Система линейных алгебраических уравнений и их решение. Системы линейных уравнений: основные понятия. Решение систем методом Гаусса

Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи.

Определение системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы. Классификация систем.

Под системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) подразумевают систему

Параметры aij называют коэффициентами , а bi – свободными членами СЛАУ. Иногда, чтобы подчеркнуть количество уравнений и неизвестных, говорят так «m×n система линейных уравнений», – тем самым указывая, что СЛАУ содержит m уравнений и n неизвестных.

Если все свободные члены bi=0 то СЛАУ называют однородной . Если среди свободных членов есть хотя бы один, отличный от нуля, СЛАУ называют неоднородной .

Решением СЛАУ (1) называют всякую упорядоченную совокупность чисел (α1,α2,…,αn), если элементы этой совокупности, подставленные в заданном порядке вместо неизвестных x1,x2,…,xn, обращают каждое уравнение СЛАУ в тождество.

Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение: нулевое (в иной терминологии – тривиальное), т.е. x1=x2=…=xn=0.

Если СЛАУ (1) имеет хотя бы одно решение, ее называют совместной , если же решений нет – несовместной . Если совместная СЛАУ имеет ровно одно решение, её именуют определённой , если бесконечное множество решений – неопределённой .

Матричная форма записи систем линейных алгебраических уравнений.

С каждой СЛАУ можно связать несколько матриц; более того – саму СЛАУ можно записать в виде матричного уравнения. Для СЛАУ (1) рассмотрим такие матрицы:

Матрица A называется матрицей системы . Элементы данной матрицы представляют собой коэффициенты заданной СЛАУ.

Матрица A˜ называется расширенной матрицей системы . Её получают добавлением к матрице системы столбца, содержащего свободные члены b1,b2,...,bm. Обычно этот столбец отделяют вертикальной чертой, – для наглядности.

Матрица-столбец B называется матрицей свободных членов , а матрица-столбец X – матрицей неизвестных .

Используя введённые выше обозначения, СЛАУ (1) можно записать в форме матричного уравнения: A⋅X=B.

Примечание

Матрицы, связанные с системой, можно записать различными способами: всё зависит от порядка следования переменных и уравнений рассматриваемой СЛАУ. Но в любом случае порядок следования неизвестных в каждом уравнении заданной СЛАУ должен быть одинаков

Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность.

Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. rangA=rangA˜.

Система называется совместной, если она имеет хоть одно решение. Теорема Кронекера-Капелли говорит вот о чём: если rangA=rangA˜, то решение есть; если rangA≠rangA˜, то данная СЛАУ не имеет решений (несовместна). Ответ на вопрос о количестве этих решений даёт следствие из теоремы Кронекера-Капелли. В формулировке следствия использована буква n, которая равна количеству переменных заданной СЛАУ.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

Если rangA≠rangA˜, то СЛАУ несовместна (не имеет решений).

Если rangA=rangA˜

Если rangA=rangA˜=n, то СЛАУ является определённой (имеет ровно одно решение).

Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения нет, а если существуют – то сколько.

Методы решения СЛАУ

Метод Крамера

Метод Крамера предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Суть метода Крамера можно выразить в трёх пунктах:

Составить определитель матрицы системы (его называют также определителем системы), и убедиться, что он не равен нулю, т.е. Δ≠0.

Для каждой переменной xi необходимо составить определитель Δ X i , полученный из определителя Δ заменой i-го столбца столбцом свободных членов заданной СЛАУ.

Найти значения неизвестных по формуле xi= Δ X i /Δ

Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы.

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с помощью обратной матрицы (иногда этот способ именуют ещё матричным методом или методом обратной матрицы) требует предварительного ознакомления с таким понятием как матричная форма записи СЛАУ. Метод обратной матрицы предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений, у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Суть метода обратной матрицы можно выразить в трёх пунктах:

Записать три матрицы: матрицу системы A, матрицу неизвестных X, матрицу свободных членов B.

Найти обратную матрицу A -1 .

Используя равенство X=A -1 ⋅B получить решение заданной СЛАУ.

Метод Гаусса. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Метод Гаусса является одним из самых наглядных и простых способов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): как однородных, так и неоднородных. Коротко говоря, суть данного метода состоит в последовательном исключении неизвестных.

Преобразования, допустимые в методе Гаусса:

Смена мест двух строк;

Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.

Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.

Вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю.

Вычеркивание повторяющихся строк.

Насчет последних двух пунктов: повторяющиеся строки можно вычёркивать на любом этапе решения методом Гаусса, – естественно, оставляя при этом одну из них. Например, если строки №2, №5, №6 повторяются, то можно оставить одну из них, – например, строку №5. При этом строки №2 и №6 будут удалены.

Нулевые строки убираются из расширенной матрицы системы по мере их появления.

Система линейных уравнений - это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще говоря, неверно.

Решение системы уравнений - это последовательность чисел (k 1 , k 2 , ..., k n ), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x 1 , x 2 , ..., x n дает верное числовое равенство.

Соответственно, решить систему уравнений - значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:

1. Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему.
2. Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи.
3. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» - надо описать, как устроено это множество.

Переменная x i называется разрешенной, если она входит только в одно уравнение системы, причем с коэффициентом 1. Другими словами, в остальных уравнениях коэффициент при переменной x i должен быть равен нулю.

Если в каждом уравнении выбрать по одной разрешенной переменной, получим набор разрешенных переменных для всей системы уравнений. Сама система, записанная в таком виде, тоже будет называться разрешенной. Вообще говоря, одну и ту же исходную систему можно свести к разным разрешенным, однако сейчас нас это не волнует. Вот примеры разрешенных систем:

Обе системы являются разрешенными относительно переменных x 1 , x 3 и x 4 . Впрочем, с тем же успехом можно утверждать, что вторая система - разрешенная относительно x 1 , x 3 и x 5 . Достаточно переписать самое последнее уравнение в виде x 5 = x 4 .

Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть всего у нас k переменных, из которых r являются разрешенными. Тогда возможны два случая:

1. Число разрешенных переменных r равно общему числу переменных k : r = k . Получаем систему из k уравнений, в которых r = k разрешенных переменных. Такая система является совместной и определенной, т.к. x 1 = b 1 , x 2 = b 2 , ..., x k = b k ;
2. Число разрешенных переменных r меньше общего числа переменных k : r < k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Так, в приведенных выше системах переменные x 2 , x 5 , x 6 (для первой системы) и x 2 , x 5 (для второй) являются свободными. Случай, когда есть свободные переменные, лучше сформулировать в виде теоремы:

Обратите внимание: это очень важный момент! В зависимости от того, как вы запишете итоговую систему, одна и та же переменная может быть как разрешенной, так и свободной. Большинство репетиторов по высшей математике рекомендуют выписывать переменные в лексикографическом порядке, т.е. по возрастанию индекса. Однако вы совершенно не обязаны следовать этому совету.

Теорема. Если в системе из n уравнений переменные x 1 , x 2 , ..., x r - разрешенные, а x r + 1 , x r + 2 , ..., x k - свободные, то:

1. Если задать значения свободным переменным (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), а затем найти значения x 1 , x 2 , ..., x r , получим одно из решений.
2. Если в двух решениях значения свободных переменных совпадают, то значения разрешенных переменных тоже совпадают, т.е. решения равны.

В чем смысл этой теоремы? Чтобы получить все решения разрешенной системы уравнений, достаточно выделить свободные переменные. Затем, присваивая свободным переменным разные значения, будем получать готовые решения. Вот и все - таким образом можно получить все решения системы. Других решений не существует.

Вывод: разрешенная система уравнений всегда совместна. Если число уравнений в разрешенной системе равно числу переменных, система будет определенной, если меньше - неопределенной.

И все бы хорошо, но возникает вопрос: как из исходной системы уравнений получить разрешенную? Для этого существует

Ещё в школе каждый из нас изучал уравнения и, наверняка, системы уравнений. Но не многие знают, что существует несколько способов их решения. Сегодня мы подробно разберём все методы решения системы линейных алгебраических уравнений, которые состоят более чем из двух равенств.

История

На сегодняшний день известно, что искусство решать уравнения и их системы зародилось ещё в Древнем Вавилоне и Египте. Однако равенства в их привычном для нас виде появились после возникновения знака равенства "=", который был введён в 1556 году английским математиком Рекордом. Кстати, этот знак был выбран не просто так: он означает два параллельных равных отрезка. И правда, лучшего примера равенства не придумать.

Основоположником современных буквенных обозначений неизвестных и знаков степеней является французский математик Однако его обозначения значительно отличались от сегодняшних. Например, квадрат неизвестного числа он обозначал буквой Q (лат."quadratus"), а куб - буквой C (лат. "cubus"). Эти обозначения сейчас кажутся неудобными, но тогда это был наиболее понятный способ записать системы линейных алгебраических уравнений.

Однако недостатком в тогдашних методах решения было то, что математики рассматривали только положительные корни. Возможно, это связано с тем, что отрицательные значения не имели никакого практического применения. Так или иначе, но первыми считать отрицательные корни начали именно итальянские математики Никколо Тарталья, Джероламо Кардано и Рафаэль Бомбелли в 16 веке. А современный вид, основной метод решения (через дискриминант) был создан только в 17 веке благодаря работам Декарта и Ньютона.

В середине 18 века швейцарский математик Габриэль Крамер нашёл новый способ для того, чтобы сделать решение систем линейных уравнений проще. Этот способ был впоследствии назван его именем и по сей день мы пользуемся им. Но о методе Крамера поговорим чуть позднее, а пока обсудим линейные уравнения и методы их решения отдельно от системы.

Линейные уравнения

Линейные уравнения - самые простые равенства с переменной (переменными). Их относят к алгебраическим. записывают в общем виде так: а 1 *x 1 +а 2* x 2 +...а n *x n =b. Представление их в этом виде нам понадобится при составлении систем и матриц далее.

Системы линейных алгебраических уравнений

Определение этого термина такое: это совокупность уравнений, которые имеют общие неизвестные величины и общее решение. Как правило, в школе все решали системы с двумя или даже тремя уравнениями. Но бывают системы с четырьмя и более составляющими. Давайте разберёмся сначала, как следует их записать так, чтобы в дальнейшем было удобно решать. Во-первых, системы линейных алгебраических уравнений будут выглядеть лучше, если все переменные будут записаны как x с соответствующим индексом: 1,2,3 и так далее. Во-вторых, следует привести все уравнения к каноническому виду: а 1 *x 1 +а 2* x 2 +...а n *x n =b.

После всех этих действий мы можем начать рассказывать, как находить решение систем линейных уравнений. Очень сильно для этого нам пригодятся матрицы.

Матрицы

Матрица - это таблица, которая состоит из строк и столбцов, а на их пересечении находятся её элементы. Это могут быть либо конкретные значения, либо переменные. Чаще всего, чтобы обозначить элементы, под ними расставляют нижние индексы (например, а 11 или а 23). Первый индекс означает номер строки, а второй - столбца. Над матрицами, как и над любым другим математическим элементом можно совершать различные операции. Таким образом, можно:

2) Умножать матрицу на какое-либо число или вектор.

3) Транспонировать: превращать строчки матрицы в столбцы, а столбцы - в строчки.

4) Умножать матрицы, если число строк одной их них равно количеству столбцов другой.

Подробнее обсудим все эти приёмы, так как они пригодятся нам в дальнейшем. Вычитание и сложение матриц происходит очень просто. Так как мы берём матрицы одинакового размера, то каждый элемент одной таблицы соотносится с каждым элементом другой. Таким образом складываем (вычитаем) два этих элемента (важно, чтобы они стояли на одинаковых местах в своих матрицах). При умножении матрицы на число или вектор необходимо просто умножить каждый элемент матрицы на это число (или вектор). Транспонирование - очень интересный процесс. Очень интересно иногда видеть его в реальной жизни, например, при смене ориентации планшета или телефона. Значки на рабочем столе представляют собой матрицу, а при перемене положения она транспонируется и становится шире, но уменьшается в высоте.

Разберём ещё такой процесс, как Хоть он нам и не пригодится, но знать его будет всё равно полезно. Умножить две матрицы можно только при условии, что число столбцов одной таблицы равно числу строк другой. Теперь возьмём элементы строчки одной матрицы и элементы соответствующего столбца другой. Перемножим их друг на друга и затем сложим (то есть, например, произведение элементов a 11 и а 12 на b 12 и b 22 будет равно: а 11 *b 12 + а 12 *b 22). Таким образом, получается один элемент таблицы, и аналогичным методом она заполняется далее.

Теперь можем приступить к рассмотрению того, как решается система линейных уравнений.

Метод Гаусса

Этой тему начинают проходить еще в школе. Мы хорошо знаем понятие "система двух линейных уравнений" и умеем их решать. Но что делать, если число уравнений больше двух? В этом нам поможет

Конечно, этим методом удобно пользоваться, если сделать из системы матрицу. Но можно и не преобразовывать её и решать в чистом виде.

Итак, как решается этим методом система линейных уравнений Гаусса? Кстати, хоть этот способ и назван его именем, но открыли его ещё в древности. Гаусс предлагает следующее: проводить операции с уравнениями, чтобы в конце концов привести всю совокупность к ступенчатому виду. То есть, нужно, чтобы сверху вниз (если правильно расставить) от первого уравнения к последнему убывало по одному неизвестному. Иными словами, нужно сделать так, чтобы у нас получилось, скажем, три уравнения: в первом - три неизвестных, во втором - два, в третьем - одно. Тогда из последнего уравнения мы находим первое неизвестное, подставляем его значение во второе или первое уравнение, и далее находим оставшиеся две переменные.

Метод Крамера

Для освоения этого метода жизненно необходимо владеть навыками сложения, вычитания матриц, а также нужно уметь находить определители. Поэтому, если вы плохо всё это делаете или совсем не умеете, придется поучиться и потренироваться.

В чём суть этого метода, и как сделать так, чтобы получилась система линейных уравнений Крамера? Всё очень просто. Мы должны построить матрицу из численных (практически всегда) коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений. Для этого просто берём числа перед неизвестными и расставляем в таблицу в том порядке, как они записаны в системе. Если перед числом стоит знак "-", то записываем отрицательный коэффициент. Итак, мы составили первую матрицу из коэффициентов при неизвестных, не включая числа после знаков равенства (естественно, что уравнение должно быть приведено к каноническому виду, когда справа находится только число, а слева - все неизвестные с коэффициентами). Затем нужно составить ещё несколько матриц - по одной для каждой переменной. Для этого заменяем в первой матрице по очереди каждый столбец с коэффициентами столбцом чисел после знака равенства. Таким образом получаем несколько матриц и далее находим их определители.

После того как мы нашли определители, дело за малым. У нас есть начальная матрица, и есть несколько полученных матриц, которые соответствуют разным переменным. Чтобы получить решения системы, мы делим определитель полученной таблицы на определитель начальной таблицы. Полученное число и есть значение одной из переменных. Аналогично находим все неизвестные.

Другие методы

Существует ещё несколько методов для того, чтобы получить решение систем линейных уравнений. Например, так называемый метод Гаусса-Жордана, который применяется для нахождения решений системы квадратных уравнений и тоже связан с применением матриц. Существует также метод Якоби для решения системы линейных алгебраических уравнений. Он легче всех адаптируется для компьютера и применяется в вычислительной технике.

Сложные случаи

Сложность обычно возникает, если число уравнений меньше числа переменных. Тогда можно наверняка сказать, что, либо система несовместна (то есть не имеет корней), или количество её решений стремится к бесконечности. Если у нас второй случай - то нужно записать общее решение системы линейных уравнений. Оно будет содержать как минимум одну переменную.

Заключение

Вот мы и подошли к концу. Подведём итоги: мы разобрали, что такое система и матрица, научились находить общее решение системы линейных уравнений. Помимо этого рассмотрели другие варианты. Выяснили, как решается система линейных уравнений: метод Гаусса и Поговорили о сложных случаях и других способах нахождения решений.

На самом деле эта тема гораздо более обширна, и если вы хотите лучше в ней разобраться, то советуем почитать больше специализированной литературы.

Тема 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений прямыми методами.

Системами линейных алгебраических уравнений (сокращенно - СЛАУ) называются системы уравнений вида

или, в матричном виде,

A × x = B , (2.2)

A - матрица коэффициентов системы размерности n ´ n

x - вектор неизвестных, состоящий из n компонент

B - вектор правых частей системы, состоящий из n компонент.

A = x = B = (2.3)

Решением СЛАУ является такой набор из n чисел, который будучи подставленным вместо значений x 1 , x 2 , … , x n в систему (2.1) обеспечивает равенство левых частей правым во всех уравнениях.

Каждая СЛАУ в зависимости от значений матриц A и B может иметь

Одно решение

Бесконечно много решений

Ни одного решения.

В данном курсе будем рассматривать только те СЛАУ, которые имеют единственное решение. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A .

Для поиска решений над системами линейных алгебраических уравнений могут проводиться некоторые преобразования, не изменяющие ее решений. Эквивалентными преобразованиями системы линейных уравнений называются такие ее преобразования, которые не изменяют ее решения. К их числу относятся:

Перестановка местами двух любых уравнений системы (следует отиетить, что в некоторых случаях, рассматриваемых ниже, это преробразование использовать нельзя);

Умножение (или деление) какого-либо уравнения системы на число, не равное нулю;

Прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного (или разделенного) на некоторое не равное нулю число.

Методы решения СЛАУ делятся на две больших группы, называемые - прямые методы и итерационные методы . Имеется также способ сведения задачи решения СЛАУ к задаче поиска экстремума функции нескольких переменных с последующем решением ее методами поиска экстремума (об этом подробнее - при прохождении соответствующей темы). Прямые методы обеспечивают получение точного решения системы (если оно существует) за один шаг. Итерационные методы (если при этом обеспечена их сходимость) позволяют многократно улучшать некоторое начальное приближение к искомому решению СЛАУ и, вообще говоря, точного решения не дадут никогда. Однако, учитывая то, что прямые методы решения из-за неизбежных ошибок округления на промежуточных этапах расчетов тоже дают не идеально точные решения, итерационные методы могут тоже обеспечить примерно такой же результат.

Прямые методы решения СЛАУ. Наиболее часто используемыми прямыми методами решения СЛАУ являются:

Метод Крамера,

Метод Гаусса (и его модификация - метод Гаусса-Жордана)

Матричный метод (с использованием обращения матрицы A ).

Метод Крамера основан на вычислении определителя основной матрицы A и определителей матриц A 1 , A 2 , …, A n , которые получаются из матрицы A заменой в ней одного (i -го) столбца (i = 1, 2,…, n ) на столбец, содержащий элементы вектора B . После этого решения СЛАУ определяются как частное от деления значений этих определителей. Точнее, расчетные формулы имеют такой вид

(2.4)

Пример 1 . Найдем методом Крамера решение СЛАУ, у которой

A = , B = .

Имеем

A 1 = , A 2 = , A 3 = , A 4 = .

Вычислим значения определителей всех пяти матриц (c использованием функции МОПРЕД среды Excel ). Получим

Так как определитель матрицы A не равен нулю - система имеет единственное решение. Тогда определим его по формуле (2.4). Получим

Метод Гаусса. Решение СЛАУ этим методом предполагает составление расширенной матрицы системы A * . Расширенная матрица системы - это матрица размером в n строк и n +1 столбцов, включающая в себя исходную матрицу A c присоединенным к ней справа столбцом, содержащим вектор B .

A* = (2.4)

Здесь a in+1 =b i (i = 1, 2, …, n ).

Суть метода Гаусса состоит в приведении (посредством эквивалентных преобразований ) расширенной матрицы системы к треугольному виду (так, чтобы ниже ее главной диагонали находились только нулевые элементы).

A * =

Тогда, начиная с последней строки и двигаясь вверх, можно последовательно определить значения всех компонент решения.

Начало преобразований расширенной матрицы системы к необходимому виду заключается в просмотре значений коэффициентов при x 1 и выборе строки, в которой он имеет максимальное по абсолютной величине значение (это необходимо для уменьшения величины вычислительной ошибки при последующих вычислениях). Эту строку расширенной матрицы необходимо поменять местами с первой ее строкой (или же, что лучше, сложить (или вычесть) с первой строкой и результат поместить на место первой строки). После этого все элементы этой новой первой строки (в том числе и в последнем ее столбце) необходимо разделить на этот коэффициент. После этого вновь полученный коэффициент a 11 станет равным единице. Дальше от каждой из оставшихся строк матрицы необходимо вычесть ее первую строку, умноженную на значение коэффициента при x 1 в этой строке (т.е. на величину a i 1 , где i =2, 3, … n ). После этого во всех строках, начиная со второй коэффициенты при x 1 (т.е. все коэффициенты a i 1 (i =2, …, n ) будут равными нулю. Поскольку мы выполняли только эквивалентные преобразования - решение вновь полученной СЛАУ не будет отличаться от исходной системы.

Дальше, оставляя неизменной первую строку матрицы, проделаем все вышеописанные действия с остальными строками матрицы и, в результате, вновь полученный коэффициент a 22 станет равным единице, а все коэффициенты a i 2 (i =3, 4, …, n ) станут равными нулю. Продолжая аналогичные действия, мы в конечном итоге приведем нашу матрицу к виду, в котором все коэффициенты a ii = 1 (i =1, 2, …, n ), а все коэффициенты a ij = 0 (i =2, 3, …, n , j < i ). Если же на каком-то шаге при поиске наибольшего по абсолютной величине коэффициента при x j мы не сможем найти не равного нулю коэффициента - это будет значить, что исходная система не имеет единственного решения. В этом случае процесс решения необходимо прекратить.

Если процесс эквивалентных преобразований закончился успешно, то полученная в результате «треуголиная» расширенная матрица будет соответствовать такой системе линейных уравнений:

Из последнего уравнения этой системы найдем значение x n . Далее, подставляя это значение в предпоследнее уравнение, найдем значение x n -1 . После этого, подставляя оба эти найденных значения в третье снизу уравнение системы, найдем значение x n -2 . Продолжая так далее и продвигаясь по уравнением этой системы снизу вверх, будем последовательно находить значения других корней. И, наконец, подставляя найденные значения x n , x n -1 , x n -2 , x 3 и x 2 в первое уравнение системы найдем значение х 1 . Такая процедура поиска значений корней по найденной треугольной матрице называется обратным ходом. Процесс приведения исходной расширенной матрицы эквивалентными преобразованиями к треугольному виду назавают прямым ходом метода Гаусса..

Достаточно подробный алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса приведен на рис. .2.1 и рис. 2.1а.

Пример 2 . Найти методом Гаусса решение той же СЛАУ, которую мы уже решали методом Крамера. Составим сначала ее расширенную матрицу. Получим

A * = .

Сначала переставим местами первую и третью строки этой матрицы (так как в ее первом столбце находится наибольший по абсолютной величине элемент), а затем разделим все элементы этой новой первой строки на значение 3. Получим

A * = .

A * =

Дальше переставим местами вторую и третью строки этой матрицы, разделим вторую строку переставленной матрицы на 2.3333 и, аналогично вышеописаному, обнулим коэффициенты во втором столбце третьей и четвертой строк матрицы. Получим

A * = .

После выполнения подобных действий над третьей и четвертой строками матрицы получим

A * = .

Разделив теперь четвертую строку на -5.3076, закончим проведение расширенной матрицы системы к диагональному виду. Получим

Рис. 2.1. Алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Рис. 2.1а. Макроблок “Расчет значений решения”.

A * = .

Из последней строки сразу получим x 4 = 0.7536. Поднимаясь теперь вверх по строкам матрицы и выполняя расчеты, последовательно получим x 3 = 0.7971, x 2 =- 0.1015 и x 1 = 0.3333. Сравнивая полученное этим методом решение с решением, полученным методом Крамера, нетрудно убедиться в их совпадении.

Метод Гаусса-Жордана. Этот метод решения СЛАУ во многом похож на метод Гаусса. Основным отличием является то, что используя эквивалентные преобразования расширенная матрица системы уравнений приводится не к треугольному виду, а к диагональному виду, на главной диагонали которой находятся единицы, а вне нее (кроме последнего n +1 столбца) - нули. После окончания такого преобразования - последний столбец расширенной матрицы будет содержать решение исходной СЛАУ (т,е. . x i = a i n +1 (i = 1, 2, … , n ) в полученной матрице). Обратный ход (как в методе Гаусса) для окончательных расчетов значений компонент решения - не нужен.

Приведение матрицы к диагональному виду проводится, в основном, также как и в методе Гаусса. Если в строке i коэффициент при x i (i = 1, 2, … , n ) по абсолютной величине мал, то производится поиск строки j , в которой коэффициент при x i будет наибольшим по абсолютной величине эта (j -я) строка прибавляется поэлементно к i - й строке. Затем все элементы i - й строки делятся на значение элемента x i Но, в отличие от метода Гаусса, после этого идет вычитание из каждой строки с номером j строки с номером i ,умноженной на a ji , но условие j > i заменено на другоеВ методе Гаусса-Жордана идет вычитание из каждой строки с номером j , причем j # i , строки с номером i ,умноженной на a ji . Т.е. производится обнуление коэффициентов как ниже, так и выше главной диагонали.

Достаточно подробный алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса–Жордана приведен на рис. 2.2.

Пример 3 . Найти методом Гаусса-Жордана решение той же СЛАУ, которую мы уже решали методами Крамера и Гаусса.

Полностью аналогично методу Гаусса составим расширенную матрицу системы. Затем переставим местами первую и третью строки этой матрицы (так как в ее первом столбце находится наибольший по абсолютной величине элемент), а затем разделим все элементы этой новой первой строки на значение 3. Дальше проведем вычитание из каждой строки матрицы (кроме первой) элементов первой строки, умноженных на коэффициент в первом столбце этой строки. Получим то же, что и в методе Гаусса

A * = .

Дальше переставим местами вторую и третью строки этой матрицы, разделим вторую строку переставленной матрицы на 2.3333 и (уже в отличие от метода Гаусса ) обнулим коэффициенты во втором столбце первой, третьей и четвертой строк матрицы. Получим