ত্রিকোণমিতিক দ্বিঘাত সমীকরণগুলি কীভাবে সমাধান করবেন। ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ। একটি সমজাতীয় সমীকরণে হ্রাস

আপনি আপনার সমস্যার বিস্তারিত সমাধান অর্ডার করতে পারেন!!!

একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের (`sin x, cos x, tan x` বা `ctg x`) চিহ্নের অধীনে একটি অজানা সমতাকে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ বলা হয়, এবং এটি তাদের সূত্র যা আমরা আরও বিবেচনা করব।

সবচেয়ে সহজ সমীকরণ হল `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, যেখানে `x` কোণটি পাওয়া যাবে, `a` হল যেকোনো সংখ্যা। আসুন তাদের প্রতিটির মূল সূত্র লিখি।

1. সমীকরণ `sin x=a`।

`|a|>1` এর জন্য এর কোনো সমাধান নেই।

যখন `|a| \leq 1` এর অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।

মূল সূত্র: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. সমীকরণ `cos x=a`

`

যখন `|a| \leq 1` এর অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।

মূল সূত্র: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

গ্রাফে সাইন এবং কোসাইন এর জন্য বিশেষ কেস।

3. সমীকরণ `tg x=a`

`a` এর যেকোনো মানের জন্য অসীম সংখ্যক সমাধান আছে।

মূল সূত্র: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. সমীকরণ `ctg x=a`

এছাড়াও `a` এর যেকোনো মানের জন্য অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।

মূল সূত্র: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

সারণীতে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের মূলের সূত্র

সাইনের জন্য:
কোসাইনের জন্য:
স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের জন্য:
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন সমন্বিত সমীকরণ সমাধানের সূত্র:

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি

যেকোন ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান দুটি পর্যায় নিয়ে গঠিত:

• এটিকে সহজে রূপান্তরিত করার সাহায্যে;
• উপরে লেখা মূল সূত্র এবং টেবিল ব্যবহার করে প্রাপ্ত সহজতম সমীকরণটি সমাধান করুন।

উদাহরণ ব্যবহার করে সমাধানের প্রধান পদ্ধতিগুলো দেখি।

বীজগণিত পদ্ধতি।

এই পদ্ধতিতে একটি পরিবর্তনশীলকে প্রতিস্থাপন করা এবং এটিকে একটি সমতায় প্রতিস্থাপন করা জড়িত।

উদাহরণ। সমীকরণটি সমাধান করুন: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

একটি প্রতিস্থাপন করুন: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, তারপর `2y^2-3y+1=0`,

আমরা শিকড় খুঁজে পাই: `y_1=1, y_2=1/2`, যেখান থেকে দুটি কেস অনুসরণ করে:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`।

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`।

উত্তর: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`।

ফ্যাক্টরাইজেশন।

উদাহরণ। সমীকরণটি সমাধান করুন: `sin x+cos x=1`।

সমাধান। সমতার সমস্ত পদ বাম দিকে সরানো যাক: `sin x+cos x-1=0`। ব্যবহার করে, আমরা বাম দিকের রূপান্তর এবং ফ্যাক্টরাইজ করি:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`।
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`।

উত্তর: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`।

একটি সমজাতীয় সমীকরণে হ্রাস

প্রথমে, আপনাকে এই ত্রিকোণমিতিক সমীকরণটিকে দুটি ফর্মের একটিতে কমাতে হবে:

`a sin x+b cos x=0` (প্রথম ডিগ্রির সমজাতীয় সমীকরণ) অথবা `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (দ্বিতীয় ডিগ্রির সমজাতীয় সমীকরণ)।

তারপর উভয় অংশকে `cos x \ne 0` দ্বারা ভাগ করুন - প্রথম ক্ষেত্রে, এবং `cos^2 x \ne 0` - দ্বিতীয়টির জন্য। আমরা `tg x` এর জন্য সমীকরণ পাই: `a tg x+b=0` এবং `a tg^2 x + b tg x +c =0`, যা পরিচিত পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করতে হবে।

উদাহরণ। সমীকরণটি সমাধান করুন: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`।

সমাধান। আসুন ডান দিকে লিখি `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`।

এটি দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি সমজাতীয় ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, আমরা এর বাম এবং ডান দিকগুলিকে `cos^2 x \ne 0` দ্বারা ভাগ করি, আমরা পাই:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`। চলুন প্রতিস্থাপন করা যাক `tg x=t`, এর ফলে `t^2 + t - 2=0`। এই সমীকরণের মূল হল `t_1=-2` এবং `t_2=1`। তারপর:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`।

উত্তর. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`।

অর্ধকোণ সরানো

উদাহরণ। সমীকরণটি সমাধান করুন: `11 sin x - 2 cos x = 10`।

সমাধান। চলুন ডবল অ্যাঙ্গেল সূত্র প্রয়োগ করি, যার ফলে: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

উপরে বর্ণিত বীজগণিত পদ্ধতি প্রয়োগ করে আমরা পাই:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

উত্তর. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

অক্জিলিয়ারী কোণ ভূমিকা

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণে `a sin x + b cos x =c`, যেখানে a,b,c সহগ এবং x একটি চলক, উভয় পক্ষকে `sqrt (a^2+b^2)` দ্বারা ভাগ করুন:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`।

বাম দিকের সহগগুলির সাইন এবং কোসাইনের বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যথা তাদের বর্গক্ষেত্রের যোগফল 1 এর সমান এবং তাদের মডিউলগুলি 1 এর বেশি নয়৷ আসুন আমরা সেগুলিকে নিম্নরূপ বোঝাই: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, তারপর:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`।

আসুন নিম্নলিখিত উদাহরণটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখুন:

উদাহরণ। সমীকরণটি সমাধান করুন: `3 sin x+4 cos x=2`।

সমাধান। সমতার উভয় দিককে `sqrt (3^2+4^2)` ​​দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`।

আসুন `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` বোঝাই। যেহেতু `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, তাহলে আমরা `\varphi=arcsin 4/5` কে একটি সহায়ক কোণ হিসেবে নিই। তারপর আমরা ফর্মে আমাদের সমতা লিখি:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

সাইনের জন্য কোণের যোগফলের সূত্রটি প্রয়োগ করে, আমরা আমাদের সমতা নিম্নলিখিত আকারে লিখি:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n আর্কসিন 2/5-` `আর্কসিন 4/5+ \pi n`, `n \in Z`।

উত্তর. `x=(-1)^n আর্কসিন 2/5-` `আর্কসিন 4/5+ \pi n`, `n \in Z`।

ভগ্নাংশ মূলদ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ

এগুলি ভগ্নাংশের সাথে সমতা যার লব এবং হর ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ধারণ করে।

উদাহরণ। সমীকরণটি সমাধান করুন। `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`।

সমাধান। সমতার ডান দিকটিকে `(1+cos x)` দ্বারা গুণ ও ভাগ করুন। ফলস্বরূপ আমরা পাই:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

বিবেচনা করে যে হরটি শূন্যের সমান হতে পারে না, আমরা পাই `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`।

ভগ্নাংশের লবকে শূন্যে সমান করি: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`। তারপর `sin x=0` বা `1-sin x=0`।

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`।

প্রদত্ত ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, সমাধানগুলি হল `x=2\pi n, n \in Z` এবং `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

উত্তর. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`।

ত্রিকোণমিতি, এবং বিশেষ করে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি জ্যামিতি, পদার্থবিদ্যা এবং প্রকৌশলের প্রায় সব ক্ষেত্রেই ব্যবহৃত হয়। 10 তম গ্রেড থেকে অধ্যয়ন শুরু হয়, ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য সবসময় কাজ থাকে, তাই ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমস্ত সূত্র মনে রাখার চেষ্টা করুন - সেগুলি অবশ্যই আপনার জন্য কার্যকর হবে!

যাইহোক, আপনাকে সেগুলি মুখস্থ করারও দরকার নেই, মূল জিনিসটি সারাংশটি বোঝা এবং এটি অর্জন করতে সক্ষম হওয়া। এটা যতটা কঠিন মনে হয় ততটা কঠিন নয়। ভিডিওটি দেখে নিজেই দেখুন।

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধানের প্রধান পদ্ধতিগুলি হল: সমীকরণগুলিকে সহজে কমানো (ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করে), নতুন চলক প্রবর্তন করা এবং ফ্যাক্টরিং। আসুন উদাহরণ সহ তাদের ব্যবহার দেখি। ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান লেখার বিন্যাসে মনোযোগ দিন।

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সফলভাবে সমাধান করার জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত হল ত্রিকোণমিতিক সূত্রের জ্ঞান (কাজের 6 এর বিষয় 13)।

উদাহরণ।

1. সমীকরণ সহজে কমিয়ে দেওয়া হয়েছে।

1) সমীকরণটি সমাধান করুন

সমাধান:

উত্তর:

2) সমীকরণের মূল খুঁজুন

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, অংশের অন্তর্গত।

সমাধান:

উত্তর:

2. সমীকরণ যা দ্বিঘাতে হ্রাস পায়।

1) 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 সমীকরণটি সমাধান করুন।

সমাধান: sin 2 x = 1 – cos 2 x সূত্রটি ব্যবহার করে, আমরা পাই

উত্তর:

2) cos 2x = 1 + 4 cosx সমীকরণটি সমাধান করুন।

সমাধান:সূত্র ব্যবহার করে cos 2x = 2 cos 2 x – 1, আমরা পাই

উত্তর:

3) tgx – 2ctgx + 1 = 0 সমীকরণটি সমাধান করুন

সমাধান:

উত্তর:

3. সমজাতীয় সমীকরণ

1) 2sinx – 3cosx = 0 সমীকরণটি সমাধান করুন

সমাধান: ধরা যাক cosx = 0, তারপর 2sinx = 0 এবং sinx = 0 - এই সত্যটির সাথে একটি দ্বন্দ্ব যে sin 2 x + cos 2 x = 1। এর অর্থ cosx ≠ 0 এবং আমরা সমীকরণটিকে cosx দ্বারা ভাগ করতে পারি। আমরা পেতে

উত্তর:

2) 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x সমীকরণটি সমাধান করুন

সমাধান:

আমরা 1 = sin 2 x + cos 2 x এবং sin 2x = 2 sinxcosx সূত্র ব্যবহার করি, আমরা পাই

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

ধরা যাক cosx = 0, তারপর sin 2 x = 0 এবং sinx = 0 – এই সত্যটির সাথে একটি দ্বন্দ্ব যে sin 2 x + cos 2 x = 1।
এর মানে cosx ≠ 0 এবং আমরা সমীকরণটিকে cos 2 x দ্বারা ভাগ করতে পারি . আমরা পেতে

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
tgx = y বোঝাই
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
ক) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .

উত্তর: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 কে কে

4. ফর্মের সমীকরণ ক sinx + খ cosx = s, s≠ 0.

1) সমীকরণটি সমাধান করুন।

সমাধান:

উত্তর:

5. ফ্যাক্টরাইজেশন দ্বারা সমাধান করা সমীকরণ।

1) sin2x – sinx = 0 সমীকরণটি সমাধান করুন।

সমীকরণের মূল চ (এক্স) = φ ( এক্স) শুধুমাত্র 0 নম্বর হিসাবে পরিবেশন করতে পারে। আসুন এটি পরীক্ষা করি:

cos 0 = 0 + 1 – সমতা সত্য।

সংখ্যা 0 এই সমীকরণের একমাত্র মূল।

উত্তর: 0.

বিষয়ের উপর পাঠ এবং উপস্থাপনা: "সহজ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করা"

অতিরিক্ত উপকরণ
প্রিয় ব্যবহারকারী, আপনার মন্তব্য, পর্যালোচনা, শুভেচ্ছা ছেড়ে ভুলবেন না! সমস্ত উপকরণ একটি অ্যান্টিভাইরাস প্রোগ্রাম দ্বারা চেক করা হয়েছে.

1C থেকে গ্রেড 10 এর জন্য ইন্টিগ্রাল অনলাইন স্টোরে ম্যানুয়াল এবং সিমুলেটর
জ্যামিতিতে সমস্যা সমাধান। মহাকাশে নির্মাণের জন্য ইন্টারেক্টিভ কাজ
সফ্টওয়্যার পরিবেশ "1C: গাণিতিক কনস্ট্রাক্টর 6.1"

আমরা যা অধ্যয়ন করব:
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ কি?

3. ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের জন্য দুটি প্রধান পদ্ধতি।
4. সমজাতীয় ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।
5. উদাহরণ।

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ কি?

বন্ধুরা, আমরা ইতিমধ্যে আর্কসাইন, আর্কোসাইন, আর্কটেনজেন্ট এবং আর্কোট্যাঞ্জেন্ট অধ্যয়ন করেছি। এখন সাধারণভাবে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ দেখি।

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ হল এমন সমীকরণ যেখানে একটি ভেরিয়েবল একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের চিহ্নের অধীনে থাকে।

আসুন সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করার ফর্মটি পুনরাবৃত্তি করি:

1)যদি |a|≤ 1 হয়, তাহলে সমীকরণ cos(x) = a এর একটি সমাধান আছে:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) যদি |a|≤ 1, তাহলে সমীকরণ sin(x) = a এর একটি সমাধান আছে:

3) যদি |a| > 1, তারপর সমীকরণ sin(x) = a এবং cos(x) = a এর কোন সমাধান নেই 4) tg(x)=a সমীকরণটির একটি সমাধান আছে: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a সমীকরণটির একটি সমাধান আছে: x=arcctg(a)+ πk

সকল সূত্রের জন্য k হল একটি পূর্ণসংখ্যা

সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের ফর্ম আছে: T(kx+m)=a, T হল কিছু ত্রিকোণমিতিক ফাংশন।

উদাহরণ।

সমীকরণগুলি সমাধান করুন: a) sin(3x)= √3/2

সমাধান:

ক) আসুন 3x=t বোঝাই, তারপর আমরা আমাদের সমীকরণটি আকারে আবার লিখব:

এই সমীকরণের সমাধান হবে: t=((-1)^n)আর্কসিন(√3 /2)+ πn।

মানের সারণী থেকে আমরা পাই: t=((-1)^n)×π/3+ πn।

চলুন আমাদের ভেরিয়েবলে ফিরে আসি: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

তারপর x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

উত্তর: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা। (-1)^n – বিয়োগ এক থেকে n এর শক্তি।

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের আরও উদাহরণ।

সমীকরণগুলি সমাধান করুন: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

সমাধান:

ক) এবার চলুন সরাসরি সমীকরণের মূল গণনার দিকে এগিয়ে যাই:

X/5= ± arccos(1) + 2πk। তারপর x/5= πk => x=5πk

উত্তর: x=5πk, যেখানে k একটি পূর্ণসংখ্যা।

খ) আমরা এটি আকারে লিখি: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk। আমরা জানি যে: আর্কটান(√3)=π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

উত্তর: x=2π/9 + πk/3, যেখানে k একটি পূর্ণসংখ্যা।

সমীকরণগুলি সমাধান করুন: cos(4x)= √2/2। এবং সেগমেন্টের সমস্ত শিকড় সন্ধান করুন।

সমাধান:

আমাদের সমীকরণটি সাধারণ আকারে সমাধান করা যাক: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

এখন দেখা যাক আমাদের সেগমেন্টে কোন শিকড় পড়ে। k এ k=0, x= π/16, আমরা প্রদত্ত সেগমেন্টে আছি।
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 দিয়ে, আমরা আবার আঘাত করি।
k=2 এর জন্য, x= π/16+ π=17π/16, কিন্তু এখানে আমরা হিট করিনি, যার মানে হল বড় k-এর জন্যও আমরা স্পষ্টতই আঘাত করব না।

উত্তর: x= π/16, x= 9π/16

দুটি প্রধান সমাধান পদ্ধতি।

আমরা সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি দেখেছি, তবে আরও জটিল সমীকরণগুলিও রয়েছে৷ তাদের সমাধান করার জন্য, একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তনের পদ্ধতি এবং ফ্যাক্টরাইজেশন পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। এর উদাহরণ তাকান.

আসুন সমীকরণটি সমাধান করি:

সমাধান:
আমাদের সমীকরণ সমাধান করার জন্য, আমরা একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তনের পদ্ধতি ব্যবহার করব, যা বোঝায়: t=tg(x)।

প্রতিস্থাপনের ফলস্বরূপ আমরা পাই: t 2 + 2t -1 = 0

চলো দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজে বের করা যাক: t=-1 এবং t=1/3

তারপর tg(x)=-1 এবং tg(x)=1/3, আমরা সবচেয়ে সহজ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ পাই, আসুন এর মূল খুঁজে বের করি।

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk।

উত্তর: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk।

একটি সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ

সমীকরণ সমাধান করুন: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

সমাধান:

আসুন পরিচয়টি ব্যবহার করি: sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1

আমাদের সমীকরণটি রূপ নেবে: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

আসুন প্রতিস্থাপনটি চালু করি t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

আমাদের দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান হল মূল: t=2 এবং t=-1/2

তারপর cos(x)=2 এবং cos(x)=-1/2।

কারণ কোসাইন একের বেশি মান নিতে পারে না, তাহলে cos(x)=2 এর কোনো শিকড় নেই।

cos(x)=-1/2 এর জন্য: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

উত্তর: x= ±2π/3 + 2πk

সমজাতীয় ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।

সংজ্ঞা: a sin(x)+b cos(x) ফর্মের সমীকরণগুলিকে প্রথম ডিগ্রির সমজাতীয় ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ বলে।

ফর্মের সমীকরণ

দ্বিতীয় ডিগ্রির সমজাতীয় ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।

প্রথম ডিগ্রির একটি সমজাতীয় ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করতে, এটিকে cos(x) দ্বারা ভাগ করুন: আপনি কোসাইন দ্বারা ভাগ করতে পারবেন না যদি এটি শূন্যের সমান হয়, আসুন নিশ্চিত করি যে এটি এমন নয়:
ধরা যাক cos(x)=0, তারপর asin(x)+0=0 => sin(x)=0, কিন্তু সাইন এবং কোসাইন একই সময়ে শূন্যের সমান নয়, আমরা একটি দ্বন্দ্ব পাই, তাই আমরা নিরাপদে ভাগ করতে পারি শূন্য দ্বারা

সমীকরণটি সমাধান করুন:
উদাহরণ: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

সমাধান:

সাধারণ ফ্যাক্টর বের করা যাক: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

তারপর আমাদের দুটি সমীকরণ সমাধান করতে হবে:

Cos(x)=0 এবং cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 এ x= π/2 + πk;

cos(x)+sin(x)=0 সমীকরণটি বিবেচনা করুন cos(x) দ্বারা আমাদের সমীকরণটি ভাগ করুন:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

উত্তর: x= π/2 + πk এবং x= -π/4+πk

দ্বিতীয় ডিগ্রির সমজাতীয় ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি কীভাবে সমাধান করবেন?
বন্ধুরা, সর্বদা এই নিয়মগুলি অনুসরণ করুন!

1. দেখুন a সহগ কিসের সমান, যদি a=0 হয় তাহলে আমাদের সমীকরণটি cos(x)(bsin(x)+ccos(x) রূপ নেবে, যার সমাধান পূর্ববর্তী স্লাইডে রয়েছে

2. যদি a≠0, তাহলে আপনাকে সমীকরণের উভয় দিককে কোসাইন বর্গ দ্বারা ভাগ করতে হবে, আমরা পাই:

আমরা পরিবর্তনশীল t=tg(x) পরিবর্তন করি এবং সমীকরণ পাই:

উদাহরণ নং:3 সমাধান করুন

সমীকরণটি সমাধান করুন:
সমাধান:

সমীকরণের উভয় দিককে কোসাইন বর্গ দ্বারা ভাগ করা যাক:

আমরা পরিবর্তনশীল t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

চলো দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজে বের করা যাক: t=-3 এবং t=1

তারপর: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

উত্তর: x=-arctg(3) + πk এবং x= π/4+ πk

উদাহরণ নং:4 সমাধান করুন

সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান:
আসুন আমাদের অভিব্যক্তি পরিবর্তন করি:

আমরা এই ধরনের সমীকরণগুলি সমাধান করতে পারি: x= - π/4 + 2πk এবং x=5π/4 + 2πk

উত্তর: x= - π/4 + 2πk এবং x=5π/4 + 2πk

উদাহরণ নং:5 সমাধান করুন

সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান:
আসুন আমাদের অভিব্যক্তি পরিবর্তন করি:

চলুন প্রতিস্থাপন করা যাক tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

আমাদের দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান হবে মূল: t=-2 এবং t=1/2

তারপর আমরা পাই: tg(2x)=-2 এবং tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

উত্তর: x=-arctg(2)/2 + πk/2 এবং x=arctg(1/2)/2+ πk/2

স্বাধীন সমাধানের জন্য সমস্যা।

1) সমীকরণটি সমাধান করুন

ক) sin(7x)= 1/2 খ) cos(3x)= √3/2 গ) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) সমীকরণগুলি সমাধান করুন: sin(3x)= √3/2। এবং সেগমেন্টের সমস্ত শিকড় খুঁজুন [π/2; π]।

3) সমীকরণটি সমাধান করুন: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) সমীকরণটি সমাধান করুন: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) সমীকরণটি সমাধান করুন: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) সমীকরণটি সমাধান করুন: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

মস্কো শিক্ষা বিভাগ

রাজ্য বাজেট পেশাদার

মস্কোতে শিক্ষা প্রতিষ্ঠান

"পলিটেকনিক কলেজ নং 47 ভিজি ফেডোরভের নামে নামকরণ করা হয়েছে"

পাঠ

শৃঙ্খলা গণিত মধ্যে

"ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি চতুর্ভুজে পরিণত হয়েছে"

শিক্ষক

প্রোটাসেভিচ ওলগা নিকোলাভনা

পেশা: হার্ডওয়্যার ও সফটওয়্যার ইঞ্জিনিয়ার

শৃঙ্খলা: অংক

আমরা হব : 1

সেমিস্টার : 2

গ্রুপ :

পাঠের বিষয়:

"ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ দ্বিঘাত সমীকরণে হ্রাস পেয়েছে।"

পাঠের ধরন: সম্মিলিত পাঠ

পাঠ বিন্যাস: V.K এর পদ্ধতি অনুসারে যৌথ প্রশিক্ষণ দিয়াচেঙ্কো

(শিক্ষা ছোট গ্রুপ সিস্টেমে)

পাঠের উদ্দেশ্য:

শিক্ষামূলক - সাধারণ পন্থা বিবেচনা করুন, ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধানের ধরন এবং পদ্ধতিগুলি সম্পর্কে তথ্য সংক্ষিপ্ত করুন যা দ্বিঘাত সমীকরণগুলিতে হ্রাস করা যেতে পারে; মৌলিক সমীকরণগুলি সমাধান করার সময় এবং পেশাদার ক্রিয়াকলাপে অর্জিত জ্ঞান প্রয়োগ করার সময় জ্ঞান প্রয়োগ করার দক্ষতা এবং ক্ষমতা বিকাশ করা।

উন্নয়নমূলক - উন্নয়ন প্রচার করুনশিক্ষার্থীদের মধ্যে যৌক্তিক চিন্তাভাবনা, বিশ্লেষণ, যুক্তি, তুলনা, উপসংহার টান, উপাদান বোঝার দক্ষতা বিকাশ করুন;

শিক্ষামূলক - জ্ঞানীয় আগ্রহ, যোগাযোগের সংস্কৃতির উপাদান, মানসিক ক্রিয়াকলাপের প্রক্রিয়াতে অসুবিধাগুলি কাটিয়ে উঠতে শিক্ষার্থীদের উত্সাহিত করা, একটি কাজের এবং শিক্ষামূলক দলে কাজ করার দক্ষতা বিকাশ করা।

পাঠের উদ্দেশ্য:

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধানের প্রধান ধরন এবং পদ্ধতিগুলির সাথে ছাত্রদের পরিচিত করা যা দ্বিঘাত সমীকরণে হ্রাস করা যেতে পারে।

সমর্থন (সম্পদ):

হার্ডওয়্যার: কম্পিউটার, মাল্টিমিডিয়া প্রজেক্টর।

সফটওয়্যার:মাইক্রোসফটএক্সেল.

মৌলিক ধারণা:

দ্বিঘাত সমীকরণ; সহজ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ; বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন; ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ দ্বিঘাতে কমে গেছে।

সাহিত্য:

বাশমাকভ এম.আই. গণিত: প্রাথমিক ও মাধ্যমিক বৃত্তিমূলক শিক্ষার পাঠ্যপুস্তক। – এম.; "একাডেমি", 2010। - 256 পি।

দিয়াচেঙ্কো ভি.কে. - এম.; "জনশিক্ষা", 2001। - 496 সে.

পদ্ধতিগত সাহিত্য:

বাশমাকভ এম.আই. গণিত: শিক্ষকদের জন্য একটি বই। পদ্ধতিগত ম্যানুয়াল। - এম।; « একাডেমী", 2013 - 224 পি।

ইলেকট্রনিক সম্পদ:

সাইটের উপকরণশিক্ষার একটি সম্মিলিত উপায় তৈরি করার জন্য সামাজিক এবং শিক্ষাগত আন্দোলন:www.kco-kras.ru।

পাঠের ধাপ

আয়োজনের সময়।

বাড়ির কাজ পরীক্ষা করা হচ্ছে।

মৌলিক জ্ঞান আপডেট করা।

নতুন উপাদান শেখা.

অর্জিত জ্ঞান একত্রীকরণ এবং পদ্ধতিগতকরণ।

প্রতিফলন। সারসংক্ষেপ। বাড়ির কাজ.

ক্লাস চলাকালীন

আয়োজনের সময়।

শিক্ষক শিক্ষার্থীদের জন্য পাঠের লক্ষ্য নির্ধারণ করেন:

1) ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলির প্রধান প্রকারগুলি প্রবর্তন করুন যা দ্বিঘাত সমীকরণে হ্রাস করা যেতে পারে;

2) ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধানের জন্য আদর্শ পদ্ধতি প্রবর্তন করুন যা দ্বিঘাত সমীকরণে হ্রাস করা যেতে পারে।

3) আদর্শ সমীকরণ সমাধানের জন্য অর্জিত জ্ঞান এবং দক্ষতা কীভাবে প্রয়োগ করতে হয় তা শেখান;

4) বিভিন্ন আকারে উপস্থাপিত তথ্যের সাথে কীভাবে কাজ করতে হয় তা শেখান, পারস্পরিক নিয়ন্ত্রণ এবং আত্ম-নিয়ন্ত্রণ অনুশীলন করুন এবং অর্জিত জ্ঞান পেশাদার ক্রিয়াকলাপে প্রয়োগ করুন।

২ . বাড়ির কাজ পরীক্ষা করা হচ্ছে।

শিক্ষক একটি "হোমওয়ার্ক" উপস্থাপনা অন্তর্ভুক্ত করে, যা অনুসারে শিক্ষার্থীরা স্বাধীনভাবে তাদের হোমওয়ার্ক পরীক্ষা করে এবং প্রয়োজনে কাজের সংশোধন এবং সংশোধন করে।

শিক্ষার্থীদের অনুরোধে, শিক্ষক সমস্যা সৃষ্টিকারী সমীকরণের সমাধানের বিষয়ে মন্তব্য করেন, তারপরে তিনি সেই ছাত্রদের নাম ঘোষণা করেন যারা পাঠের শেষে তাদের নোটবুক চেক করার জন্য তুলে দেন।

№ 1

উত্তর:

№ 2

উত্তর:

№ 3

উত্তর:

№ 4

কারণ তাহলে সমীকরণের কোনো শিকড় নেই

উত্তর: শিকড় নেই

№ 5

উত্তর:

№ 6

উত্তর:

III . মৌলিক জ্ঞান আপডেট করা।

শিক্ষক অধ্যয়ন গোষ্ঠী/জোড়া গঠন করেন এবং সমীকরণ এবং উত্তরগুলির মধ্যে একটি চিঠিপত্র স্থাপন করতে প্রদত্ত ফর্মগুলি ব্যবহার করার পরামর্শ দেন: “আপনার সামনে একটি শিক্ষামূলক কাজ সহ একটি স্লাইড রয়েছে। সমীকরণগুলি (টেবিলের বাম দিকে) উত্তরগুলির সাথে (টেবিলের ডান পাশে) মিলান। আপনার নোটবুকে সঠিক জোড়া বিবৃতির সংখ্যা লিখুন।"

উল্লেখিত কাজগুলি অন্তর্ভুক্ত উপস্থাপনায় নকল করা হয়েছে।

ম্যাচ

p/p

সমীকরণটি

p/p

উত্তর

কোন শিকড়

কাজের শেষে, শিক্ষক দলের প্রতিনিধিদের সামনে সাক্ষাত্কার নেন, তারপরে তিনি সঠিক সমাধানগুলির সাথে উপস্থাপনা পৃষ্ঠাটি চালু করেন।

সঠিক উত্তর

p/p

সমীকরণটি

p/p

উত্তর

কোন শিকড়

কোন শিকড়

11.

13.

10.

12.

IV . নতুন উপাদান শেখা.

শিক্ষক নতুন উপাদানের একটি উপস্থাপনা অন্তর্ভুক্ত করেছেন “ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ দ্বিঘাতে হ্রাস পেয়েছে। সমীকরণের ধরন এবং তাদের সমাধানের পদ্ধতি।"

শিক্ষার্থীদের প্রয়োজনীয় পয়েন্টগুলি লিখতে আমন্ত্রণ জানায় এবং প্রতিটি স্লাইডে মন্তব্য করতে শুরু করে, তারপরে তারা উপস্থাপনা চালু করে।

আসুন ধারণাটি উপস্থাপন করা যাক:

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ দৃশ্য:

1 ধরনের ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ যা দ্বিঘাত সমীকরণে হ্রাস করা যেতে পারে - সমীকরণগুলি যেগুলি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির একটির ক্ষেত্রে বীজগণিত।

শিক্ষক সমাধানগুলো ব্যাখ্যা করেন।

1. সরাসরি প্রতিস্থাপন

প্রতিস্থাপন ,

এবং

কোন শিকড়

উত্তর:

ফর্মের সমীকরণগুলির একটি অনুরূপ সমাধান রয়েছে

প্রতিস্থাপন

প্রতিস্থাপন

2. ত্রিকোণমিতিক একক সূত্র ব্যবহার করে রূপান্তর প্রয়োজন এমন সমীকরণ

প্রতিস্থাপন , তাহলে সমীকরণটি রূপ নেয়

এবং

কোন শিকড়

উত্তর:

ফর্মের সমীকরণগুলির একটি অনুরূপ সমাধান রয়েছে:

আমরা প্রতিস্থাপন করব , ত্রিকোণমিতিক ইউনিট সূত্র ব্যবহার করে

.

আমরা শুধুমাত্র একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ধারণকারী একটি সমীকরণ প্রাপ্ত :

প্রতিস্থাপন

3. সংযোগ সূত্র ব্যবহার করে রূপান্তর প্রয়োজন সমীকরণ tgx এবং সঙ্গে tgx

আমরা সূত্র প্রয়োগ করি:

সমীকরণটি দ্বারা গুণ করুন

প্রতিস্থাপন , তাহলে সমীকরণটি রূপ নেয়

এবং

উত্তর:

টাইপ 2 ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ দ্বিঘাত সমীকরণে হ্রাস করে- সমজাতীয় সমীকরণ যাতে প্রতিটি পদের একই মাত্রা থাকে।

দ্বারা সমীকরণ ভাগ

প্রতিস্থাপন , তাহলে সমীকরণটি রূপ নেয়

এবং

উত্তর:

শিক্ষক উপস্থাপিত উপাদানের সংক্ষিপ্তসারের পরামর্শ দেন এবং প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেন: “ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি কত প্রকারের যা দ্বিঘাত সমীকরণে ভাগ করা যায়? তাদের নাম? ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করার উপায়গুলির নাম দিন যা দ্বিঘাত সমীকরণে হ্রাস করা যেতে পারে।"

এই ধরনের সমীকরণ সমাধানের জন্য একটি অ্যালগরিদম তৈরি করার সময় শিক্ষক ছাত্রদের ক্রিয়াকলাপ পরিচালনা করেন।

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি যা দ্বিঘাত সমীকরণে হ্রাস পায় সেগুলি দুটি প্রধান প্রকারে বিভক্ত:

tgx এবং সঙ্গে tgx :

টাইপ 2 - সমজাতীয় সমীকরণ যেখানে প্রতিটি পদের একই ডিগ্রি রয়েছে:

শিক্ষক একটি সমন্বয় করে তোলে সমাধান অ্যালগরিদম:

1. সমীকরণের ধরন নির্ণয় কর। প্রয়োজনে, সমীকরণটি পুনরায় সাজান যাতে এটিতে শুধুমাত্র একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন থাকে। এটি করতে, পছন্দসই সূত্র নির্বাচন করুন: বাবা ভাগ করুন

2. একটি প্রতিস্থাপন চালু করা হয়েছে (উদাহরণস্বরূপ, sinx = t , cosx = t , tgx = t ).

5. উত্তর লিখুন।

অর্জিত জ্ঞানকে একীভূত করার জন্য, শিক্ষক সমীকরণ এবং তাদের সমাধানের সম্ভাব্য পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি চিঠিপত্র স্থাপনের পরামর্শ দেন: “আপনার সামনে একটি প্রশিক্ষণের টাস্ক সহ একটি স্লাইড রয়েছে।

1. নীচের সারণী অনুযায়ী সমাধান পদ্ধতি অনুযায়ী সমীকরণ শ্রেণীবদ্ধ করুন

(টেবিলের মুদ্রিত সংস্করণগুলি আপনার ডেস্কে রয়েছে)।

2. উপযুক্ত বাক্সে সমাধান পদ্ধতির সংখ্যা লিখুন।

টেবিল পূরণ করুন"।

কাজ জোড়ায় করা হয়।

p/p

সমীকরণটি

পদ্ধতি

পদ্ধতি:

1) একটি নতুন ভেরিয়েবল লিখুন।

2) একটি নতুন ভেরিয়েবল লিখুন

3) একটি নতুন ভেরিয়েবল লিখুন।

4) সূত্র ব্যবহার করে সমীকরণটি রূপান্তর করুন এবং একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তন করুন।

5) সূত্র ব্যবহার করে সমীকরণটি রূপান্তর করুন, একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তন করুন।

6) সমীকরণের প্রতিটি পদকে দ্বারা ভাগ করুন, একটি নতুন চলক প্রবর্তন করুন।

7) সূত্র ব্যবহার করে সমীকরণটি রূপান্তর করুন, সমীকরণের পদগুলিকে দ্বারা গুণ করুন, একটি নতুন চলক লিখুন।

টাস্কটি সামনের কথোপকথনের আকারে পরীক্ষা করা হয়।

শিক্ষক: “আপনার সামনে শিক্ষামূলক কাজের সঠিক উত্তর সহ একটি স্লাইড রয়েছে। . শেখার টাস্কের সঠিক উত্তরগুলো যাচাই করে দেখুন। আপনার নোটবুকের ভুলগুলো নিয়ে কাজ করুন।"

অ্যাসাইনমেন্ট শীট পাঠের শেষে সংগ্রহ করা হয়।

p/p

সমীকরণটি

পদ্ধতি

2

4

2

1

7

1

3

5

6

3

6

2

6

VI . অর্জিত জ্ঞান একত্রীকরণ এবং পদ্ধতিগতকরণ।

শিক্ষক ছাত্রদের দলে কাজ চালিয়ে যেতে আমন্ত্রণ জানান।

শিক্ষক: "সমীকরণগুলি সমাধান করুন। এডিটরে ফলাফল দেখুন মাইক্রোসফট এক্সেল . সমাধানের শেষে, গ্রুপের একজন প্রতিনিধি ব্ল্যাকবোর্ডে যায় এবং গ্রুপের দ্বারা সম্পন্ন সমীকরণের সমাধান উপস্থাপন করে। শিক্ষক সমাধানটি পরীক্ষা করেন, গ্রুপের কাজের মূল্যায়ন করেন এবং প্রয়োজনে ত্রুটিগুলি চিহ্নিত করেন।"

শিক্ষক:

1 ) একটি গ্রুপ হিসাবে সমাধান আলোচনা.

2) সমাধান এবং প্রাপ্ত উত্তর আপনার নোটবুকে লিখুন।

3) সম্পাদকে ফলাফল পরীক্ষা করুন মাইক্রোসফট এক্সেল .

4) আপনার শিক্ষককে জানান যে আপনি প্রস্তুত।

5) অন্য গ্রুপের সদস্যদের বোর্ডে লিখে আপনার সিদ্ধান্ত ব্যাখ্যা করুন।

6) আপনার কমরেডদের বক্তৃতা মনোযোগ সহকারে শুনুন, প্রয়োজনে প্রশ্ন করুন।

যে স্টাডি গ্রুপগুলি সম্পূর্ণভাবে অ্যাসাইনমেন্টগুলি সম্পন্ন করেছে তাদের অন্যান্য গ্রুপের অ্যাসাইনমেন্টগুলি সম্পূর্ণ করার জন্য আমন্ত্রণ জানানো হয়েছে। একটি ইউনিট দ্বারা চূড়ান্ত স্কোর বৃদ্ধির সাথে সফল দলগুলিকে পুরস্কৃত করা হয়।

প্রথম গ্রুপ:

আমরা সূত্র প্রয়োগ করি:

এবং

কোন শিকড়

কারণ

উত্তর:

দ্বিতীয় গ্রুপ:

আমরা সূত্র প্রয়োগ করি:

প্রতিস্থাপন, তারপর সমীকরণ হয়ে যায়

এবং

উত্তর: ;

তৃতীয় গ্রুপ:

আমরা সূত্র প্রয়োগ করি:

সমীকরণটি দ্বারা গুণ করুন

প্রতিস্থাপন, তারপর সমীকরণ হয়ে যায়

এবং

উত্তর:

চতুর্থ গ্রুপ:

দ্বারা সমীকরণ ভাগ

প্রতিস্থাপন, তারপর সমীকরণ হয়ে যায়

এবং

উত্তর:

পঞ্চম গ্রুপ:

প্রতিস্থাপন, তারপর সমীকরণ হয়ে যায়

এবং

উত্তর:; .

VII . প্রতিফলন। সারসংক্ষেপ। বাড়ির কাজ.

শিক্ষক: আসুন আপনার কাজের সংক্ষিপ্তসার করি, আপনার লক্ষ্যের সাথে আপনার ক্রিয়াকলাপের ফলাফলগুলিকে সংযুক্ত করি।

এর পুনরাবৃত্তি করা যাক ধারণা:

• "ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি যেগুলি পরিবর্তনশীল এবং পরিবর্তনশীল পরিবর্তনের মাধ্যমে দ্বিঘাত সমীকরণে হ্রাস করা হয় তাকে দ্বিঘাত সমীকরণে হ্রাসযোগ্য ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ বলা হয়।"

টাইপ 1 – সমীকরণ, ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির একটির সাথে বীজগণিত:

- সরাসরি প্রতিস্থাপন - প্রতিস্থাপন বা;

- ত্রিকোণমিতিক ইউনিট সূত্র ব্যবহার করে রূপান্তর প্রয়োজন এমন সমীকরণ;

- সংযোগ সূত্র অনুযায়ী রূপান্তর প্রয়োজন সমীকরণ tgx এবং সাথে tgx :

টাইপ 2 - সমজাতীয় সমীকরণ যেখানে প্রতিটি পদের একই ডিগ্রি রয়েছে: দ্বারা সমীকরণ ভাগ, তারপর প্রতিস্থাপন.

সমাধান অ্যালগরিদম:

1. সমীকরণের ধরন নির্ণয় কর। প্রয়োজনে, সমীকরণটি পুনরায় সাজান যাতে এটিতে শুধুমাত্র একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন থাকে।

এটি করার জন্য, পছন্দসই সূত্র নির্বাচন করুন:

বা বা ভাগ করুন

2. একটি প্রতিস্থাপন চালু করা হয়েছে (উদাহরণস্বরূপ, sinx = t , cosx = t , tgx = t ).

3. দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান কর।

4. বিপরীত প্রতিস্থাপন করা হয়, এবং সবচেয়ে সহজ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণটি সমাধান করা হয়।

5. উত্তর লিখুন।

শিক্ষক ছাত্রদের কাজ এবং অধ্যয়ন দলের মূল্যায়ন করেন এবং গ্রেড ঘোষণা করেন।

শিক্ষক: "আপনার বাড়ির কাজটি লিখুন: বাশমাকভ এম.আই. গণিত: প্রাথমিক এবং মাধ্যমিক পেশাদারদের জন্য পাঠ্যপুস্তক। শিক্ষা। – এম.; "একাডেমি", 2010। পিপি। 114-115। 10 নম্বরে, 4,5,7,9 নম্বর সমীকরণগুলি সমাধান করুন। p. 118. সম্পাদকে ফলাফল দেখুন মাইক্রোসফট এক্সেল ».

পিছনে এগিয়ে

মনোযোগ! স্লাইড প্রিভিউ শুধুমাত্র তথ্যগত উদ্দেশ্যে এবং উপস্থাপনার সমস্ত বৈশিষ্ট্য উপস্থাপন নাও করতে পারে। আপনি যদি এই কাজটিতে আগ্রহী হন তবে দয়া করে সম্পূর্ণ সংস্করণটি ডাউনলোড করুন।

পাঠের লক্ষ্য এবং উদ্দেশ্য।

• শিক্ষামূলক:
  • পুনরাবৃত্তি: সহজ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের জন্য সংজ্ঞা এবং পদ্ধতি; দ্বিঘাত সমীকরণের সংজ্ঞা, বৈষম্যমূলক সূত্র এবং দ্বিঘাত সমীকরণের মূল
  • ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধানের স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্য এবং পদ্ধতি সম্পর্কে জ্ঞান গঠন করা যা দ্বিঘাত সমীকরণে হ্রাস করা যেতে পারে।
  • করতে সক্ষম হবেন: ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলির মধ্যে চিহ্নিত করুন ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ যা দ্বিঘাত সমীকরণে হ্রাস করা যেতে পারে এবং তাদের সমাধান করতে পারে।
• উন্নয়নমূলক:
  • শিক্ষার্থীদের যৌক্তিক চিন্তাভাবনা, স্মৃতি, মনোযোগ, বক্তৃতা বিকাশ করুন; মূল জিনিসটি যুক্তি এবং হাইলাইট করার ক্ষমতা; স্ব-নিয়ন্ত্রণ এবং পারস্পরিক নিয়ন্ত্রণের দক্ষতা বিকাশের জন্য স্বাধীনভাবে জ্ঞান অর্জন এবং অনুশীলনে প্রয়োগ করার ক্ষমতা।
• শিক্ষামূলক:
  • সহপাঠীদের প্রতি শ্রদ্ধা, স্বাধীনতা, দায়িত্ব, নান্দনিক রুচি, পরিচ্ছন্নতা এবং গণিতে আগ্রহ তৈরি করুন।

সরঞ্জাম:মাল্টিমিডিয়া প্রজেক্টর, স্ক্রিন, স্ব-মূল্যায়ন শীট।

যোগাযোগের সাংগঠনিক ফর্ম:সম্মুখ, গোষ্ঠী, ব্যক্তি।

পাঠের ধরন:নতুন জ্ঞান আয়ত্ত করা।

শিক্ষাগত প্রযুক্তি:আইসিটি, ডিজাইন।

পাঠ পরিকল্পনা.

1. সাংগঠনিক মুহূর্ত, ছাত্রদের কাজের প্রেরণা গঠন।
2. বিষয় প্রণয়ন, পাঠ লক্ষ্য.
3. জ্ঞান আপডেট করা এবং নতুন উপাদানের সক্রিয় এবং সচেতন শিক্ষার জন্য শিক্ষার্থীদের প্রস্তুত করা।
4. নতুন জ্ঞান এবং কর্মের পদ্ধতির আত্তীকরণের পর্যায়।
5. সক্রিয় শিথিলকরণ এবং সক্রিয়করণের পর্যায়।
6. যা শেখা হয়েছে তা বোঝার প্রাথমিক পরীক্ষার পর্যায়।
7. প্রতিফলন এবং মূল্যায়ন পর্যায়। পাঠের সারসংক্ষেপ।
8. শিক্ষার্থীদের হোমওয়ার্ক সম্পর্কে অবহিত করার পর্যায় এবং কীভাবে এটি সম্পূর্ণ করতে হয় তার নির্দেশনা।

প্রস্তুতিমূলক কাজ

ক্লাসের শিক্ষার্থীদের আগে থেকেই দলে ভাগ করতে হবে। ছাত্রদেরকে স্বাধীনভাবে দলে ভাগ করার নীতি বেছে নেওয়ার অধিকার শিক্ষকের আছে।
বিকল্পগুলির মধ্যে একটি হল এমন গোষ্ঠী যা গাণিতিক প্রস্তুতির বিভিন্ন স্তরের ছাত্রদের অন্তর্ভুক্ত করবে: "মৌলিক" থেকে "উন্নত" পর্যন্ত।
প্রতিটি গোষ্ঠীকে প্রথমে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলির একটি সমাধান করার জন্য একটি অ্যালগরিদম অধ্যয়ন করার কাজ দেওয়া হয় (শিক্ষক দ্বারা প্রস্তাবিত তথ্যের উত্স এবং স্বাধীনভাবে পাওয়া তথ্যগুলি ব্যবহার করা হয়)। প্রতিটি গ্রুপের সদস্যরা তাদের কাজের ফলাফল "ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ" বিষয়ের একটি পাঠে উপস্থাপন করে। প্রস্তাবিত উপাদানের আয়তন এবং এর জটিলতার উপর নির্ভর করে, 1-2 গোষ্ঠী তাদের কাজের ফলাফল উপস্থাপন করে একটি পাঠে কথা বলার সময় থাকতে পারে।
আমরা আপনার নজরে একটি পাঠ উপস্থাপন করছি যা ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করার বিষয়ে আলোচনা করে যা দ্বিঘাত সমীকরণে হ্রাস পায়।

বাস্তবের ঘর থেকে গণিতের বনে ঘুরে বেড়ানো সহজ, কিন্তু ফিরে আসতে পারে মাত্র কয়েকজন।

এইচ. স্টেইনহাউস

একজন ব্যক্তি যত বেশি মানুষ হবেন, তত কম তিনি নতুনের দিকে একটি অন্তহীন এবং অবিনশ্বর আন্দোলন ছাড়া অন্য কিছুতে রাজি হবেন না।

পিয়েরে চার্দিন

ক্লাস চলাকালীন

1. সাংগঠনিক মুহূর্ত, শিক্ষার্থীদের কাজের প্রেরণা গঠন ( 3 মিনিট)

শুভেচ্ছা। অনুপস্থিতি রেকর্ড করা, পাঠের জন্য শিক্ষার্থীদের প্রস্তুতি পরীক্ষা করা। পরবর্তীতে, প্রতিটি শিক্ষার্থীকে একটি স্কোর শীট দেওয়া হয়। শিক্ষক সংক্ষিপ্তভাবে মূল্যায়ন পত্রটি পূরণ করার নিয়ম সম্পর্কে মন্তব্য করেন এবং 1-3 লাইন পূরণ করার পরামর্শ দেন। অ্যানেক্স 1 .
শিক্ষার্থীদের মনোযোগের সংগঠন: শিক্ষক পিয়েরে চার্ডিনের উদ্ধৃতি দিয়ে শিক্ষার্থীদের উদ্দেশে তুলে ধরেন, তারা কীভাবে শব্দের অর্থ বুঝতে পেরেছিলেন তা ব্যাখ্যা করার প্রস্তাব দেন (আপনি 2-3 জনের কথা শুনতে পারেন), শব্দগুলিকে পাঠের মূলমন্ত্র বানানোর পরামর্শ দেন এবং জিজ্ঞাসা করেন যে তারা তাদের লেখক কে জানেন। সংক্ষিপ্ত ঐতিহাসিক পটভূমি (স্লাইড 3)।

*প্রেজেন্টেশন ব্যবহার করার জন্য নির্দেশাবলী – পরিশিষ্ট 2 .

2. বিষয়ের প্রণয়ন, পাঠের লক্ষ্য(2-3 মিনিট।)

শিক্ষক পূর্ববর্তী পাঠের বিষয় (সরল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান) প্রণয়ন করতে বলেন। ছাত্রদের জিজ্ঞাসা করুন তারা কি মনে করে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের অন্যান্য ধরনের আছে? (হ্যাঁ। যদি "সরল" থাকে, তার মানে আরও জটিল আছে, অন্যথায় "সরল" শব্দটি চালু করার দরকার নেই যদি এটিই একমাত্র ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ হয়)। উপরের উপর ভিত্তি করে, তিনি আজকের পাঠের বিষয় (জটিল/অন্যান্য/বিভিন্ন ধরনের ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান) প্রণয়ন করার প্রস্তাব করেছেন।
বিষয় সামঞ্জস্য করার পরে, ছাত্রদের তাদের নোটবুকে লিখতে আমন্ত্রণ জানায়: পাঠের তারিখ, বাক্যাংশ "কুল কাজ" এবং পাঠের বিষয় "বিভিন্ন ধরনের ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করা: সমীকরণ যা দ্বিঘাত সমীকরণে হ্রাস পায়।"
প্রতিটি ছাত্রের তাদের ডেস্কে আপেল টেমপ্লেট এবং মার্কার থাকে। আসন্ন পাঠের জন্য আপনার প্রত্যাশাগুলি "আপেল" এর উপর লেখার প্রস্তাব করা হয়েছে, যার বিষয়টি ইতিমধ্যে প্রণয়ন করা হয়েছে। এর পরে, সমস্ত আপেল টেমপ্লেট সংযুক্ত করা হয়, উদাহরণস্বরূপ, টেপ ব্যবহার করে, একটি গাছের ছবি সহ একটি প্রাক-প্রস্তুত পোস্টারে। এটি একটি "প্রত্যাশা গাছ" হতে সক্রিয়.

এক বা অন্য প্রত্যাশা অর্জিত হয়, সংশ্লিষ্ট আপেল পাকা বিবেচনা করা যেতে পারে এবং ঝুড়িতে সংগ্রহ করা যেতে পারে। এই সক্রিয় শেখার পদ্ধতি ব্যবহার করা পাঠে শিক্ষার্থীদের অগ্রগতি ট্র্যাক করার একটি পরিষ্কার উপায়।

আরেকটি বিকল্প সম্ভব:শিক্ষক ক্লাসের শিক্ষার্থীদের সামনে একটি ঘন্টার গ্লাস রাখেন এবং একটি পাঠে তারা কী শিখতে চান সে সম্পর্কে একটি প্রশ্নের উত্তর দিতে বলেন, যার বিষয়টি ইতিমধ্যে তৈরি করা হয়েছে (1-2টি বিকল্প যথেষ্ট)।

3. জ্ঞান আপডেট করাএবং নতুন উপাদানের সক্রিয় এবং সচেতন শিক্ষার জন্য শিক্ষার্থীদের প্রস্তুত করা (10 মিনিট)।

শিক্ষক।হার্বার্ট স্পেন্সার বলেছিলেন যে একজন ব্যক্তির জ্ঞান যদি বিশৃঙ্খল অবস্থায় থাকে, তবে তার জ্ঞান যত বেশি থাকে, তার চিন্তাভাবনা তত বেশি বিশৃঙ্খল হয়। আসুন এই বিখ্যাত ব্রিটিশ দার্শনিকের পরামর্শ অনুসরণ করি (সাধারণ ব্যক্তিগত বিকাশের জন্য তথ্য - একটি সংক্ষিপ্ত ঐতিহাসিক পটভূমি। (5 স্লাইড) নতুন উপাদান অধ্যয়ন করার আগে, আসুন আমরা "ত্রিকোণমিতি" বিভাগ থেকে যা জানি তা মনে করি।

সামনে কাজ(মৌখিকভাবে)

- ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সংজ্ঞা দাও।
– একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের কয়টি মূল থাকতে পারে?
– সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি কী কী?
– সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করার অর্থ কী?
- ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের কোন পদ্ধতি আপনি জানেন? (2 বিকল্প: সূত্র; ইউনিট বৃত্ত)।

ক) টেবিলটি পূরণ করুন:

খ) ইউনিট চেনাশোনাগুলিতে উপস্থাপিত সমাধানগুলির সাথে সমীকরণগুলি মিলান (ভাষ্য সহ)

স্বাধীন কাজ (পরিশিষ্ট 3 )

সহজ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করার ক্ষমতা সম্পর্কে পারস্পরিক পরীক্ষা/স্ব-পরীক্ষা (উত্তরগুলির সঠিকতা একটি উপস্থাপনা ব্যবহার করে পরীক্ষা করা হয়) দ্বারা অনুসরণ করা হয়। প্রদর্শিত (স্লাইড 12)। প্রয়োজনে কিছু সমীকরণের সমাধান সংক্ষেপে মন্তব্য করা হলো।

4. নতুন জ্ঞান এবং কর্মের পদ্ধতির আত্তীকরণের পর্যায়(15 মিনিট.).

ক্লাসের ছাত্রদের পূর্বে গোষ্ঠীতে বিভক্ত করা হয়েছিল, যার প্রত্যেকটি স্বাধীনভাবে পরীক্ষা করা হয়েছিল, শিক্ষক দ্বারা সুপারিশকৃত উপাদান ব্যবহার করে এবং স্বাধীনভাবে পাওয়া যায়, ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের একটি প্রকার।
কাজের ফলাফল পাওয়ার পয়েন্ট প্রেজেন্টেশন ফরম্যাটে সুপারিশ/অ্যালগরিদম/সমাধান ডায়াগ্রাম আকারে উপস্থাপন করা হয়। শিক্ষক, যদি প্রয়োজন হয়, ছাত্রদের দলে উপদেশ দেন এবং তাদের কাজের চূড়ান্ত পণ্যটি প্রাক-চেক করেন।
গোষ্ঠীর একজন প্রতিনিধিকে ক্লাসে এক বা অন্য সমাধান পদ্ধতির ফলাফল উপস্থাপন করার জন্য নির্বাচিত করা হয়; বাকি শ্রেণী এই ধরণের ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের বিষয়ে উদ্ভূত প্রশ্নের উত্তর দিতে সহায়তা করে। ছাত্ররা আগে থেকেই গ্রুপে তাদের কাজের মূল্যায়ন করার মানদণ্ডের সাথে পরিচিত হয়।

আমাকে আমার সময় ভাগ করতে হবে
রাজনীতি এবং সমীকরণের মধ্যে।
যাইহোক, সমীকরণ, আমার মতে, অনেক বেশি গুরুত্বপূর্ণ।
রাজনীতি এই মুহূর্তের জন্যই বিদ্যমান,
এবং সমীকরণ চিরকাল বিদ্যমান থাকবে।

একটি গ্রুপ হিসাবে টাস্ক সম্পূর্ণ করার জন্য সম্ভাব্য বিকল্প. (স্লাইড 14-18)

1 দল. ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করা যা দ্বিঘাত সমীকরণে হ্রাস পায়।

সমীকরণের স্বাতন্ত্র্যসূচক বৈশিষ্ট্য যা চতুর্মুখীতে হ্রাস পায়:

1. সমীকরণটিতে একটি যুক্তির ত্রিকোণমিতিক ফাংশন রয়েছে বা সেগুলি সহজেই একটি যুক্তিতে হ্রাস করা যেতে পারে।
2. সমীকরণে শুধুমাত্র একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন আছে বা সমস্ত ফাংশন একটিতে কমানো যেতে পারে।

সমাধান অ্যালগরিদম:

- নিম্নলিখিত পরিচয় ব্যবহার করা হয়; তাদের সাহায্যে একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনকে অন্যটির মাধ্যমে প্রকাশ করা প্রয়োজন:

- প্রতিস্থাপন প্রক্রিয়াধীন।
- অভিব্যক্তি রূপান্তরিত হচ্ছে.
- একটি স্বরলিপি লিখুন (উদাহরণস্বরূপ, sin এক্স = y).
- একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা হচ্ছে।
- নির্দেশিত পরিমাণের মান প্রতিস্থাপিত হয়, এবং ত্রিকোণমিতিক সমীকরণটি সমাধান করা হয়।

উদাহরণ 1

6cos 2 x + 5 sin x – 7 = 0।

সমাধান.

উদাহরণ 2

উদাহরণ 3

5. সক্রিয় শিথিলকরণ এবং সক্রিয়করণের পর্যায়(২ মিনিট.).

6. যা শেখা হয়েছে তা বোঝার প্রাথমিক পরীক্ষার পর্যায়(৮ মিনিট)

স্বাধীন কাজ(পরিশিষ্ট 5 )

কাজটি আলাদা করা হয়েছে, প্রতিটি স্তরের টাস্ক জটিলতা দুটি সংস্করণে উপস্থাপিত হয়েছে।
লেভেল I – “3”, লেভেল II – “4”, লেভেল III – “5” সম্পূর্ণ সঠিক সমাধানের ক্ষেত্রে। পরবর্তী পাঠের জন্য শিক্ষক দ্বারা কাজটি পরীক্ষা করা হবে, এবং পাঠের জন্য চিহ্ন নির্ধারণ করা হবে।

7. প্রতিফলন এবং মূল্যায়ন পর্যায়। পাঠের সারসংক্ষেপ(২ মিনিট.).

স্ব-মূল্যায়ন শীটের পয়েন্ট নং 6.7 পূরণ করুন - অ্যানেক্স 1 .

8. শিক্ষার্থীদের হোমওয়ার্ক সম্পর্কে অবহিত করার পর্যায়, এর বাস্তবায়নের নির্দেশাবলী (2 মিনিট)।

পার্থক্য করা (প্রতিটি শিক্ষার্থীকে কাগজের পৃথক শীটে বিতরণ করা হয়েছে) – পরিশিষ্ট 6

গ্রন্থপঞ্জি:

1. Kornilov S.V., Kornilova L.E.পদ্ধতিগত বুক। – পেট্রোজাভোডস্ক: পেট্রোপ্রেস, 2002। – 12 পি।