra superiore generalmente non è vero.

La soluzione di un sistema di equazioni è una sequenza di numeri (k 1, k 2, ..., k n), che è la soluzione di ciascuna equazione del sistema, cioè quando si sostituisce in questa equazione invece delle variabili x 1, x 2, ..., x n si ottiene l'uguaglianza numerica corretta.

Di conseguenza, risolvere un sistema di equazioni significa trovare l'insieme di tutte le sue soluzioni o dimostrare che questo insieme è vuoto. Poiché il numero di equazioni e il numero di incognite potrebbero non coincidere, sono possibili tre casi:

1. Il sistema è incoerente, cioè l'insieme di tutte le soluzioni è vuoto. Un caso piuttosto raro che viene facilmente rilevato indipendentemente dal metodo utilizzato per risolvere il sistema.
2. Il sistema è coerente e determinato, vale a dire ha esattamente una soluzione. La versione classica, conosciuta fin dai tempi della scuola.
3. Il sistema è coerente e indefinito, vale a dire ha infinite soluzioni. Questa è l'opzione più difficile. Non è sufficiente indicare che “il sistema ha un insieme infinito di soluzioni” – è necessario descrivere come è strutturato questo insieme.

Una variabile x i si dice ammessa se è compresa in una sola equazione del sistema, e con coefficiente pari a 1. In altre parole, in altre equazioni il coefficiente della variabile x i deve essere uguale a zero.

Se selezioniamo una variabile consentita in ciascuna equazione, otteniamo un insieme di variabili consentite per l'intero sistema di equazioni. Anche il sistema stesso, scritto in questa forma, si dirà risolto. In generale, uno stesso sistema originario può essere ridotto a diversi consentiti, ma per ora questo non ci preoccupa. Ecco alcuni esempi di sistemi consentiti:

Entrambi i sistemi sono risolti rispetto alle variabili x 1 , x 3 e x 4 . Tuttavia, con lo stesso successo si può sostenere che il secondo sistema è risolto rispetto a x 1, x 3 e x 5. È sufficiente riscrivere l'ultima equazione nella forma x 5 = x 4.

Consideriamo ora un caso più generale. Abbiamo k variabili in totale, di cui r consentite. Allora sono possibili due casi:

1. Il numero di variabili consentite r è uguale al numero totale di variabili k: r = k. Otteniamo un sistema di k equazioni in cui r = k variabili ammesse. Un tale sistema è congiunto e definito, perché x1 = b1, x2 = b2, ..., xk = bk;
2. Il numero di variabili consentite r è inferiore al numero totale di variabili k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Quindi, nei sistemi precedenti, le variabili x 2, x 5, x 6 (per il primo sistema) e x 2, x 5 (per il secondo) sono libere. Il caso in cui ci sono variabili libere è meglio formulato come teorema:

Attenzione: questo è un punto molto importante! A seconda di come si scrive il sistema risultante, la stessa variabile può essere consentita o libera. La maggior parte degli insegnanti di matematica di livello superiore consiglia di scrivere le variabili in ordine lessicografico, ad es. indice ascendente. Tuttavia, non hai alcun obbligo di seguire questo consiglio.

Teorema. Se in un sistema di n equazioni sono ammesse le variabili x 1, x 2, ..., x r, e x r + 1, x r + 2, ..., x k sono libere, allora:

1. Se impostiamo i valori delle variabili libere (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), e poi troviamo i valori x 1, x 2, ..., x r, otteniamo una delle decisioni.
2. Se in due soluzioni coincidono i valori delle variabili libere, allora coincidono anche i valori delle variabili ammesse, cioè le soluzioni sono uguali.

Qual è il significato di questo teorema? Per ottenere tutte le soluzioni di un sistema di equazioni risolto è sufficiente isolare le variabili libere. Quindi, assegnando valori diversi alle variabili libere, otterremo soluzioni già pronte. Questo è tutto: in questo modo puoi ottenere tutte le soluzioni del sistema. Non ci sono altre soluzioni.

Conclusione: il sistema di equazioni risolto è sempre coerente. Se il numero di equazioni in un sistema risolto è uguale al numero di variabili, il sistema sarà definito; se inferiore, sarà indefinito.

E tutto andrebbe bene, ma sorge la domanda: come ottenerne uno risolto dal sistema di equazioni originale? Per questo c'è

A scuola, ognuno di noi ha studiato equazioni e, molto probabilmente, sistemi di equazioni. Ma non molte persone sanno che esistono diversi modi per risolverli. Oggi analizzeremo in dettaglio tutti i metodi per risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari composto da più di due uguaglianze.

Storia

Oggi è noto che l'arte di risolvere le equazioni e i loro sistemi ha avuto origine nell'antica Babilonia e in Egitto. Tuttavia, le uguaglianze nella loro forma familiare apparvero dopo la comparsa del segno uguale "=", introdotto nel 1556 dal matematico inglese Record. A proposito, questo segno è stato scelto per un motivo: significa due segmenti paralleli uguali. In effetti, non esiste esempio migliore di uguaglianza.

Il fondatore delle designazioni moderne delle lettere per le incognite e i segni dei gradi è un matematico francese, ma le sue designazioni erano significativamente diverse da quelle odierne. Ad esempio, ha indicato un quadrato di un numero sconosciuto con la lettera Q (lat. “quadratus”) e un cubo con la lettera C (lat. “cubus”). Questa notazione oggi sembra scomoda, ma all'epoca era il modo più comprensibile per scrivere sistemi di equazioni algebriche lineari.

Tuttavia, un difetto nei metodi risolutivi dell’epoca era che i matematici consideravano solo le radici positive. Ciò potrebbe essere dovuto al fatto che i valori negativi non avevano alcuna utilità pratica. In un modo o nell'altro, furono i matematici italiani Niccolò Tartaglia, Gerolamo Cardano e Raffaello Bombelli i primi a contare le radici negative nel XVI secolo. E la forma moderna, il metodo di soluzione principale (attraverso il discriminante) fu creata solo nel XVII secolo grazie al lavoro di Cartesio e Newton.

A metà del XVIII secolo, il matematico svizzero Gabriel Cramer trovò un nuovo modo per rendere più semplice la risoluzione dei sistemi di equazioni lineari. Questo metodo in seguito prese il suo nome e lo usiamo ancora oggi. Ma parleremo del metodo di Cramer un po' più tardi, ma per ora parliamo di equazioni lineari e metodi per risolverle separatamente dal sistema.

Equazioni lineari

Le equazioni lineari sono le equazioni più semplici con una variabile (variabili). Sono classificati come algebrici. scritto in forma generale come segue: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Avremo bisogno di rappresentarli in questa forma quando compileremo sistemi e matrici in seguito.

Sistemi di equazioni algebriche lineari

La definizione di questo termine è: è un insieme di equazioni che hanno incognite comuni e una soluzione comune. Di norma, a scuola tutti risolvevano sistemi con due o anche tre equazioni. Ma esistono sistemi con quattro o più componenti. Vediamo prima come scriverli in modo che sia conveniente risolverli in futuro. Innanzitutto, i sistemi di equazioni algebriche lineari avranno un aspetto migliore se tutte le variabili sono scritte come x con il pedice appropriato: 1,2,3 e così via. In secondo luogo, tutte le equazioni dovrebbero essere portate alla forma canonica: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.

Dopo tutti questi passaggi, possiamo iniziare a parlare di come trovare soluzioni a sistemi di equazioni lineari. Le matrici saranno molto utili a questo scopo.

Matrici

Una matrice è una tabella composta da righe e colonne e alla loro intersezione si trovano i suoi elementi. Questi possono essere valori o variabili specifici. Molto spesso, per indicare gli elementi, vengono posti dei pedici sotto di essi (ad esempio, 11 o 23). Il primo indice indica il numero di riga e il secondo il numero di colonna. Sulle matrici, come su qualsiasi altro elemento matematico, si possono eseguire diverse operazioni. Pertanto, puoi:

2) Moltiplicare una matrice per qualsiasi numero o vettore.

3) Trasposizione: trasforma le righe della matrice in colonne e le colonne in righe.

4) Moltiplicare le matrici se il numero di righe di una di esse è uguale al numero di colonne dell'altra.

Discutiamo tutte queste tecniche in modo più dettagliato, poiché ci saranno utili in futuro. Sottrarre e aggiungere matrici è molto semplice. Poiché prendiamo matrici della stessa dimensione, ogni elemento di una tabella è correlato a ciascun elemento dell'altra. Quindi, aggiungiamo (sottraiamo) questi due elementi (è importante che si trovino negli stessi posti nelle loro matrici). Quando moltiplichi una matrice per un numero o un vettore, moltiplichi semplicemente ciascun elemento della matrice per quel numero (o vettore). La trasposizione è un processo molto interessante. È molto interessante vederlo a volte nella vita reale, ad esempio, quando si cambia l'orientamento di un tablet o di un telefono. Le icone sul desktop rappresentano una matrice e quando cambia posizione si traspone e diventa più ampia, ma diminuisce in altezza.

Diamo un'occhiata a un altro processo del tipo: Anche se non ne avremo bisogno, sarà comunque utile conoscerlo. Puoi moltiplicare due matrici solo se il numero di colonne in una tabella è uguale al numero di righe nell'altra. Prendiamo ora gli elementi di una riga di una matrice e gli elementi della colonna corrispondente di un'altra. Moltiplichiamoli tra loro e poi sommateli (cioè, ad esempio, il prodotto degli elementi a 11 e a 12 per b 12 e b 22 sarà uguale a: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . In questo modo si ottiene un elemento della tabella che viene ulteriormente compilato utilizzando un metodo simile.

Ora possiamo iniziare a considerare come viene risolto un sistema di equazioni lineari.

Metodo di Gauss

Questo argomento inizia ad essere trattato a scuola. Conosciamo bene il concetto di “sistema di due equazioni lineari” e sappiamo come risolverli. Ma cosa succede se il numero di equazioni è superiore a due? Questo ci aiuterà

Naturalmente, questo metodo è comodo da usare se si crea una matrice dal sistema. Ma non devi trasformarlo e risolverlo nella sua forma pura.

Quindi, come risolve questo metodo il sistema di equazioni gaussiane lineari? A proposito, anche se questo metodo porta il suo nome, è stato scoperto in tempi antichi. Gauss propone quanto segue: eseguire operazioni con equazioni per ridurre infine l'intero insieme a una forma graduale. Cioè è necessario che dall'alto verso il basso (se disposto correttamente) dalla prima equazione all'ultima l'incognita diminuisca. In altre parole, dobbiamo assicurarci di ottenere, diciamo, tre equazioni: nella prima ci sono tre incognite, nella seconda ce ne sono due, nella terza ce n'è una. Quindi dall'ultima equazione troviamo la prima incognita, sostituiamo il suo valore nella seconda o nella prima equazione, quindi troviamo le restanti due variabili.

Metodo Cramer

Per padroneggiare questo metodo, è fondamentale avere la capacità di aggiungere e sottrarre matrici, oltre a essere in grado di trovare i determinanti. Pertanto, se fai tutto questo male o non sai affatto come, dovrai imparare e praticare.

Qual è l'essenza di questo metodo e come farlo in modo da ottenere un sistema di equazioni lineari di Cramer? Tutto è molto semplice. Dobbiamo costruire una matrice di coefficienti numerici (quasi sempre) di un sistema di equazioni algebriche lineari. Per fare ciò, prendiamo semplicemente i numeri davanti alle incognite e li sistemiamo in una tabella nell'ordine in cui sono scritti nel sistema. Se c'è un segno "-" davanti al numero, scriviamo un coefficiente negativo. Quindi, abbiamo compilato la prima matrice di coefficienti per incognite, escludendo i numeri dopo i segni di uguale (naturalmente, l'equazione dovrebbe essere ridotta alla forma canonica, quando solo il numero è a destra e tutte le incognite con coefficienti sono su la sinistra). Quindi è necessario creare molte altre matrici, una per ciascuna variabile. Per fare ciò, sostituiamo ciascuna colonna con coefficienti nella prima matrice, a sua volta con una colonna di numeri dopo il segno uguale. Pertanto, otteniamo diverse matrici e quindi troviamo i loro determinanti.

Una volta trovate le determinanti, è una questione da poco. Abbiamo una matrice iniziale e ci sono diverse matrici risultanti che corrispondono a variabili diverse. Per ottenere le soluzioni del sistema, dividiamo il determinante della tabella risultante per il determinante della tabella iniziale. Il numero risultante è il valore di una delle variabili. Allo stesso modo, troviamo tutte le incognite.

Altri metodi

Esistono molti altri metodi per ottenere soluzioni a sistemi di equazioni lineari. Ad esempio, il cosiddetto metodo Gauss-Jordan, che viene utilizzato per trovare soluzioni a un sistema di equazioni quadratiche ed è anche associato all'uso di matrici. Esiste anche il metodo di Jacobi per risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari. È il più semplice da adattare a un computer e viene utilizzato nell'informatica.

Casi complessi

La complessità di solito sorge quando il numero di equazioni è inferiore al numero di variabili. Allora possiamo dire con certezza che o il sistema è incoerente (cioè non ha radici), oppure il numero delle sue soluzioni tende all'infinito. Se abbiamo il secondo caso, allora dobbiamo scrivere la soluzione generale del sistema di equazioni lineari. Conterrà almeno una variabile.

Conclusione

Eccoci arrivati ​​alla fine. Riassumiamo: abbiamo capito cosa sono un sistema e una matrice e abbiamo imparato come trovare una soluzione generale a un sistema di equazioni lineari. Inoltre, abbiamo considerato altre opzioni. Abbiamo scoperto come risolvere un sistema di equazioni lineari: il metodo di Gauss e abbiamo parlato di casi complessi e altri modi per trovare soluzioni.

In realtà questo argomento è molto più ampio e, se vuoi capirlo meglio, ti consigliamo di leggere letteratura più specializzata.

Argomento 2. Risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari mediante metodi diretti.

I sistemi di equazioni algebriche lineari (abbreviati in SLAE) sono sistemi di equazioni della forma

oppure, in forma matriciale,

UN × X = B , (2.2)

UN - matrice dei coefficienti del sistema dimensionale N ´ N

X - vettore di incognite costituito da N componente

B - vettore delle parti giuste del sistema, costituito da N componente.

UN = X = B = (2.3)

La soluzione dello SLAE è il seguente insieme di N numeri, che quando sostituiscono i valori X 1 , X 2 , … , x n nel sistema (2.1) assicura che i lati di sinistra siano uguali ai lati di destra in tutte le equazioni.

Ogni SLAE dipende dai valori della matrice UN E B poter avere

Una soluzione

Infinite soluzioni

Non una sola soluzione.

In questo corso considereremo solo quegli SLAE che hanno una soluzione unica. Condizione necessaria e sufficiente a tal fine è che il determinante della matrice non sia uguale a zero UN .

Per trovare soluzioni a sistemi di equazioni algebriche lineari si possono effettuare alcune trasformazioni che non ne modificano le soluzioni. Trasformazioni equivalenti di un sistema di equazioni lineari, le sue trasformazioni si chiamano quelle che non ne modificano la soluzione. Questi includono:

Riordinare due equazioni qualsiasi del sistema (va notato che in alcuni casi discussi di seguito, questa trasformazione non può essere utilizzata);

Moltiplicare (o dividere) qualsiasi equazione del sistema per un numero diverso da zero;

Aggiungendo a un'equazione di un sistema un'altra delle sue equazioni, moltiplicata (o divisa) per un numero diverso da zero.

I metodi per risolvere gli SLAE sono divisi in due grandi gruppi, chiamati: metodi diretti E metodi iterativi. Esiste anche un modo per ridurre il problema della risoluzione degli SLAE al problema di trovare l'estremo di una funzione di più variabili con la sua successiva soluzione mediante metodi di ricerca dell'estremo (maggiori informazioni su questo argomento quando si approfondirà l'argomento corrispondente). I metodi diretti forniscono una soluzione esatta al sistema (se esiste) in un unico passaggio. I metodi iterativi (se la loro convergenza è garantita) consentono di migliorare ripetutamente alcune approssimazioni iniziali della soluzione desiderata dello SLAE e, in generale, non forniranno mai una soluzione esatta. Tuttavia, poiché anche i metodi di soluzione diretta non forniscono soluzioni perfettamente accurate a causa di inevitabili errori di arrotondamento nelle fasi intermedie dei calcoli, anche i metodi iterativi possono fornire approssimativamente lo stesso risultato.

Metodi diretti per la risoluzione degli SLAE. I metodi diretti più comunemente utilizzati per risolvere gli SLAE sono:

Il metodo di Cramer

Metodo di Gauss (e sua modifica - metodo Gauss-Jordan)

Metodo della matrice (utilizzando l'inversione della matrice UN ).

Metodo Cramer basato sul calcolo del determinante della matrice principale UN e determinanti delle matrici UN 1 , UN 2 , …, UN , che si ottengono dalla matrice UN sostituendone uno ( io th) colonna ( io= 1, 2,…, N) ad una colonna contenente elementi vettoriali B . Successivamente, le soluzioni dello SLAE vengono determinate come il quoziente di divisione dei valori di questi determinanti. Più precisamente, le formule di calcolo si presentano così

(2.4)

Esempio 1. Troviamo la soluzione dello SLAE utilizzando il metodo di Cramer, per il quale

UN = , B = .

Abbiamo

UN 1 = , Un 2 = , UN 3 = , UN 4 = .

Calcoliamo i valori dei determinanti di tutte e cinque le matrici (usando la funzione MOPRED dell'ambiente Eccellere). Noi abbiamo

Poiché il determinante della matrice UN non è uguale a zero: il sistema ha un'unica soluzione. Quindi lo definiamo utilizzando la formula (2.4). Noi abbiamo

Metodo di Gauss. La risoluzione degli SLAE utilizzando questo metodo implica la compilazione di una matrice estesa del sistema UN * . La matrice estesa del sistema è una matrice di dimensioni N linee e N+1 colonne, inclusa la matrice originale UN con una colonna attaccata a destra contenente il vettore B .

UN* = (2.4)

Qui ain+1 =b i (io = 1, 2, …, N ).

L'essenza del metodo di Gauss è ridurre (via trasformazioni equivalenti) della matrice estesa del sistema a forma triangolare (in modo che al di sotto della sua diagonale principale ci siano solo zero elementi).

UN * =

Quindi, partendo dall'ultima riga e salendo, è possibile determinare in sequenza i valori di tutti i componenti della soluzione.

L'inizio della trasformazione della matrice estesa del sistema nella forma richiesta è visualizzare i valori dei coefficienti per X 1 e selezionando la riga in cui ha il massimo valore assoluto (questo è necessario per ridurre l'entità dell'errore di calcolo nei calcoli successivi). Questa riga della matrice estesa deve essere scambiata con la sua prima riga (o, meglio ancora, aggiunta (o sottratta) con la prima riga e il risultato posto al posto della prima riga). Successivamente, tutti gli elementi di questa nuova prima riga (compresi quelli nell'ultima colonna) devono essere divisi per questo coefficiente. Successivamente, il coefficiente appena ottenuto UN 11 diventerà uguale a uno. Successivamente, da ciascuna delle rimanenti righe della matrice è necessario sottrarre la sua prima riga, moltiplicata per il valore del coefficiente a X 1 in questa riga (vale a dire per l'importo un io 1 , Dove io =2, 3, … N ). Successivamente, in tutte le righe, a partire dalla seconda, i coefficienti per X 1 (ovvero tutti i coefficienti un io 1 (io =2, …, N ) sarà uguale a zero. Poiché abbiamo eseguito solo trasformazioni equivalenti, la soluzione dello SLAE appena ottenuto non differirà dal sistema originale.

Successivamente, lasciando invariata la prima riga della matrice, eseguiremo tutte le azioni di cui sopra con le restanti righe della matrice e, di conseguenza, il coefficiente appena ottenuto UN 22 diventerà uguale a uno e tutti i coefficienti un io 2 (io =3, 4, …, N ) diventerà uguale a zero. Continuando azioni simili, alla fine porteremo la nostra matrice in una forma in cui tutti i coefficienti un ii = 1 (io =1, 2, …, N) e tutti i coefficienti un ij = 0 (io =2, 3, …, N, J< io). Se, ad un certo punto, durante la ricerca del valore assoluto più grande del coefficiente at xj non riusciremo a trovare un coefficiente diverso da zero: ciò significherà che il sistema originale non ha un'unica soluzione. In questo caso, il processo decisionale deve essere interrotto.

Se il processo di trasformazioni equivalenti viene completato con successo, la matrice espansa “triangolare” risultante corrisponderà al seguente sistema di equazioni lineari:

Dall'ultima equazione di questo sistema troviamo il valore x n . Successivamente, sostituendo questo valore nella penultima equazione, troviamo il valore x n -1 . Successivamente, sostituendo entrambi i valori trovati nella terza equazione dal basso del sistema, troviamo il valore x n -2 . Continuando in questo modo e percorrendo l'equazione di questo sistema dal basso verso l'alto, troveremo successivamente i valori delle altre radici. E infine, sostituendo i valori trovati x n , x n -1 , x n -2 , X 3 E X 2 nella prima equazione del sistema troviamo il valore x1. Viene chiamata questa procedura per la ricerca dei valori radice utilizzando la matrice triangolare trovata in retromarcia. Viene chiamato il processo di riduzione della matrice estesa originale alla forma triangolare mediante trasformazioni equivalenti sempre dritto Metodo Gauss..

Un algoritmo abbastanza dettagliato per risolvere gli SLAE utilizzando il metodo gaussiano è mostrato in Fig. .2.1 e fig. 2.1a.

Esempio 2. Trovare la soluzione dello stesso SLAE utilizzando il metodo di Gauss, che abbiamo già risolto utilizzando il metodo Cramer. Componiamo prima la sua matrice estesa. Noi abbiamo

UN * = .

Innanzitutto, scambiamo la prima e la terza riga di questa matrice (poiché la sua prima colonna contiene l'elemento più grande in valore assoluto), quindi dividiamo tutti gli elementi di questa nuova prima riga per il valore 3. Otteniamo

UN * = .

UN * =

Successivamente, scambiamo la seconda e la terza riga di questa matrice, dividiamo la seconda riga della matrice riorganizzata per 2,3333 e, analogamente a quanto descritto sopra, azzeriamo i coefficienti nella seconda colonna della terza e quarta riga della matrice. Noi abbiamo

UN * = .

Dopo aver eseguito azioni simili sulla terza e quarta riga della matrice, otteniamo

UN * = .

Dividendo ora la quarta riga per -5.3076, terminiamo di disegnare la matrice estesa del sistema in forma diagonale. Noi abbiamo

Riso. 2.1. Algoritmo per la risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari utilizzando il metodo di Gauss

Riso. 2.1a. Macroblocco"Calcolo dei valori della soluzione."

UN * = .

Dall'ultima riga otteniamo immediatamente X 4 = 0.7536. Ora risalendo le righe della matrice ed eseguendo i calcoli, otteniamo consistentemente X 3 = 0.7971, X 2 =- 0.1015 E X 1 = 0.3333. Confrontando la soluzione ottenuta con questo metodo con quella ottenuta con il metodo di Cramer, è facile verificare che coincidono.

Metodo di Gauss-Jordan. Questo metodo per risolvere gli SLAE è per molti versi simile al metodo di Gauss. La differenza principale è che utilizzando trasformazioni equivalenti, la matrice estesa del sistema di equazioni si riduce non a una forma triangolare, ma a una forma diagonale, sulla diagonale principale della quale ci sono unità, e al di fuori di essa (ad eccezione dell'ultima N +1 colonna) - zeri. Una volta completata questa trasformazione, l'ultima colonna della matrice estesa conterrà la soluzione dello SLAE originale (ovvero x io = UN io N +1 (io = 1, 2, … , N ) nella matrice risultante). Non è necessario il moto inverso (come nel metodo gaussiano) per i calcoli finali dei valori dei componenti della soluzione.

La riduzione della matrice alla forma diagonale si effettua sostanzialmente come nel metodo di Gauss. Se in linea io coefficiente a x io (io = 1, 2, … , N ) è piccolo in valore assoluto, viene cercata la stringa J , in cui il coefficiente at x io sarà il più grande in valore assoluto questo ( J -i) la stringa viene aggiunta elemento per elemento a io - th linea. Poi tutti gli elementi io - le righe sono divise per il valore dell'elemento x io Ma, a differenza del metodo gaussiano, dopodiché viene effettuata una sottrazione da ciascuna riga con il numero J righe con numero io , moltiplicato per un ji , ma la condizione J > io sostituito da un altro Nel metodo Gauss-Jordan, viene eseguita la sottrazione da ciascuna riga con un numero J , E J # io , righe con numero io , moltiplicato per un ji . Quelli. I coefficienti vengono azzerati sia sotto che sopra la diagonale principale.

Un algoritmo abbastanza dettagliato per risolvere gli SLAE utilizzando il metodo Gauss-Jordan è mostrato in Fig. 2.2.

Esempio 3. Trovare la soluzione dello stesso SLAE utilizzando il metodo di Gauss-Jordan, che abbiamo già risolto utilizzando i metodi Cramer e Gauss.

Del tutto analogo al metodo gaussiano, comporremo una matrice estesa del sistema. Quindi riorganizzeremo la prima e la terza riga di questa matrice (poiché la sua prima colonna contiene l'elemento più grande in valore assoluto), quindi divideremo tutti gli elementi di questa nuova prima riga per il valore 3. Successivamente, sottraremo da ciascuna riga della matrice (tranne la prima) gli elementi delle prime righe moltiplicati per il coefficiente della prima colonna di quella riga. Otteniamo lo stesso del metodo Gauss

UN * = .

Successivamente, scambiamo la seconda e la terza riga di questa matrice, dividiamo la seconda riga della matrice riorganizzata per 2,3333 e ( già in contrasto con il metodo gaussiano) azzeriamo i coefficienti nella seconda colonna della prima, terza e quarta riga della matrice. Noi abbiamo