Главная → Техника → Релятивистская энергия и релятивистская масса. О релятивистском «увеличении массы Релятивистские энергия и масса

Релятивистская энергия и релятивистская масса. О релятивистском «увеличении массы Релятивистские энергия и масса

После того, как Эйнштейн предложил принцип эквивалентности массы и энергии, стало очевидно, что понятие массы может использоваться двояко. С одной стороны, это та масса, которая фигурирует в классической физике, с другой - можно ввести так называемую релятивистскую массу как меру полной (включая кинетическую) энергии тела . Эти две массы связаны между собой соотношением:

где - релятивистская масса, m - «классическая» масса (равная массе покоящегося тела), v - скорость тела. Введённая таким образом релятивистская масса является коэффициентом пропорциональности между импульсом и скоростью тела :

Аналогичное соотношение выполняется для классических импульса и массы, что также приводится как аргумент в пользу введения понятия релятивистской массы. Введённая таким образом релятивистская масса в дальнейшем привела к тезису, что масса тела зависит от скорости его движения .

В процессе создания теории относительности обсуждались понятия продольной и поперечной массы частицы. Пусть сила, действующая на частицу, равна скорости изменения релятивистского импульса. Тогда связь силы и ускорения существенно изменяется по сравнению с классической механикой:

Если скорость перпендикулярна силе, то а если параллельна, то где - релятивистский фактор. Поэтому называют продольной массой, а - поперечной.

Утверждение о том, что масса зависит от скорости, вошло во многие учебные курсы и в силу своей парадоксальности приобрело широкую известность среди неспециалистов. Однако в современной физике избегают использовать термин «релятивистская масса», используя вместо него понятие энергии, а под термином «масса» понимая массу покоя. В частности, выделяются следующие недостатки введения термина «релятивистская масса» :

§ неинвариантность релятивистской массы относительно преобразований Лоренца;

§ синонимичность понятий энергия и релятивистская масса, и, как следствие, избыточность введения нового термина;

§ наличие различных по величине продольной и поперечной релятивистских масс и невозможность единообразной записи аналога второго закона Ньютона в виде

§ методологические сложности преподавания специальной теории относительности, наличие специальных правил, когда и как следует пользоваться понятием «релятивистская масса» во избежание ошибок;

§ путаница в терминах «масса», «масса покоя» и «релятивистская масса»: часть источников просто массой называют одно, часть - другое.

Несмотря на указанные недостатки, понятие релятивистской массы используется и в учебной , и в научной литературе. Следует, правда, отметить, что в научных статьях понятие релятивистской массы используется по большей части только при качественных рассуждениях как синоним увеличения инертности частицы, движущейся с околосветовой скоростью.

17. Законы сохранения энергии и импульса в СТО.

18. Колебания в механике. Упругие и квазиупругие силы. Собственные колебания.

Колебания - повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы около точки равновесия. Например, при колебаниях маятника повторяются отклонения его в ту и другую сторону от вертикального положения; при колебаниях в электрическом колебательном контуре повторяются величина и направление тока, текущего через катушку.

Колебания почти всегда связаны с попеременным превращением энергии одной формы проявления в другую форму.

Колебания различной физической природы имеют много общих закономерностей и тесно взаимосвязаны c волнами. Поэтому исследованиями этих закономерностей занимается обобщённая теория колебаний и волн. Принципиальное отличие от волн: при колебаниях не происходит переноса энергии, это, так сказать, «местные» преобразования энергии.

Классификация

Выделение разных видов колебаний зависит от подчёркиваемых свойств колеблющихся систем (осцилляторов)

[править]По физической природе

§ Механические (звук, вибрация)

§ Электромагнитные (свет, радиоволны, тепловые)

§ Смешанного типа - комбинации вышеперечисленных

[править]По характеру взаимодействия с окружающей средой

§ Вынужденные - колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия. Примеры: листья на деревьях, поднятие и опускание руки. При вынужденных колебаниях может возникнуть явлениерезонанса: резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении собственной частоты осциллятора и частоты внешнего воздействия.

§ Свободные (или собственные) - это колебания в системе под действием внутренних сил, после того как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие). Простейшими примерами свободных колебаний являются колебания груза, прикреплённого к пружине, или груза, подвешенного на нити.

§ Автоколебания - колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии, расходующейся на совершение колебаний (пример такой системы - механические часы). Характерным отличием автоколебаний от свободных колебаний является, то что их амплитуда определяется свойствами самой системы, а не начальными условиями.

§ Параметрические - колебания, возникающие при изменении какого-либо параметра колебательной системы в результате внешнего воздействия.

§ Случайные - колебания, при которых внешняя или параметрическая нагрузка является случайным процессом.

Характеристики

§ Амплитуда - максимальное отклонение колеблющейся величины от некоторого усреднённого её значения для системы, (м)

§ Период - промежуток времени, через который повторяются какие-либо показатели состояния системы (система совершает одно полное колебание), (с)

§ Частота - число колебаний в единицу времени, (Гц, с −1) .

Период колебаний и частота - обратные величины;

В круговых или циклических процессах вместо характеристики «частота» используется понятие круговая (циклическая) частота (рад/с, Гц, с −1) , показывающая число колебаний за единиц времени:

§ Смещение - отклонение тела от положения равновесия. Обозначение Х, Единица измерения метр.

§ Фаза колебаний - определяет смещение в любой момент времени, то есть определяет состояние колебательной системы.

КВАЗИУПРУГАЯ СИЛА - направленная к центру О сила. модуль к-рой пропорционален расстоянию r от центра О до точки приложения силы (F=-cr ), где с - постоянный коэф., численно равный силе, действующей на единице расстояния. К. с. является силой центральной и потенциальной с силовой ф-цией U= -0,5cr 2 . Примерами К. с. служат силы упругости, возникающие при малых деформациях упругих тел (отсюда и сам термин "К. с."). Приближённо К. с. можно также считать касательную составляющую силы тяжести, действующей на матем. маятник при малых его отклонениях от вертикали. Для материальной точки, находящейся под действием К. с., центр О является положением её устойчивого равновесия. Выведенная из этого положения точка будет в зависимости от нач. условий или совершать около О прямолинейные гармонич. колебания, или описывать эллипс (в частности, окружность).

Си́ла упру́гости - сила, возникающая при деформации тела и противодействующая этой деформации.

В случае упругих деформаций является потенциальной. Сила упругости имеет электромагнитную природу, являясь макроскопическим проявлением межмолекулярного взаимодействия. В простейшем случае растяжения/сжатия тела сила упругости направлена противоположно смещению частиц тела, перпендикулярно поверхности.

Вектор силы противоположен направлению деформации тела (смещению его молекул).

[править]Закон Гука

Основная статья: Закон Гука

В простейшем случае одномерных малых упругих деформаций формула для силы упругости имеет вид:

где - жёсткость тела, - величина деформации.

В словесной формулировке закон Гука звучит следующим образом:

Сила упругости, возникающая при деформации тела, прямо пропорциональна удлинению тела и направлена противоположно направлению перемещения частиц тела относительно других частиц при деформации.

[править]Нелинейные деформации

При увеличении величины деформации закон Гука перестаёт действовать, сила упругости начинает сложным образом зависеть от величины растяжения или сжатия.

Собственные колебания, свободные колебания, колебания в механической, электрической или какой-либо другой физической системе, совершающиеся при отсутствии внешнего воздействия за счёт первоначально накопленной энергии (вследствие наличия начального смещения или начальной скорости). Характер Собственные колебания определяется главным образом собственными параметрами системы (массой, индуктивностью, ёмкостью, упругостью). В реальных системах вследствие рассеяния энергии Собственные колебания всегда затухающие, а при больших потерях они становятся апериодическими.

19. Уравнения движения простейших механических колебательных систем без трения.

Колебательная система - физическая система, в которой могут существовать свободные колебания

20. Энергия колебательной системы.

21. Свободные колебания. Уравнение движения колебательных систем с жидким трением.

22. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент. Добротность.

Найдем отношение значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и (рис. 3.1):

где β– коэффициент затухания.

Натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через период Т, называется логарифмическим декрементом затухания χ:

Выясним физический смысл χиβ.

Время релаксации τ – время, в течение которого амплитуда А уменьшается в e раз .

Следовательно, коэффициент затухания β есть физическая величина , обратная времени , в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.

Пусть N число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в e раз. Тогда

Следовательно, логарифмический декремент затухания χ есть физическая величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда А уменьшается в e раз.

Если χ = 0,01, то N = 100.

При большом коэффициенте затухания происходит не только быстрое уменьшение амплитуды, но и заметно увеличивается период колебаний. Когда сопротивление становится равным критическому , ато круговая частота обращается в нуль (w=0), а (t-), колебания прекращаются. Такой процесс называетсяапериодическим (рис. 3.2).

Отличия в следующем. При колебаниях тело, возвращающееся в положение равновесия, имеет запас кинетической энергии . В случае апериодического движения энергия тела при возвращении в положение равновесия оказывается израсходованной на преодоление сил сопротивления, трения.

Добро́тность - характеристика колебательной системы, определяющая полосу резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

§ - резонансная частота колебаний

§ - энергия, запасённая в колебательной системе

§ - рассеиваемая мощность.

23. Вынужденные колебания. Резонанс.

Вынужденные колебания - колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частотаопределяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Для фотона никакого гравитационного отклонения траектории не происходит . Фотон движется прямолинейно и равномерно по своей мировой линии в 4-х мерном пространстве-времени. Для нас же, наблюдателей движения фотона (света) в 3-х мерном пространстве в заданном времени, траектория фотона выглядит искривленной, из-за кривизны пространства вблизи массивных обьектов.

Такого понятия как "релятивистская масса" не существует в природе . Это впервые заметил (1989 г) Академик Лев Борисович Окунь. Он ввёл даже специальный термин - "педагогический вирус", кочующий из одного учебника в другой. Одну из последних публикаций по этому вопросу можете прочитать . Крутым парням рекомендую ознакомиться по этому поводу с научной статьей в .

Л. Окунь указывает, что из формулы Эйнштейна для энергии покоя, Е₀ = mc², и формулы полной энергии Е = γmc², не следует определение релятивистской массы (m′=γm), а следует лишь формула роста полной энергии со скоростью по релятивистскому закону Е = γЕ₀. Математически, определение "релятивистской массы" безупречно. Но масса не может зависеть от скорости. Только представьте себе - 3 компоненты массы?! Нонсенс.

И фотон и мы живем в одном и том же 4-х мерном пространстве-времени. Но измерять, видеть, чувствовать, наблюдать мы мощем только в 3-х мерном пространстве для каждого заданного момента времени в направлении в будущее. 4-х мерное пространство-время нам не доступно физически никак. Пути туда нет. О его существовании мы догадываемся из наблюдаемых релятивистских и гравитационных эффектов. Можно так же задать вопрос: "А почему это так?" или "Так ли это на самом деле?". Точного ответа на них нет и по-видимому не предвидется.

Ответить

Что фотоны как то поглощаются черными дырами вроде установлено.Но они безмассовые и гравитационного взаимодействия вроде не должно быть.Мне пока не "доходит".Ньютон сказап:нет вверх-вниз,а есть гравитация.Эйнштейн сказал:нет гравитации,а есть искривление пространства-времени.Как Ньютон додумался -вроде "врубиться "можно. Какие мозги надо,чтобы "постичь" Эйнштейна-не "врублюсь".Один из "упоров"-4 мерное пространство.Многомерные пространства в математике не диковинка (многомерные пространства и линейная алгебра во многих хороших учебниках).Но и там "заковыки":Римановы пространства,Гильбертовы,есть еще Банаховы и др.,которые к тому же могут быть сопряженными и еще самосопряженными.И сверху инструмент к ним в виде тензорного исчисления.Полный "абажур".Но охоту отбивать вовсе не намерен.Попробую некоторый луч света ввести в темное царство.Ведь на самом деле мы и 3-х мерное пространство не воспринимаем (воспринимаем его двумерную проекцию).Действительно.Кто может воспринять даже простой 3-х мерный куб сразу со всех сторон?Проще: если грани покрашены в разные цвета,то вы никак не скажете,какого цвета задняя или нижняя грани пока не повернете куб.А мы пытаемся"постичь" 4-х мерный куб сразу со всех сторон?!По крайней мере надо самому быть 4-х мерным или даже 5-ти мерным.Остается постигать абстрактными методами по крайней мере математикой.Не сильно обрадовал,но хоть возможно убедил,что биться лбом о 4-х мерную стенку не стоит.Все равно лоб не 4-х мерный,а всего лишь 3-х мерный.

где m rel - релятивистская масса, m - «классическая» масса (равная массе покоящегося тела), v - скорость тела. Введённая таким образом релятивистская масса является коэффициентом пропорциональности между импульсом и скоростью тела :

Если скорость перпендикулярна силе, то , а если параллельна, то , где - релятивистский фактор. Поэтому m γ = m rel называют продольной массой, а m γ 3 - поперечной.

§ неинвариантность релятивистской массы относительно преобразований Лоренца;

§ наличие различных по величине продольной и поперечной релятивистских масс и невозможность единообразной записи аналогавторого закона Ньютона в виде

58. Строение атома. Опыты Резерфорда.

1. В центре атома находится положительно заряженное ядро, занимающее ничтожную часть пространства внутри атома.
2. Весь положительный заряд и почти вся масса атома сосредоточены в его ядре.
3. Ядра атомов состоят из протонов и нейтронов (нуклонов). Число протонов в ядре равно порядковому номеру элемента, а сумма чисел протонов и нейтронов соответствует его массовому числу.
4. Вокруг ядра по замкнутым орбитам вращаются электроны. Их число равно положительному заряду ядра.

Ядро - это центральная позитивно заряженная часть атома, в которой сосредоточена его масса.
Электрон - частица с негативным зарядом, который условно принят за -1.
Нейтрон - нейтральная частица, не имеющая электрического заряда. Масса нейтрона равна 1 а. е. м.
Протон - положительно заряженная частица, с такой же массой, как и нейтрон. Заряд протона равен заряду электрона и противоположен по знаку.
Число протонов в ядре атома равно числу электронов. Это число определяет заряд ядра атома элемента и его порядковый номер элемента в таблице Менделеева.
При известных условиях нейтрон может превращаться в протон и наоборот.
Атомные массы элементов в периодической таблице являются средним значением из массовых чисел природных смесей из изотопов. Поэтому они не могут, как считал Менделеев, служить главной характеристикой атома и элемента. Такой характеристикой является заряд ядра атома. Он определяет число электронов в нейтральном атоме, которые распределяются вокруг ядра по определенным орбитам и определяют химические свойства атомов. В результате этого было дано новое определение химического элемента и уточнена формулировка периодического закона:
Химический элемент - это совокупность атомов с одинаковым зарядом ядра.
Свойства элементов, а также свойства и формы их соединений находятся в периодической зависимости от заряда ядра атома элемента.

От радиоактивного источника, заключенного в свинцовый контейнер, α-частицы направлялись на тонкую металлическую фольгу. Рассеянные частицы попадали на экран, покрытый слоем кристаллов сульфида цинка, способных светиться под ударами быстрых заряженных частиц. Сцинтилляции (вспышки) на экране наблюдались глазом с помощью микроскопа. Наблюдения рассеянных α-частиц в опыте Резерфорда можно было проводить под различными углами φ к первоначальному направлению пучка. Было обнаружено, что большинство α-частиц проходит через тонкий слой металла, практически не испытывая отклонения. Однако небольшая часть частиц отклоняется на значительные углы, превышающие 30°. Очень редкие α-частицы (приблизительно одна на десять тысяч) испытывали отклонение на углы, близкие к 180°.

Этот результат был совершенно неожиданным даже для Резерфорда. Его представления находилbcm в резком противоречии с моделью атома Томсона, согласно которой положительный заряд распределен по всему объему атома. При таком распределении положительный заряд не может создать сильное электрическое поле, способное отбросить α-частицы назад. Электрическое поле однородного заряженного шара максимально на его поверхности и убывает до нуля по мере приближения к центру шара. Если бы радиус шара, в котором сосредоточен весь положительный заряд атома, уменьшился в n раз, то максимальная сила отталкивания, действующая на α-частицу, по закону Кулона возросла бы в n 2 раз. Следовательно, при достаточно большом значении n α-частицы могли бы испытать рассеяние на большие углы вплоть до 180°. Эти соображения привели Резерфорда к выводу, что атом почти пустой, и весь его положительный заряд сосредоточен в малом объеме. Эту часть атома Резерфорд назвал атомным ядром . Так возникла ядерная модель атома. Таким образом, опыты Резерфорда и его сотрудников привели к выводу, что в центре атома находится плотное положительно заряженное ядро, диаметр которого не превышает 10 –14 –10 –15 м. Это ядро занимает только 10 –12 часть полного объема атома, но содержит весь положительный заряд и не менее 99,95 % его массы. Веществу, составляющему ядро атома, следовало приписать колоссальную плотность порядка ρ ≈ 10 15 г/см 3 . Заряд ядра должен быть равен суммарному заряду всех электронов, входящих в состав атома.

Квантовые числа электронов

Состояние каждого электрона в атоме обычно описывают с помощью четырех квантовых чисел: главного (n), орбитального (l), магнитного (m) и спинового (s). Первые три характеризуют движение электрона в пространстве, а четвертое - вокруг собственной оси.

Главное квантовое число (n). Определяет энергетический уровень электрона, удаленность уровня от ядра, размер электронного облака. Принимает целые значения (n = 1, 2, 3 ...) и соответствует номеру периода. Из периодической системы для любого элемента по номеру периода можно определить число энергетических уровней атома и какой энергетический уровень является внешним.

Пример.
Элемент кадмий Cd расположен в пятом периоде, значит n = 5. В его атоме электроны раcпределены по пяти энергетическим уровням (n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5); внешним будет пятый уровень (n = 5).

Орбитальное квантовое число (l) характеризует геометрическую форму орбитали. Принимает значение целых чисел от 0 до (n - 1). Независимо от номера энергетического уровня, каждому значению орбитального квантового числа соответствует орбиталь особой формы. Набор орбиталей с одинаковыми значениями n называется энергетическим уровнем, c одинаковыми n и l - под Магнитное квантовое число (m) характеризует положение электронной орбитали в пространстве и принимает целочисленные значения от -I до +I, включая 0. Это означает, что для каждой формы орбитали существует (2l + 1) энергетически равноценных ориентации в пространстве.
Для s- орбитали (l = 0) такое положение одно и соответствует m = 0. Сфера не может иметь разные ориентации в пространстве.
Для p- орбитали (l = 1) - три равноценные ориентации в пространстве (2l + 1 = 3): m = -1, 0, +1.
Для d- орбитали (l = 2) - пять равноценных ориентаций в пространстве (2l + 1 = 5): m = -2, -1, 0, +1, +2.
Таким образом, на s- подуровне - одна, на p- подуровне - три, на d- подуровне - пять, на f- подуровне - 7 орбиталей.

Спиновое квантовое число (s ) характеризует магнитный момент, возникающий при вращении электрона вокруг своей оси. Принимает только два значения +1/2 и –1/2 соответствующие противоположным направлениям вращения.

Изучая рассеяние альфа-частиц при прохождении через золотую фольгу, Резерфорд пришел к выводу, что весь положительный заряд атомов сосредоточен в их центре в очень массивном и компактном ядре. А отрицательно заряженные частицы (электроны) обращаются вокруг этого ядра. Эта модель коренным образом отличалась от широко распространенной в то время модели атома Томсона, в которой положительный заряд равномерно заполнял весь объем атома, а электроны были вкраплены в него. Несколько позже модель Резерфорда получила название планетарной модели атома (она действительно похожа на Солнечную систему: тяжелое ядро - Солнце, а обращающиеся вокруг него электроны - планеты).

Рассеивание альфа частиц в веществе.

Альфа-частицы испускались источником, помещенным внутри свинцовой полости. Все альфа-частицы, кроме движущихся вдоль канала, поглощались свинцом. Узкий пучок альфа-частиц попадал на фольгу из золота перпендикулярно к ее поверхности; альфа-частицы, прошедшие сквозь фольгу и рассеянные ею, вызывали вспышки (сцинтилляции) на экране, покрытым веществом, способным светиться при попадании частиц. В пространстве между фольгой и экраном обеспечивается достаточный вакуум, чтобы не происходило рассеяние альфа-частиц в воздухе. Конструкция прибора позволила наблюдать альфа-частицы, рассеянные под углом до 150 градусов.
59. Вероятностное описание – принципиальная особенность микромира.

60. Корпускулярно-волновой дуализм.

Корпускуля́рно-волново́й дуали́зм - принцип, согласно которому любой объект может проявлять как волновые, так и корпускулярные свойства. Был введён при разработке квантовой механики для интерпретации явлений, наблюдаемых в микромире, с точки зрения классических концепций. Дальнейшим развитием принципа корпускулярно-волнового дуализма стала концепцияквантованных полей в квантовой теории поля.

Как классический пример, свет можно трактовать как поток корпускул (фотонов), которые во многих физических эффектах проявляют свойства электромагнитных волн. Свет демонстрирует свойства волны в явлениях дифракции и интерференции при масштабах, сравнимых с длиной световой волны. Например, даже одиночные фотоны, проходящие через двойную щель, создают на экране интерференционную картину, определяемую уравнениями Максвелла .

Тем не менее, эксперимент показывает, что фотон не есть короткий импульс электромагнитного излучения, например, он не может быть разделён на несколько пучков оптическими делителями лучей, что наглядно показал эксперимент, проведённый французскими физиками Гранжье, Роже и Аспэ в 1986 году . Корпускулярные свойства света проявляются при фотоэффекте и в эффекте Комптона. Фотон ведет себя и как частица, которая излучается или поглощается целиком объектами, размеры которых много меньше его длины волны (например, атомными ядрами), или вообще могут считаться точечными (например, электрон).

В настоящий момент концепция корпускулярно-волнового дуализма представляет лишь исторический интерес, так как служила только интерпретацией, способом описать поведение квантовых объектов, подбирая ему аналогии из классической физики. На деле квантовые объекты не являются ни классическими волнами, ни классическими частицами, приобретая свойства первых или вторых лишь в некотором приближении. Методологически более корректной является формулировка квантовой теории через интегралы по траекториям (пропагаторная), свободная от использования классических понятий.

Из предыдущей главы мы усвоили, что масса тела растет с увеличением его скорости. Но никаких доказательств этого, похожих на те рассуждения с часами, которыми мы обосновали замедление времени, мы не привели. Сейчас, однако, мы можем доказать, что (как следствие принципа относительности и прочих разумных соображений) масса должна изменяться именно таким образом. (Мы должны говорить о «прочих соображениях» по той причине, что нельзя ничего доказать, нельзя надеяться на осмысленные выводы, не опираясь на какие-то законы, которые предполагаются верными.) Чтобы не изучать

законы преобразования силы, обратимся к столкновениям частиц. Здесь нам не понадобится закон действия силы, а хватит только предположения о сохранении энергии и импульса. Кроме того, мы предположим, что импульс движущейся частицы - это вектор, всегда направленный по ее движению. Но мы не будем считать импульс пропорциональным скорости, как это делал Ньютон. Для нас он будет просто некоторой функцией скорости. Мы будем писать вектор импульса в виде вектора скорости, умноженного на некоторый коэффициент

p=m 0 v . (16.8)

Индекс v у коэффициента будет напоминать нам, что это функция скорости v. Будем называть этот коэффициент «массой». Ясно, что при небольших скоростях это как раз та самая масса, которую мы привыкли измерять. Теперь, исходя из того принципа, что законы физики во всех системах координат одинаковы, попробуем показать, что формула для m v должна иметь вид m 0 /(1-v 2 /c 2 ).

Пусть у нас есть две частицы (к примеру, два протона), которые между собой совершенно одинаковы и движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями. Их общий импульс равен нулю. Что с ними случится? После столкновения их направления движения должны все равно остаться противоположными, потому что если это не так, то их суммарный вектор импульса будет отличен от нуля, т. е. не сохранится. Раз частицы одинаковы, то и скорости их должны быть одинаковы; более того, они просто должны остаться прежними, иначе энергия при столкновении изменится. Значит, схема такого упругого обратимого столкновения будет выглядеть, как на фиг. 16.2,а: все стрелки одинаковы, все скорости равны. Предположим, что такие столкновения всегда можно подготовить, что в них допустимы любые углы 0 и что начальные скорости частиц могут быть любыми.

Фиг. 16.2. Упругое столкновение одинаковых тел, движущихся с равными скоростями в противоположных направлениях, при различном выборе систем координат.

Далее, напомним, что одно и то же столкновение выглядит по-разному, смотря по тому, как повернуты оси. Для удобства мы так повернем оси, чтобы горизонталь делила пополам угол между направлениями частиц до и после столкновения (фиг. 16.2,б). Это то же столкновение, что и на фиг. 16.2,а, но с повернутыми осями.

Теперь начинается самое главное: взглянем на это столкновение с позиций наблюдателя, движущегося на автомашине со скоростью, совпадающей с горизонтальной компонентой скорости одной из частиц. Как оно будет выглядеть? Наблюдателю покажется, что частица1 поднимается прямо вверх (горизонтальная компонента у нее пропала), а после столкновения падает прямо вниз по той же причине (фиг. 16.3, а).

Фиг. 16.3. Еще две картины того же столкновения (видимые из движущихся автомашин).

Зато частица 2 движется совсем иначе, она проносится мимо с колоссальной скоростью и под малым углом (но этот угол и до и после столкновения одинаков). Обозначим горизонтальную компоненту скорости частицы 2 через и, а вертикальную скорость частицы 1 - через w.

Чему же равна вертикальная скорость utg частицы 2? Зная это, можно получить правильное выражение для импульса, пользуясь сохранением импульса в вертикальном направлении. (Сохранение горизонтальной компоненты импульса и так обеспечено: у обеих частиц до и после столкновения эта компонента одинакова, а у частицы 1 она вообще равна нулю. Так что следует требовать только сохранения вертикальной скорости utga.) Но вертикальную скорость можно получить, просто взглянув на это столкновение с другой точки зрения! Посмотрите на столкновение, изображенное на фиг. 16.3, а из автомашины, которая движется теперь налево со скоростью и. Вы увидите то же столкновение, но перевернутое «вверх ногами» (фиг. 16.3, б). Теперь уже частица 2 упадет и подскочит со скоростью w, а горизонтальную скорость и приобретет частица 1. Вы уже, конечно, догадываетесь, чему равна горизонтальная скорость utg ; она равна w  (1- u 2 /c 2) [см. уравнение (16.7)]. Кроме того, нам известно, что изменение вертикального импульса вертикально движущейся частицы равно

p=2m w w

(двойка здесь потому, что движение вверх перешло в движение вниз). У частицы, движущейся косо, скорость равна v, ее компоненты равны u и w  (1-u 2 /c 2 ), а масса ее m v . Изменение вертикального импульса этой частицы р"=2т v w  (1-u 2 /с 2), так как в соответствии с нашим предположением (16.8) любая компонента импульса равна произведению одноименной компоненты скорости на массу, отвечающую этой скорости. Но суммарный импульс равен нулю. Значит, и вертикальные импульсы должны взаимно сократиться, отношение же массы, движущейся со скоростью w, к массе, движущейся со скоростью v, должно оказаться равным

m w /m v =(1-u 2 /c 2). (16.9).

Перейдем к предельному случаю, когда w стремится к нулю. При очень малых w величины v и u практически совпадут, m w  m 0 , a m v  m u . Окончательный результат таков:

Проделайте теперь такое интересное упражнение: проверьте, будет ли выполнено условие (16.9) при произвольныхw, когда масса подчиняется формуле (16.10). При этом скорость v, стоящую в уравнении (16.9), можно найти из прямоугольного треугольника

Вы увидите, что (16.9) выполняется тождественно, хотя выше нам понадобился только предел этого равенства приw- >0. Теперь перейдем к дальнейшим следствиям, считая уже, что, согласно (16.10), масса зависит от скорости. Рассмотрим так называемое неупругое столкновение. Для простоты предположим, что из двух одинаковых тел, сталкивающихся с равными скоростями w, образуется новое тело, которое больше не распадается (фиг. 16.4,а).

Фиг. 16.4. Две картины неупругого соударения тел равной массы.

Массы тел до столкновения равны, как мы знаем, m 0 /  (1- w 2 /c 2 ). Предположив сохраняемость импульса и приняв принцип относительности, можно продемонстрировать интересное свойство массы вновь образованного тела. Представим себе бесконечно малую скорость и, поперечную к скоростям w (можно было бы работать и с конечной скоростью и, но с бесконечно малым значением и легче во всем разобраться), и посмотрим на это столкновение, двигаясь в лифте со скоростью -u . Перед нами окажется картина, изображенная на фиг. 16.4, а. Составное тело обладает неизвестной массой М. У тела 1, как и у тела 2, есть компонента скорости и, направленная вверх, и горизонтальная компонента, практически равная w. После столкновения остается масса М, движущаяся вверх со скоростью u , много меньшей и скорости света и скорости w. Импульс должен остаться прежним; посмотрим поэтому, каким он был до столкновения и каким стал потом. До столкновения он был равен p~=2m w u, а потом стал р"= M u u . Но M u из-за малости u, по существу, совпадает с М 0 . Благодаря сохранению импульса

М 0 =2m w . (16.11)

Итак, масса тела, образуемого при столкновении двух одинаковых тел, равна их удвоенной массе. Вы, правда, можете сказать: «Ну и что ж, это просто сохранение массы». Но не торопитесь восклицать: «Ну и что ж!», потому что сами-то массы тел были больше, чем когда тела неподвижны. Они вносят в суммарную массу М не массу покоя, а больше. Не правда ли, поразительно! Оказывается, сохранение импульса в столкновении двух тел требует, чтобы образуемая ими масса была больше их масс покоя, хотя после столкновения эти тела сами придут в состояние покоя!

> Релятивистские энергия и масса

Изучите массу и энергию релятивистской частицы в специальной теории относительности. Рассмотрите роль скорости света, формулы релятивистской массы и энергии.

В специальной теории относительности, если движение объекта приближается к скорости света, то энергия и импульс возрастают без ограничений.

Задача обучения

Охарактеризовать возможность движения объекта со световой скоростью.

Основные пункты

Термины

Специальная теория относительности: световая скорость остается неизменной во всех системах отсчета.
Масса покоя – масса тела, когда оно не перемещается по отношению к наблюдателю.
Коэффициент Лоренца – используется для определения степени временного замедления, сокращения длины и релятивистской массы.

Релятивистские энергия и масса

В специальной теории относительности Эйнштейна, если объект наделен массой, то не способен достигать световой скорости. По мере приближения к отметке, его энергия и импульс будут возрастать без ограничений. Релятивистские поправки для энергии и массы нужны, потому что световая скорость в вакууме остается стабильной во всех системах отсчета.

Сохранение массы и энергии – общепринятые физические законы. Чтобы они действовали, должна функционировать специальная теория относительности. Если скорость объекта ниже световой, то выражения для значений релятивистских энергии и массы будут примерно сходиться с ньютоновскими вариантами.

Здесь показана связь между релятивистской и ньютоновской кинетической энергией и скоростью объекта. Релятивистская будет возрастать до бесконечности, если объект приближается к световой скорости. А вот показатель Ньютона продолжит расти по мере увеличения скорости объекта

Релятивистская масса

В 1934 году массу релятивистской частицы определил Ричард К. Толман. Для частички с нулевой массой покоя выступает коэффициент Лоренца (v – относительная скорость между инерциальными системами отсчета, c – световая скорость).

Ричард К. Толман и Альберт Эйнштейн (1932 год)

Если относительная скорость приравнивается к нулю, то достигает 1, а релятивистская масса сводится к массе покоя. По мере возрастания скорости к световой, знаменатель правой стороны стремится к нулю, то есть, к бесконечности.

В уравнении для импульса масса будет релятивистской. То есть, это постоянная пропорциональности между скоростью и импульсом.

Стоит отметить, что несмотря на действенность второго закона Ньютона, производная форма будет недействительной, потому что не выступает постоянной.

Релятивистская энергия

Релятивистская энергия связана с массой покоя через формулу:

Это квадрат эвклидовой формы для различных векторов импульса в системе.

В современном мире предсказания релятивистской энергии и массы регулярно подтверждаются в экспериментах с ускорителями частиц. Можно не только точно определить рост релятивистских импульса и энергии, но их также используют для понимания поведения циклотронов и синхротрона.

Это интересно: